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Suche spezielles Fraktal

geschrieben von oX 
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oX
Suche spezielles Fraktal
29. September 2007 13:35
Ich suche ein Fraktal dessen "gebrochene" Dimension
- der eulerischen Zahl (Naturkonstante e) entspricht
- der Kreiskonstante entspricht (Pi)
- der euklidischen Goldene Schnittkonstante entspricht (Phi)

kann man überhaupt aus einer bestimmten Zahl als Dimension
auf das passende oder passenden Fraktal/e schliessen?
Re: Suche spezielles Fraktal
29. September 2007 17:37
Hi ok
Verstehe deine Idee. In einem Thread hier habe ich die fraktale Dimension mal anschaulich erklaert. Das ist aber eine Weile her. Mit Pi wirst du Probleme bekommen, denn das Objekt muesste 4 dimensional sein. Ansonsten muesste die Konstruktion recht trickreich sein. Vielleicht liest du zuerst mal den Thread uber fraktale DImensionen. Ich ueberlege auch noch bischen.
oX
Re: Suche spezielles Fraktal
30. September 2007 09:03
was gebrochene dimension bedeutet ist mir klar
ich habe eben bisher nur gesehen das von fraktalen aus
diese errechnet werden...
mir ist aber noch nirgends beim surfen der umgekehrte weg aufgefallen
und da ich hinter diesen konstanten fundamentalismen vermute
würden mich fraktale interessieren die im wert mit der dimension
übereinstimmen oder errechnet werden könnten...

ich könnte auch ein freiheitsgrad einführen/hinzufügen
indem ich sage es muss noch nicht mal diesen werten korrekt entsprechen
oder das es eine einfache zusammenstellung gibt z.b. pi/2 was 90°
entspräche... oder phi² oder sowas..

pi und e kann man ja aufgrund einer anderen formel ineinander umrechnen
mir ist nur der bezug konkret zu diesen konstanten wichtig
und wie ein denkweg aussehen muesste um solche fraktale zu konstruieren
Re: Suche spezielles Fraktal
30. September 2007 11:03
Hi ox
Ok versuchen wir mal so ein Fraktal zu konstruieren.Da ganze wird wohl nicht befriedigend funktionieren, da PHi oder e wohl rueckwaerts gerechnet nicht auf eine natuerlich Zahl fuehren.

Zur Erinnerung (auch fuer mich) :

[quote]
Stell Dir ein Gummimaterial vor. Mit der Eigenschaft: Wenn Du das Material erwaermst, dann
schrumpft es in allen Richtungen / Dimensionen auf die Haelfte.
Das soll die Masstabsaenderung darstellen.

Erwaermen wir mal so eine (1 Dimensionale) Gummistange. Sie schrumpft auf die halbe Groesse.
Von der neuen Stange koennen wir 2 Stueck neben die alte legen.

----- ----- geschrumpfte Stange
----------- Ausgangsstange

Jetzt mal ein Quadrat. Also ein zweidimensionales Objekt.
Das lassen wir genauso durch erwaermen schrumpfen. Es werden alle Laengen dadurch halbiert (Ein Masstab ist etwas eindimensionales ! )
Das Quadrat wird halbs so hoch und halb so breit.
Logisch daher passen nun vier Quadrate in das Ausgangsquadrat.

Bei einem Gummiwuerfel haetten gar 8 geschrumpfte Wuerfel im
Ausgangswuerfel Platz.

Die Anzahl n der geschrupften Objekte,die im alten Objekt Platz finden,
abhaengig von der Dimension des Objekts, kann man als Formel anschreiben:

n=( Verkleinerungsmas ) hoch D
D ist die Dimension des Koerpers, den wir schrumpfen.

Mit dem Verkleinerungsmaß zwei in unseren Beispielen testen wir mal :
(D=1) 2**1=2 (D=2) 2**2=4 (D=3) 2**3=8 ... yepp das passt

Mandelbrots trickreiche Idee war es nun, diese Gleichung nach D
aufzuloesen ! Fuer normale Gummikoerper ist da nichts besonderes
zu erwarten, wohl aber fuer fraktale Gebilde.
Wenn wir nach D aufloesen ist das eine neuartige Definition des
Dimensionsbegriffes mittels einer Skalierung.
n=V hoch D
Logarithmieren wir auf beiden Seiten
log(n)=log(V hoch D ) = D*log(V)

Der Rest ist auch Schulmathematik, dass schliesslich dasteht:
Dimension D=log(n) / log(V) ( log ist zu beliebiger Basis also auch ln )

Berechnen wir nun mal mit dieser Formel die Dimension von Cantor Staub.
Stop ! Dazu muesste man erstmal noch definieren was es denn eigentlich
bedeutet, das ein Koerper in einem anderen Platz hat.
Bei iterativ erzeugten fraktalen Gebilden ist anscheinend immer Platz.
Ich weiss, nicht so sehr befriedigende Antwort.

Jetzt also erstmal unser Initiator von Cantorstaub:
---------------------
Dazu der Generator aus Gummi :-)
-------........-------
Das ganze waermebehandelt :-)
--...--........--...--

(Gibts es bessere Zeichnungen)

Der Schrumpfungsfaktor (muss man net viel ueberlegen) ist 3
V=3 geschrumpfte Teile wuerden in den Generator passen
Eines davon fehlt aber, so dass wir auch gleich n=2 erhalten.

Die fraktale Dimension von 1-D Cantorstaub ist also D=log(2)/log(3)
D=0.630929

1-D Cantor Staub ist also fraktal gesehen nicht einmal eindimensional.
Etwas zwischen Linie und Punkt.
Fuer das Sierpinski Dreieck erhalt man als weiteres Beispiel die fraktale Dimension
D=log(3) / log(2) = 1.58496
Etwas zwischen Linie und Flaeche.
[/quote]

Wir koennten jetzt also einen Cantorstaub erzeugen der zum Beispiel die fraktale Dimension Phi=0.6180 aufweist.
Benutzen den Cantor Initiator wobei wir jedoch einen anderen Schrumpfungswert verwenden :
Phi!=ln(2)/ln(x)=0.6180
ln(x)=0.6810/ln(2)
x=exp(0.681/ln(2))=2.6710598
Das waere der passende "Schrumpfungsfaktor" und passt nicht ganz in die Definition, denn es passen ja nicht 3 geschrumpfte Strecken in die alte Strecke sondern eine irrationale Anzahl.



1-mal bearbeitet. Zuletzt am 30.09.07 11:07.
oX
Re: Suche spezielles Fraktal
01. October 2007 20:57
wenn man fraktale nur als selbstähnlichkeit aufasst wird das schon problematisch
allerdings gibt es ja auch quasifraktale die aus mehreren grundelementen basieren
weiterhin koennte man vielleicht aus dem E - pi zusammenhang über j*j=-1 vielleicht was konstruieren

da fällt mir ein.. negative dimensionen.. was wäre das eigentlich?
Strichcoder
Re: Suche spezielles Fraktal
12. February 2013 10:22
Zu negative Dimensionen:
Die Dimension ist ja so defniniert: (-> richy 2)
D=log(n)/log(V)
Da der Logarithmus einer reellen Zahl (wie zum Beispiel n und V) nicht negativ sein kann, kann es auch keine negativen Dimensionen geben.
-> wenn man n und/oder V als komplexe Zahlen zulässt, ist vielleicht wieder etwas möglich.

Mich würde auch ein Weg interressieren, wie man von der Dimension auf eine Zahl kommen kann.
Was dazu beachtet werden muss, ist, dass es zu jeder Dimension unendlich viele Fraktale gibt, die alle anders aussehen.