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Der goldene Informationsgehalt

geschrieben von richy_2 
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Der goldene Informationsgehalt
12. December 2006 14:32
Hi
Unter dem obigen Link gibt es jetzt auf meiner HP auch eine Seite zum Thema der Haeufigkeitsverteilung der Primfaktoren der Fibonacci Zahlen.
Oder direkt hier:
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/zipf/zipf.htm
Re: Der goldene Informationsgehalt
12. December 2006 18:07
Hallo Freunde des Chaos
Mit dem folgenden Thread mochte ich wieder mal etwas konkretes anbieten
anhand von Berechnungen das Chaos und die Ordnung zu erforschen.
Der Satz von Herrn Melcom "Das wird nicht gut gehen !"
ist mir einfach bischen zu wenig.

Um was geht es ?

Zum einen um das Zipfsche Gesetzt.
Das ist eine Haufigkeitsverteilung ueber deren Vorkommenm, z.B. in Sprachen,
ich mich schon vor 20 Jahren gewundert habe.

[de.wikipedia.org]

Interessante Sache nicht ? :-)
Und zum anderen habe ich Anfang dieses Jahres einfach mal ausprobiert,
ob man dieses zipfsche Gesetzt nicht auch auf Klassen von Zahlen anwenden kann.
Insbesonders auf meine Lieblingsklasse. Die Fibonacci Zahlen.
Des Chaoten liebste Folge :-)
Damit waere auch schon mal die Ueberschrift dieses Threads erklaert.
Es ist ja bekannt, dass in den Fibonacci Zahlen der goldene Schnitt enthalten ist.
limes fib(n+1)/fib(n), n=>oo = goldener Schnitt PHI
Warum dem so ist. Darueber habe ich hier schon einiges geschrieben.
Auch wo sich die Fibonacci Zahlen im Pascalschen Dreieck herumtummenln,
welche netten Spiralen die exakte imaginaere Loesung der Fib-Differenzengleichung liefert und vieles mehr.
Fibonacci entdeckte diese Zahlenfolge 1202 fuer unsere westliche Kultur.

[de.wikipedia.org]

Gegenuegend Zeit, dass sich bis heute unzaehlig schlaue Koepfe darueber Gedanken machten,
was es mit dieser Zahlenfolge auf sich hat.
Allerdings. So ganz konnte bisher niemand deren Geheimnis entschluesseln.
Im Gegenteil man fand immer wieder neue seltsame Zusammenhaenge, wie zum Beispiel die goldene Sequenz:
[www.mcs.surrey.ac.uk]

Die Fibonacci zahlen verhalten sich aehnlich geheimnisvoll wie die Primzahlen und auch nach 800 Jahren geben sie ihr Geheimnis einfach nicht preis.
Warum ich ausgerechnet die Primfaktorzerlegungen der Fibonacci Zahlen dem Zipf Test
unterzogen hatte wird auch bischen mein Geheimnis bleiben. Hier habe ich den ganzen
Sachverhalt kurz dargestellt und daraus sollte es eigentlch hervorgehen.

[home.arcor.de]

Auf dem Link zu meiner HP ist auch der numerische Versuch nochmals beschrieben.
Inclusive dem Quellcode in MAPLE. Der Versuch erfordert die bestimmung der Primfaktoren sehr grosser Fibonacci Zahlen. So ist fib(200) bereits ein kleines Monster mit 42 Stellen. Ohne ein analytisches Mathematikprogramm kann der Versuch somit nicht in akzeptabler Zeit durchgefuehrt werden.

Wichtig und vielleicht auch neu ist das Versuchsergebnis:

*********************************************************************************
DIE PRIMFAKTOREN DER FIBONACCIZAHLEN SIND IN IHER HAEUFIGKEIT FAST IDEAL ZIPF VERTEILT !
*********************************************************************************

Wer sich mit dem Zipfschen Gesetz ein bischen naeher beschaeftigt, der erkennt auch, dass dieses einen neuen Begriff des Informationsgehaltes darstellt.
So laesst sich die Harmonie von Musikstuecken, Gemaelden, Sprachen ueber das Zipfsche Gesetz anschatzen.
(Siehe Link auf meiner HP)
Man koennte auch von einem harmonischen Informationsgehalt sprechen.

Keinen binaeren rein quantitativen wie der shannonsche Informationsgehalt.
Das Zipfsche Gesetz beurteilt einen Sinngehalt, einen semantischen
Informationsgehalkt. Einen Zipfelsinn :-)
oder auch einen
GOLDENEN HARMONISCHEN INFORMATIONSGEHALT.
Re: Der goldene Informationsgehalt
18. December 2006 16:42
Die numerische Versuchsreihe zum neuen Informationsmaß angewendet auf die logistische Gleichung ist jetzt auf meiner Homepage online.
Nik
Re: Der goldene Informationsgehalt
03. February 2007 12:02
Hallo Richi,

jetzt muss ich mal schauen ob ich das noch alles richtig zusammenbekomme, was ich mir mal vor ein paar wochen überlegt habe.

