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Rätsel: Die zwei Wege

geschrieben von ccm 
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Re: Rätsel: Die zwei Wege
22. December 2005 13:44
Hi Alldaris,

das Problem ist nur oberflächlich keines.

Tatsächlich hat sich darüber die Fachwelt jahrelang erbittert gestritten. Ich habe ein Buch aus der Reihe rororo Wissen, das sich alleine mit dieser Frage beschäftigt; heißt "Das Ziegenproblem" von Thomas von Randow (soweit ich mich erinnere).

Weil ich das Problem kenne, werde ich hier dazu nichts weiter schreiben, nur soviel: angeblich liegt der Haken darin, dass die Tür, hinter der die Ziege ist, an der stochastischen Veränderung der Wahrscheinlichkeiten durch den Tipp des Moderators nicht teilnimmt. Deshalb soll

vorher: 1/3 - 1/3 - 1/3, nacher: 0 - 1/2 - 1/2

falsch sein.

Ich bin kein Mathematiker, deshalb habe ich dazu keine eigene Meinung.

Vielleicht hat es aber was mit einer anderen Frage zu tun, die mich schon seit langem beschäftigt, nämlich wie man bei Microsoft Minesweeper entscheidet, wo man hinklickt, wenn es kein sicheres Feld mehr gibt.

Nehmen wir an, ein Feld bekommt von einer bereits aufgedeckten Zahl die Wahrscheinlichkeit 1/5 zugeteilt, von einer anderen aber die Wahrscheinlichkeit 1/3: wie wirkt sich das auf die Wahrscheinlichkeiten der zwei bzw. vier anderen Felder aus, für die keine gemeinsame Information vorliegt?

Naja, vielleicht hat es damit auch gar nichts zu tun. Wie gesagt, ich bin kein Mathematiker.

Grüsse

Grägar
Re: Rätsel: Die zwei Wege
22. December 2005 13:56
Hi Alldaris
Bei diesem Raetsel ist die Art der Aufgabenstellung entscheidend. Habe mich daher diesmal auch bemueht diese moeglichst genau zu schildern.
Deine erste Vermutung ist auch diejenige, die dem gesunden Menschenverstand entspricht.

Zunaechst haben wir 3 Tueren A B C und einen Preis.
Die Wahrscheinlichkeit auf die richtige Tuer zu tippen betraegt 1/3.

NEUE SZENE
Wir haben jetzt 2 geschlossene Tueren B C und einen Preis.
Zwischenzeitlich hat der Quizmaster einen Handstand gemacht, das Spahettimonster :-) ein Piratenschiff mit Zwergen erschaffen ...
... aber der Quizmaster auch eine Tuer geoeffnet hinter der kein Hauptpreis winkt.

Klar, die Wahrscheinlichkeit fuer die Tueren B C hat sich geaendert. Die Frage lautet aber:
"Erhoht sich fuer den Kandidaten die Gewinnchance wenn er nun von Tuer B zu Tuer C wechselt ?"
Wenn fuer beide Tueren die Gewinnchance 1/2 betraegt lohnt sich der Wechsel nicht.
Der Preis befindet sich immer noch hinter einer der beiden Tueren.
Die Summe der beiden Gewinn-Wahrscheinlichkeiten betraegt daher 1.
Die Frage ist also :
Ist die Gewinnchance fuer beide Tueren wirklich gleich ?
hmm, naja waere ja sonst wirklich ein sehr einfaches Raetsel :-)

@alldaris
Deine Annahem p(B )=p(C)=1/2 waere evtl.(muesste ich nachrechnen) richtig, wenn es dem Quizmaster auch gestattet waere die vom Kandidaten gewaehlten Tuer, also B zu oeffnen. Dann waere die Problematik symetrisch, denn keine der Tueren waere bevorzugt. Dies wird in der Aufgabenstellung aber implizit ausgeschlossen.
Es koennte dann ja auch der Fall auftreten, dass der Kandidat sieht dass hinter der gewaehlten Tuer sich der Preis befindet und er trotzdem so bloed ist noch zu wechseln :-)

Wuerde er x-beliebig, zufaellig, im Zwischenschritt eine Tuer offnen, waere der Sachverhalt wiederum anders. Das Raetsel eher sinnlos. Du siehst der Zwischenschritt hat schon eine Bedeutung.

ciao
richy

Hoffe mal nicht nur Alldaris versucht sich an dem Raetsel.
Das schoene an solchen Raetseln finde ich uebrigends, dass es dabei meist um weniger prinzipelle Fragen geht. Zum Beispiel ob es einen Gott gibt oder so :-)
Einfach Spass an der Freude.

