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Gebrochene Dimension?

geschrieben von fatal_fraktal 
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Gebrochene Dimension?
15. January 2007 20:26
Guten abend,
Ich möchte anfangen mich in die "Geheimnisse" der Fraktale einzuarbeiten und bin just auf diese Seite gestoßen.
Ich muss sagen, trotzdem ich kein Mathephobiker bin (bin Ingenieur), fällt es mir nicht so leicht eine anschauliche Vorstellung von gebrochenen Dimensionen zu entwickeln.
Zitat Wikipedia: "Das s-dimensionale Hausdorffmaß nimmt fast überall entweder den Wert 0 oder den Wert unendlich an. Die Stelle s=dimH an der der Sprung von unendlich nach 0 stattfindet ist die Hausdorff-Dimension."
Warum ist die Dimension der Kochkurve zwischen der Dimension einer Grade und einer Fläche gebrochen
Könnte mir hier jemand mit meiner anschauung auf die Sprünge helfen?
Wäre echt nett.
Danke und Grüsse



1-mal bearbeitet. Zuletzt am 15.01.07 20:27.
Peter
Re: Gebrochene Dimension?
16. January 2007 14:00
Guten Tag,

es gibt verschiedene Dimensionsbegriffe, wie Du schon gefunden hast
http://de.wikipedia.org/wiki/Fraktale_Dimension

Hier nur ein Beispiel:
Nehmen wir irgendein geometrisches Gebilde: Würfel, Quadrat, Strecke
Eine Möglichkeit die Dimension zu definieren, ist das Verhalten des "Gewichtes" des Gebildes in Abhängikeit seiner Größe.

Größe^Dimension ~ Gewicht

Also ein Würfel mit der doppelten Kantenlänge "wiegt" 2^3 mal soviel wie der Ursprungswürfel, hat also die Dimension 3. Ein Quadrat mit der doppelten Kantenlänge hat den 4fachen Flächeninhalt, wiegt also 2^2 mal soviel -> entpricht Dimension 2 usw. Bei Fraktalen sind die Exponenten nicht immer ganze Zahlen -> gebrochene Dimension. Beim Boxcounting entspricht das "Gewicht" dem Volumen/der Anzahl kleiner Würfel oder Kugeln (im limes unendlich kleiner Würfel oder Kugeln), die zur vollständigen Überdeckung des geometrischen Gebildes nötig sind.

Grüße,

Peter
Re: Gebrochene Dimension?
17. January 2007 09:42
fatal_fraktal schrieb:
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> Guten abend,
> Ich möchte anfangen mich in die "Geheimnisse" der
> Fraktale einzuarbeiten und bin just auf diese
> Seite gestoßen.
> Ich muss sagen, trotzdem ich kein Mathephobiker
> bin (bin Ingenieur), fällt es mir nicht so leicht
> eine anschauliche Vorstellung von gebrochenen
> Dimensionen zu entwickeln.
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ich habe in einem buch eine vorstellbare erklärung gefunden. ( ist eigentlich für kinder)

stell dir einen würfel vor.per definitionem ist er dreidimensional und füllt diese dimension ganz aus. eine linie hat die dimension 2.

nimmst du jetzt einen berg und stülpst einen würfel drüber, füllt der berg den würfel nicht komplett aus. legst du eine linie in deinen berg, "quillt" der berg an allen seiten darüber hinaus. "der Berg ist also mehr als die linie aber weniger als der würfel" --> bezogen auf die dimension muss der berg irgendwo zwischen 2 und 3 liegen.

ist sicherlich sehr vereinfacht - aber gut vorzustellen.