Ich fasse mal kurz deine These zusammen:
DIE PRIMFAKTOREN DER FIBONACCIZAHLEN SIND IN IHER HAEUFIGKEIT FAST IDEAL ZIPF VERTEILT

Wirkungszusammenhang:
Primzahlverteilung in den natürlichen Zahlen -> Filter: diejenigen zeigen, die Fibonacci-Folge findet -> Vergleich mit Zipf Verteilung



Ich habe mir auch die Kurve auf deiner Homepage angesehen. Da ist mir folgendes in den Sinn gekommen: ich meine gelesen zu haben, dass die Primzahldichte (Anzahl der Primzahlen/durchschrittenen Bereich zwischen Primzahlen) sich bei sehr hohen Zahlen ändert. Bis zu einem gewissen Bereich kann man einen exponentiellen Zusammenhang zwischen Primzahldichte und Betrag der Zahl finden. Irgendwann wird der dann aber linear. D.h., bei sehr hohen Zahlen wird die Schrittweite zwischen Primzahlen nicht mehr so schnell größer.

Möglichkeit 1: Davon ausgehend, dass kein direkter Zusammenhang zwischen Primzahlen und den Gliedern der Fibonacci-Folge existiert, müsste die Wahrscheinlichkeit, mit der die Fibonacci-Folge Primzahlen "findet" der Primzahldichte des entsprechenden Zahlenbereichs entsprechen.

Möglichkeit 2: Es besteht ein direkter Zusammenhang zwischen Primzahlen und den Fibonacci-Folge-Gliedern. Auch bei zunehmender/abnehmender Primzahldichte "findet" die Fibonacci-Folge Primzahlen, die nicht der Wahrscheinlichkeit entsprechen, die sich für die Primzahldichte in dem entsprechenden Zahlenbereich ergeben.

Sollte Möglichkeit 2 wahr sein, wäre das sensationell, ist aber meinem Hausverstand nach ziemlich unwahrscheinlich. Warum sollte die Fibonaccifolge nicht ungefähr so viele Primzahlen finden, wie es wahrscheinlich ist? Ich schließe sie daher vorerst aus.

Die Zipfsche Verteilung geht jedoch bis unendlich von einem exponentiellen Zusammenhang aus.

Daher hat deine These meiner Meinung nach nur eine eingschränkte Gültigkeit.

Das ganze läßt sich sogar direkt klären. Einfach mit deiner Behauptung in Zahlenbereich vorstoßen in dem sich diese Primzahldichtefunktionsveränderung auswirkt.

Ich bitte um deine Meinung.

Gruss Niko

P.S. Desweitern würde mich interessieren, warum ausgerechnet die Zipf-Verteilung als Vorlage dient (siehe Zitat oben). Scheint ja ein rechtes Geheimnis zu sein.
Re: Der goldene Informationsgehalt
16. February 2007 03:27
Hallo Niko
Ich hab deinen Beitrag erst jetzt entdeckt.
Auch bischen laenger her, dass ich mich mit dem Thema beschaeftigt habe.

>
ch fasse mal kurz deine These zusammen:
DIE PRIMFAKTOREN DER FIBONACCIZAHLEN SIND IN IHER HAEUFIGKEIT FAST IDEAL ZIPF VERTEILT
>
Ja, genau. Und es ist nur das Ergebnis eines numerischen Versuchs, den ich jedoch nicht wahllos sondern gezielt durchgefuehrt habe.

Des weiteren: Ich habe bischer keine andere Zahlenklasse gefunden die diese Eigenschaften der Primfaktor Zipf verteilung aufweist.
Auch bei den natuerlichen Zahlen liegt keine Zipf Verteilung vor :
[img]http://home.arcor.de/richardon/2005/zipfprim4.gif[/img]

Die Verteilung scheint schon aehnlich, aber meine entscheidende Annahme ist,
dass nur dann eine semantische Information vorliegt, wenn die Verteilung moeglichst genau Zipf Verteilt ist. Und diese Annahme beziehe ich aus numerischen Versuchen zur Musik, Sprache, Malerei, dem Aufbau der DNA.
Die obige Verteiling entspraeche z.B. einem voellig atonalen Musikstueck.

Ich habe das schon mal in einem anderen Forum diskutiert.
Hier ein etwas laengerer Auszug:


EIGENZITAT
*********************************************************************

>
Wenn ich die Primzahlen als Woerter ansehe, so schreiben gewisse Zahlenfolgen gewisse Buecher. Dabei waeren die Nichtprimzahlen mehrere Woerter oder auch zusammengesetzte Woerter "ein Er" oder "einer".

DER DUDEN

Was waeren dann die natuerlichen Zahlen fuer ein Buch ?
Das waere praktisch ein Hyperduden, der alle Woerter und zusammengesaetze Woerter enthalt. Die unterschiedliche Worthaeufigkeit kaeme nur dadurch zustande, dass es zusammengesetzte Worte wie Donaudampfschiffsfahrtgesellschaft gibt...
Echte Saetze enthalten die natuerlichen Zahlen gar nicht.