@Gregor
Die Loesung ist eben verblueffend. Fuer mich jedenfalls, weil die Loesung nicht unserer Erfahrung entspricht.
Allerdings laesst sich die qunatitative Loesung doch relativ einfach finden:
Learning by doing, ausprobieren ...
Denke auch qualitativ kann man sich verdeutlichen was bei diesem seltsamen Quiz mit der Information passiert




8-mal bearbeitet. Zuletzt am 22.12.05 16:09.
de Buer
Re: Rätsel: Die zwei Wege
22. December 2005 16:05
Anfangs habe ich auch gedacht, die Wahrscheinlichkeit erhöht sich doch sowieso von 1/3 auf 1/2. Aber ich würde mal behaupten, wenn ich immer nach dem Öffnen eines Tores meine erste Wahl ändere, steigt die Gewinnwahrscheinlichkeit sogar auf 2/3.

Warum?
Bei drei geschlossenen Toren und einem Preis liegt die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn bei 1/3. D.h. aber auch, wahrscheinlich habe ich falsch geraten, nämlich zu 2/3.
Jetzt nimmt der Moderator ein ungeöffnetes Tor aus dem Spiel. Dieses ist mit Sicherheit leer. Damit ist aber die Wahrscheinlichkeit, dass der Gewinn NICHT in dem von mir nominierten Tor ist immer noch bei 2/3. Jedenfalls solange hinter den Kulissen nicht gepfuscht wird.
Das Tor zu wechseln erhöht dann die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn auf 2/3. Ich denke, wechseln wäre durchaus empfehlenswert, sollte man mal in diese Situation kommen.

Nur - wetten wenn ich vor den Toren stehen würde, ich würde garantiert nicht gewinnen und zwar unabhängig davon wer den Handstand macht.
;-)
Re: Rätsel: Die zwei Wege
22. December 2005 16:37
Hi de Buer

Sie haben gewonnen :-) Allerdings ... Dein Preis liegt hinter einer von n Tueren verborgen. Hmm, komme ich um die Gewinnausschuettung herum, wenn ich limit n gegen unendlich waehle ? :-)

Allerdings verstehe ich deine Begruendung nicht so genau. Oder doch ? Na das waere ja eine elegante, einfache und pfiffige Loesung. Dazu ohne irgendwelche Faelle durchzuspielen.

Meine zuerst gewaehlte Tuer hat die Erfolgs/ Gewinnwahrscheinlichkeit 1/3.

> Jetzt nimmt der Moderator ein ungeöffnetes Tor aus dem Spiel.
> Dieses ist mit Sicherheit leer.

Genau, da der Quizmaster weiss wo sich der Preis befindet, oeffnet er eine leere Tuer. Er fuegt dem System dadurch Information zu. Aber wie du erkannt hast: Vor allem: Der Preis bleibt dem System erhalten. Das heist die Summe der Gewinnwahrscheinlichkeit muss fuer die verbeibenden Tueren immer noch eins betragen.Un da neben meiner gewaehlten Tuer nur noch eine Tuer verbleibt, muss fuer diese sich die Gewinnwahrscheinlichkeit auf 2/3 ehoehen. Denn 1/3 + 2/3 = 1.

Wenn man jetzt noch zeigen kann, dass die anfaengliche Gewinnwahrscheinlichkeit fuer die zuerst gewaehlte Tuer in jedem Fall zu 1/3 erhalten bleibt, (Mal mit Schroedlingers Katze ausgedrueckt: Darin eine Wahrscheinlichkeitswelle der Ampitude 1/3 des Preises konserviert ist :-) dann waere das eine super elegante Loesung.
Klasse !
Mit durchspielen verschiedener Faelle wir einem deine Loesung auch klar. Jedoch auf muehsamerem Weg.
ciao
richy

Loesung mit Fallbeispiel:
Es ist egal wo sich der Preis befindet, daher waehlen wir mal den Fall er liegt hinter Tuer B.

