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Nicht-chaostheoretische Mathefrage (arcsin x = arctan y)

geschrieben von Mysvaleer 
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Hallo!

Da wir zu Beginn des Physikstudiums schon im Vorkurs mit Aufgaben überschüttet werden, die wir beim besten Willen nicht lösen können, suche ich mal hier nach Hilfe:

Zeigen Sie, dass für -1 < x < 1 gilt:
arcsin x = arctan ( x / Wurzel (1 - x²) )

Ich kann gut nachvollziehen, wenn das keiner durchrechnen möchte, aber falls jemandem spontan ein Ansatz einfällt, wäre ich echt dankbar. :)

Mysvaleer
Re: Nicht-chaostheoretische Mathefrage (arcsin x = arctan y)
15. October 2006 21:30
arcsin x = arctan ( x / Wurzel (1 - x²) )

Substitution:
u=arcsin(x), x=sin(u)
*********************
eingesetzt:
u = arctan ( sin(u) / Wurzel (1 - sin(u)²) )

Bei 1 - sin(u)² sollte man sofort an den sehr wichtigen Zusammenhang denken:
sin(u)²+cos(u)²=1
*****************
(aus dem Grund ueberhaupt die Substitution, die auch "links" bestens passt.)
d.h: cos(u)²=1-sin(u)²
Den Ausdruck setzen wir mal rechts ein:

u=arctan(sin(u)/Wurzel(cos(u)²))=arctan(sin(u)/cos(u))
Nun ist sin(u)/cos(u) natuerlich tan(u) und es steht da:

u=arctan(tan(u))
Nun ist die Umkehrfunktion angewandt auf die Funktion gleich dem Argument:
(im angegebenen Wertebereich)
damit u=u :-)
************
Womit gezeigt ist, dass die Annahme richtig ist.

In der Aufgabe sieht man aufgrund x / Wurzel (1 - x²) eigentlich sofort wo der Hase langlaeuft. sin(u)²+cos(u)²=1 sollte man sein Leben lang auswendig parart haben. Ist so elementar wie der Satz von Pythagoras. Und geht aus diesem auch hervor.

ciao



9-mal bearbeitet. Zuletzt am 15.10.06 22:31.
Hallo richy!

Vielen Dank für die Antwort - mit dem Ansatz über Substitution ist die Aufgabe wirklich gut lösbar. Vielleicht kann ich damit auch ein paar der anderen (ähnlichen) Aufgaben hinkriegen.

Mysvaleer