Es soll Leute geben, die den Duden von vorne bis hinten durchlesen,
aber wohl nicht so viele.
Daher wundert es mich weniger, dass alle natuerlichen Zahlen zwar eine Potenz Primfaktorenverteilung aufweisen, aber nicht exakt nach dem Zipfschen Gesetzt.

Wie schreibe ich also ein Buch mit Sinn ? Dazu nehme ich nur einen Teil der Worte im Duden. Das koennen auch zusammengesetzte Worte sein. In Zahlen ausgedrueckt bedeutet dies, dass ich eine Zahlenfolge betrachte.
Nehme ich mal die Vorschrift y(k)=2*k, also 2,4,8,16,32
Da scheint viel Information darin zu stecken, aber kaum ein Sinn, ein Unterhaltungswert. Stuende 2 fuer "Pa" lautet der Satz etwa:
"Pa PaPa PaPaPa"
Wie waere die Verteilung dieser Funktion 1/i**a ?
a gegen unendlich, denn es kommt nur ein Wort , eine Primzahl vor.
.....
(Die Fibzahlen sind nur vergleichbar mit einem speziellen Buch des Dudens)

Allerdings ist das Buch nicht gerade einfach zu lesen :-) Die Fibonacci Zahlen stellen Satzfragmente dar. Fuer Nummer 190 hat mein Rechner fast ne halbe Stunde gebraucht um zu erkennen ach:

3691087032412706639440686994833808526209
heisst ja
757810806256989128439975793 MAL 4870723671313
:-)

Aus den ersten 200 Satzfragmenten (Fibonaccizahlen) konnte mein Rechner 343 Woerter mittels Primfaktorenlerlegung gewinnen und deren Rang bestimmen.

>dazu WIKIPEDIA
Eine Auszählung von rund 11 Mio. Wörtern ergab, dass nur 207 Wortformen nach ihrer Häufigkeit über 50 Prozent der deutschen Schriftsprache ausmachen.
>

Hier ein kurzer Ausschnitt der ermittelten Rangverteilung:

2
3
5
13
7
17
11
89
233
29
61
47
1597
19
37
113
41
421
199
28657
23
3001
521
53
109
281
514229
31
557
2417
2207
19801
3571
141961
107
73
149
2221
9349
135721
2161
59369
2789
211
433494437

Man erkennt eine eigentuemliche Struktur innerhalb dieser Verteilung, die die Folge der natuerlichen Zahlen nicht aufweist.
(Das ist kein Programmfehler !)
So nimmt die Primzahl 1597 den 13 ten Rang ein, obwohl man hier eher eine niedrigere Primzahl erwartet.
(BTW 1597 ist wie 13 sowohl Prim als auch selbst eine Fibonacci Zahl. Ich denke diese Prim-Fibonaccizahlen stellen Absaetze,Ueberschriften in dem Buch dar.)

*****************************************************************************
ENDE EIGENZITAT

Ich habe auch schon versuch das FIB Buch zu decodieren. Auf einfachste Weise.
Es ergibt sich natuerlich kein gerade einfach lesbarer Text.
>
Wie etwas
unter nichts, auf die wir allerding nach den
vier wo der so viele gut
soll es mit viel zu dort alles und
Auf
ich wird zum Die, Sie wäre das.
.

Ihn aber Ende
es die Zeit, den man jedoch mit
einer in der und sollen ein des
ins Sein wurde
So Wenn
seinem Werden sei, ist, von Der an.

Das einmal von ein ist, in sich beiden dann.

Dafür am kommen
die Uhr und nicht in keine einer diesen, sich aus zu
zwar letzten, der diese oder
großen seiner worden.
Mit dazu von das
Und der als Mann ist aber von den auf.
>

He he der Hammer. Den komplette Text hab ich mal auf einer Seite einer
Universitaet eingegeben, die ein Programm entwickelt hat dass angeblich
Texte mit und ohne Sinngehalt unterscheiden kann.
Das Ergebnis war: Authetischer Text :-)

ZITAT NIKO
>
Einfach mit deiner Behauptung in Zahlenbereich vorstoßen in dem sich diese Primzahldichtefunktionsveränderung auswirkt.
>
[img]http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/zipf/zipf_fib.gif[/img]
Ich habe bis fib(200) gerechnet !
Die Zahl ist oben angegeben . Ist die dir noch zu klein ?

Bei
fib(1000)=
43466557686937456435688527675040625802564660517371780
40248172908953655541794905189040387984007925516929592
25930803226347752096896232398733224711616429964409065
33187938298969649928516003704476137795166849228875

da schafft meine 300 MHZ Kiste keine primfaktorlerlegung mehr in angemessener Zeit.

>
P.S. Desweitern würde mich interessieren, warum ausgerechnet die Zipf-Verteilung als Vorlage dient (siehe Zitat oben). Scheint ja ein rechtes Geheimnis zu sein.
>

Ich hatte da eine gewisse Vermutung aufgrund der vereinheitlichen Quantenfeldtheorie von Burkhard Heim. Wenn ich mehr darueber schreibe glaubst du es aber wahrscheinlich nicht.

ciao