A B* C
Tabelle fuer verschiedene Faelle:

ERFOLG
WAHL A PREIS B OEFFNEN C WECHSEL nein =>A ERFOLG nein
WAHL A PREIS B OEFFNEN C WECHSEL ja =>B ERFOLG ja
WAHL C PREIS B.OEFFNEN A WECHSEL nein =>C ERFOLG nein
WAHL C PREIS B OEFFNEN A WECHSEL ja =>B ERFOLG ja
WAHL B PREIS B OEFFNEN A/C WECHSEL nein =>B ERFOLG ja
WAHL B PREIS B OEFFNEN A/C WECHSEL ja A/C ERFOLG nein

In den 3 Faellen in denen ich wechsle fuehren 2 zum Erfolg p=2/3
In den 3 Faellen in denen ich nicht wechsle fueht nur einer zum Erfolg p=1/3

Man sieht woran das liegt:
In den ZWEI Faellen in denen die Tuer A oder C gewaehlt wurde, fuehrt der Wechsel zwangslaeufig zum Erfolg, naemlich zu B.
Lediglich in EINEM Fall, wenn ich bereits die richtige Tuer gewaehlt habe, ist der
Wechsel ein Misserfolg.
Auch eine Loesung , aber weniger elegant :-)



5-mal bearbeitet. Zuletzt am 22.12.05 17:03.
de Buer
Re: Rätsel: Die zwei Wege
22. December 2005 16:54
Diese Art von Spielchen (du kannst unter drei Möglichkeiten wählen - ich zeig dir dann netterweise nen leeren Behälter und du darft dich bei den verbleibenden nochmal umentscheiden wenn du möchtest - weil, ich bin ja sowas von großzügig) gibt es ja häufiger.

Wenn das stimmt was ich oben geschrieben habe, dann frage ich mich: Würde die Mehrheit der Kandidaten eher dazu neigen nicht zu wechseln? Frei nach dem Motto "Der erste Gedanke ist der Beste". Und wird das vom Veranstalter ausgenutzt??

Ist das dann aus Sicht des Veranstalters "Gewinnmaximierung" oder "Verlustminimierung"? |-)
Re: Rätsel: Die zwei Wege
22. December 2005 17:17
Hi
Doch, ich denke deine Loesung ist einwandfrei. Aber ich denke nicht, dass sich Quizdesigner von Privatsendern so viele Gedanken machen. Immerhin, durch den Wechsel verdoppelt man seine Gewinnchance. Nehmen wir mal 100 Tueren. Ich waehle eine Tuer, also mit der Gewinnchance 1/100. Jetzt oeffnet der Quizmaster 98 leere Tueren.
Wow, hinter der verbleibenden Tuer muss sich mit 98/100 Sicherheit der Preis verbergen. Biete ich noch 10 EUR an nicht zu wechseln koennte man daraus ein gemeines Spiel konstruieren :-)

Aber ich sehe gerade, dass es nur noch 2 Tueren bis Weihnachten sind.
Da war doch was ?
Geschenke einkaufen ! Na dann mal los :-)
ciao
und frohe Weihnachten



1-mal bearbeitet. Zuletzt am 22.12.05 17:19.
de Buer
Re: Rätsel: Die zwei Wege
22. December 2005 19:27
Hi richy_2,
nachdem du mir in deiner ersten Antwort einen hinter n (ob der für n einzusetzende Wert die Form einer liegenden 8 hat) Türen verborgenen Preis versprochen hattest, habe ich mich schon gefreut. Endlich würde auch ICH mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit etwas gewinnen. Nach deiner zweiten Antwort vermute ich, dass du dich darauf doch nicht einlassen wirst. :-(

Naja, jedenfalls zeigt dein Beispiel mit den vielen Türen noch deutlicher was eigentlich passiert. Die Wahrscheinlichkeit wird zu Beginn mit der Anzahl der Türen festgelegt, meinetwegen 1/100 und solange sich die Ausgangsbedingungen nicht ändern und nur "leere" Türen entfernt werden, ändert sich auch nicht die Wahrscheinlichkeit der ersten Wahl. Dagegen wird der "Rest“ unter immer weniger Türen "summiert“ oder "verteilt". Jedenfalls solange man zwischendurch die gewählte Tür nicht ändert. (Falls das ein Mathematiker liest, bitte ich um Verzeihung für meine sicher nicht korrekte Formulierung.)

Ich wünsche dir viel Erfolg beim Geschenke kaufen.
Ich werde wohl wieder warten bis die letzte Tür aufgeht. Gut dass es einen Heiligabendmorgen gibt, da liegt die Wahrscheinlichkeit glatt bei 100 %.

Frohe Weihnachten
Re: Rätsel: Die zwei Wege
22. December 2005 20:53
Hi Jungs.

Ich glaube Euch jetzt mal.
Allerdings muss ich zugeben, dass ich nicht verstehe wieso.
Ist mir einfach zu hoch.

Überhaupt habe ich mich schon immer gefragt, was eigentlich in der Realität Aussagen wie : Die Gewinnchance liegt bei 1/3 überhaupt bedeuten.

Einer hat mit einem Würfel drei Würfe frei. 6 gewinnt. 3 sechsen bedeutet Hauptgewinn.
Jetzt kann ich zwar lange rumwrechnen, und komme dann wahrscheinlich auch zu einem Ergebnis, wie hoch die Wahrscheinlichkeit sein müsste, das einer nen Hauptgewinn macht und wie oft sowas statistisch hintereinander passieren müsste.

Tja, und dann kommt einer und macht 3x hintereinander den Hauptgewinn.
Oder es passiert Wochenlang gar nichts.
Statistik für den Hintern.

Glück kommt in keiner Rechnung vor.
Aber es kann Rechnungen zunichte machen.

Vielicht sollte ich den lieben Gott fragen, ob er da seine Finger im Spiel hat?


---
gruß,
Alldaris


... und wenn am Ende alle Stricke reissen, dann häng ich mich auf!

Homepage: http://people.freenet.de/Sandy.dynalias.org/
Forum: http://30967-0.forum.alluwant.de/



2-mal bearbeitet. Zuletzt am 22.12.05 20:56.
de Buer
Re: Rätsel: Die zwei Wege
23. December 2005 01:50
Hi Alldaris,
ich geb’s ja zu, ich hab mir erst mal 3 Tassen aus der Teeküche geholt, ne Büroklammer aus dem Schreibtisch gekramt, „Tür aufmachen“ gespielt und ne Strichliste geführt. Das Ergebnis war dasselbe, das Richy in seiner Tabelle dargestellt hat. Ich habe mich dann gefragt, worin dieses Ergebnis begründet sein könnte und das hab ich dann hingeschrieben. Versuch’s einfach mal, es dauert wirklich nicht lange. Mach aber nicht den Fehler den ich zuerst gemacht habe. Wenn du am Ende verlierst, also wenn du zu Beginn die richtige Tasse „errätst“, hat der Moderator zwei Möglichkeiten dir eine leere Tasse (Tür) zu zeigen. Berücksichtigst du (fälschlicherweise) beide Möglichkeiten, dann kommst du auf eine Wahrscheinlichkeit von „nur“ 1/2. Der Moderator muss sich zwar entscheiden welche Tür er öffnet, da aber beide leer sind, ist es für das Ergebnis nicht relevant welche er öffnet.

Ich bin eben auch Gregors Hinweis auf das „Ziegenproblem“ nachgegangen. Das Problem ist ja offensichtlich schon etwas länger und international wohl unter dem Begriff "Monty Hall Problem" bekannt.
@ Gregor Koch: Ich fände es ganz toll, wenn du bitte mal kurz schildern würdest, worüber sich „die Fachwelt jahrelang erbittert gestritten“ hat. Falls du dich erinnerst.

Alldaris, kann es sein, dass du Wahrscheinlichkeit (im Sinne von „Eintrittshäufigkeit eines Ereignisses“) und Statistik (im Sinne von „Verteilungshäufigkeit von Wahrscheinlichkeiten“) und Glück (im Sinne von „Schwein haben“) etwas vermischst wenn du nach einem Bezug zur Realität suchst?

Ich denke da grade an den Begriff „Halbwertszeit“ eines Prozesses. Ich habe einen Stoff, meinetwegen 14C mit einer Halbwertszeit von 5000 und ... Jahren. Wahrscheinlich zerfällt ein 14C-Nuklid nach ca. 2500 Jahren, also statistisch (bei einem ganzen Haufen 14C) ist nach ca. 2500 Jahren nur noch die Hälfte da, aber wenn ich mir ein bestimmtes Nuklid aussuche und dieses beobachte, wann wird es zerfallen? Wenn du Glück hast sofort, wenn ich der Beobachter bin voraussichtlich nie. Der olle Gauß lässt grüßen.

Zu deiner letzten Frage: musst du ausgerechnet DIESE Vorlage geben? ;-)
Re: Rätsel: Die zwei Wege
23. December 2005 04:02
de Buer schrieb:
-------------------------------------------------------

> Alldaris, kann es sein, dass du Wahrscheinlichkeit
> (im Sinne von „Eintrittshäufigkeit eines
> Ereignisses“) und Statistik (im Sinne von
> „Verteilungshäufigkeit von Wahrscheinlichkeiten“)
> und Glück (im Sinne von „Schwein haben“) etwas
> vermischst wenn du nach einem Bezug zur Realität
> suchst?

Kann sein, ich bin kein Mathematiker, kenne mich mit den Begrifflichkeiten nicht so aus, und versuche meinen normalen Menschenverstand zu nutzen. Oder wie Schopenhauer mal sagte:

"Der gesunde Menschenverstand ersetzt fast jeden Grad von Bildung, aber kein Grad von Bildung den gesunden Menschenverstand."

Man möge mir meine "unqualifizierten" Einwände verzeihen.

>
> Ich denke da grade an den Begriff „Halbwertszeit“
> eines Prozesses. Ich habe einen Stoff, meinetwegen
> 14C mit einer Halbwertszeit von 5000 und ...
> Jahren. Wahrscheinlich zerfällt ein 14C-Nuklid
> nach ca. 2500 Jahren, also statistisch (bei einem
> ganzen Haufen 14C) ist nach ca. 2500 Jahren nur
> noch die Hälfte da, aber wenn ich mir ein
> bestimmtes Nuklid aussuche und dieses beobachte,
> wann wird es zerfallen? Wenn du Glück hast sofort,
> wenn ich der Beobachter bin voraussichtlich nie.
> Der olle Gauß lässt grüßen.

Aber offensichtlich hast Du mich und meine Einwände doch verstanden!
Das ist es genau was ich meine. Laut statistik müsste das MAterial nach der und der Zeit zerfallen, aber welche Aussagekraft hat diese Statistik nun in der Realität?
Wie Du ja eben selber sagst, kann das Material auch SOFORT zerfallen. Es muss sich nicht daran halten, was Menschen sich dazu ausgedacht haben, so als ob die Menschen mit der Statistik dem Material die Zerfallsrate vorschreiben.
Es ist genau umgekehrt.
So auch beim Glücksspiel (man beachte GLÜCKS-spiel!!).
Ich kann ausrechnen, wie oft (statistisch gesehen) eine sechs bei so und soviel Versuchen gewürfelt wird. Und dann? Welche Aussagekraft hat das Ganze in der Realität? Wie sehr kann ich mich auf so eine Statistik verlassen?
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Statistik Recht behält?
Ich meine, man kann oder SOLLTE sich nicht daruaf verlassen, und schon garnicht Zukunftsaussagen daruaf gründen!

Schau, ich bin Tabletop Spieler, hab also mit Würfelglück zu tun.
Wenn ich sechs Figuren habe, die eine andere Figurengruppe angereifen, dann ist die sechs das beste Ergebnis, das zu erzielen ist. Sechs bedeutet: Gegener ausgeschaltet. Ich würfle sechs Würfel für sechs Figuren auf einmal (aus Zeitgründen).
Jetzt kommen die Leute zu mir, und versuchen sich ihre Chance auszurechnen. Also: wie hoch ist die Chance, wenn ich mit meinen Figuren den Gegner angreife, dass ich dabei möglichst viele Sechsen würfle, und damit Figuren des Gegners auschalte.
Dann sagt man mir sowas wie: Laut Statistik ist die Chance bei dem und dem Wert (also die Chance den Gegner auszuschalten und das Spiel zu gewinnen recht gut!).
Aber wie sieht nun die Praxis aus?
Ich habe d u t z e n d e Spieler gesehen, die sich verwzeifelt die Haare gerauft haben, weil sie nicht EINE Sechs während eines Spieles gewürfelt haben.
Die rennen dann heulend nach Hause, und wundern sich, weil ihre Taktik nicht aufgegangen ist.
Und andere wiederum haben mit viel schwächeren Figuren stärkere Gegner besiegt, weil sie eben Würfelglück (und der Gegner Pech) hatten. Der Wahrscheinlichkeit und Statistik nach aber hätten sie gar nicht gewinnen KÖNNEN!
Sie haben vergessen: Die Praxis ist etwas anderes als die Rechnerei.
Die Praxis scheisst auf Statistiken und Wahrscheinlichkeiten.
Es ist wie immer: Die Erfahrung straft die Theorie Lügen!

>
> Zu deiner letzten Frage: musst du ausgerechnet
> DIESE Vorlage geben? ;-)
>


Hey, in DIESEM Thread war ich NICHT derjenige, der als erster die Anspielung in diese Richtung brachte!


---
gruß,
Alldaris


... und wenn am Ende alle Stricke reissen, dann häng ich mich auf!

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5-mal bearbeitet. Zuletzt am 23.12.05 04:28.