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fraktale Dimension Feigenbaumdiagramm

geschrieben von Peter 
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Peter
fraktale Dimension Feigenbaumdiagramm
15. December 2006 15:43
Hallo,

weiß jemand, was die fraktale Dimension des Feigenbaumdiagramms (logistische- oder Verhulstgleichung) ist? Stückweise, im nichtchaotischen Bereich, ist sie ja null. Doch wie verhält es sich im chaotischen Bereich, ist die Dimension hier gebrochen, und vielleicht vom Parameter abhängig?

Viele Grüße,

Peter
Re: fraktale Dimension Feigenbaumdiagramm
16. December 2006 14:08
Hi Peter
Wenn du die Fenster/Inseln der Ordnung in Betracht ziehst. Die fraktale Dimension ist sicherlich parameterabhaengig. Man koennte mit einem Boxcountingverfahren die Dimension bestimmen. Z.B ueber die von mir hier vogestellte Klasseneinteilung.
Vielleicht auch eine recht interessante Sache.
Viele Gruesse
richy



1-mal bearbeitet. Zuletzt am 16.12.06 14:09.
Peter
Re: fraktale Dimension Feigenbaumdiagramm
17. December 2006 12:30
Hi Richy,

ich habe mal ein Boxcounting im chaotischen Bereich ausprobiert, bei Erhöhung der Auflösung erhalte ich aber für den Träger kein Power-law. Es sieht so aus, als wäre der Träger nicht fraktal. Ich habe sowieso noch ein paar Probleme mit der fraktalen Dimension. Die rationalen Zahlen haben zwar Lebesgue-Maß 0, aber trotzdem eine fraktale Dimension von 1?

Grüße,

Peter
Re: fraktale Dimension Feigenbaumdiagramm
17. December 2006 22:20
Hi Peter
>
Die rationalen Zahlen haben zwar Lebesgue-Maß 0, aber trotzdem eine fraktale Dimension von 1?
>
Meinst du weil die rationalen Zahlen abzaehlbar sind ?
Wenn du den kompletten Zahlenstrahl betrachtest, dann beinhaltet dieser auch noch die irrationalen Zahlen. Diese sind ueberabzaehlbar.
Zur fraktalen Dimension hab ich hier mal einen ausfuehrlichen Thread mit Beispielen geschrieben.
[url]http://www.chaostheorie.de/read.php?4,710,page=2[/url]
Dieser Dimensionsbegriff existiert wohl nur abstrakt, denn erst beim Grenzuebergang ins unendlich Kleine erhaelt man gebrochene Dimensionen. "The beauty of Fraktal" von Mandelbrot behandelt die fraktale Dimension ausfuehrlich. Ist aber auf englisch geschrieben.

Wie hast du das Box Counting durchgefuehrt ?
ciao



1-mal bearbeitet. Zuletzt am 17.12.06 22:31.
Peter
Re: fraktale Dimension Feigenbaumdiagramm
18. December 2006 16:21
Hi Richy,

>Meinst du weil die rationalen Zahlen abzaehlbar sind ?

Ja, genau. Sie sind sozusagen nicht "dicht". Bei Boxcounting muss trotzdem der gesamte Bereich abgedeckt werden, da der Abstand zwischen den Zahlen unendlich klein ist. "Dimension" ist wohl eher ein Begriff der Metrik, und hat nichts mit dem Lebesgue-Maß zu tun.

>Wie hast du das Box Counting durchgefuehrt ?

Ich habe für einen bestimmten Parameterwert (sagen wir A=3.6) im chaotischen Bereich die Iteration bei verschiedenen x-Auflösungen durchgeführt (Bezeichnung: x_neu=A*x*(1-x)). Der Träger sind alle Punkte, auf denen "Treffer" gelandet sind. Ich finde, dass die Anzahl der Trefferpunkte direkt proportional zur Auflösung skaliert -> es gibt also keine gebrochene Dimension. Klar, die Verteilung der Treffer ist ein Attraktor. Ist es auch ein seltsamer Attraktor? Ist ein seltsamer Attraktor immer ein Fraktal?

Grüße 'peter
Re: fraktale Dimension Feigenbaumdiagramm
20. December 2006 03:04
Hi Peter
Es ist doch nicht gesagt, dass die logistische Abbildung nur rationale Zahlen erzeugt. hmm, naja die Simulation auf dem Rechner schon.
Dennoch so wie ich es verstehe hast du die x-Werte diskretisiert. Einfach so wie bei meinem goldenen Informationsgehalt.
( Wahnsinns Resonanz fuer den Thread uebrigends. Denke ich schreibe auch nur noch ueber Gott und Philosophien :-)
Durch die Diskretisierung, Klasseneinteilungen, muesste das mit dem Box countig eigentlich klappen. Ich meine selbiges Problem gibts auch in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Die Wahrscheinlichkeit dass du einen ganz bestimmten Punkt auf einem nichtdiskreten Intervall [a..b] triffst ist natuerlich Null.

>
Ich finde, dass die Anzahl der Trefferpunkte direkt proportional zur Auflösung skaliert -
>
Das glaube ich nicht. Anfangs ist das vielleicht so. Aber je feiner du diskretisierst ( Mal so 1000 bis 10000 Intervalle benutzen) und je laenger du die Simulation dann laufen laesst. Ich bin mir fast sicher. Es wird sich ein Grenzwert einstellen. Einfach weil das Feigenbaumdiagramm doch ein scharfes Bild liefert.
Ansonsten. Ich wuerde Selbstaehnlichkeit im Feigenbaumdiagramm eher ueber Intervalle des Parameters A suchen. Inseln der Ordnung sind selbstaehnlich zur Ordnung bis zum Feigenbaumpunkt. So meine ich das.

Wenn du eine Selbstaehnlichkeit fuer einen Parameter suchst koennte ich dir etwas anbieten. Lass die Iteration rueckwaerts laufen ! Sie wird aufgrund der Wurzel dann komples und die Punkte in der Ebene haben eine ganz bestimmte Bedeutung.
Kannst du auf meiner HP nachlesen.(Part1 Part2 Part3 Part4)
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/ana_index.htm

Ein Bild einer Rueckwaertsiteration ware z.b. dieses :

http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/pole/pole.htm

Die Implementation kann man schwierig und einfach gestalten. So ganz habe ich das ganze auch noch nicht verstanden. Man kann Loesungszweige per Zufalsgenerator durchwandern und erhalt das selbe Bild wie bei strikt analytischer Vorgehensweise. Ergodizitaet muss eine Rolle spielen.
Konrad hier hatte es besser verstanden als ich. Auch warum das eine Julia Menge ist.

>
Klar, die Verteilung der Treffer ist ein Attraktor. Ist es auch ein seltsamer Attraktor? Ist ein seltsamer Attraktor immer ein Fraktal?
>
Ich denke schon. Ein seltsamer Attraktor ist immer fraktal.
Und A=3.6
Der Ljapunuv ist da positiv. Also schon chaotischer Bereich.

Werd auch mal das Box Counting testen.
ciao
richy
Peter
Re: fraktale Dimension Feigenbaumdiagramm
20. December 2006 13:15
Hi Richy,

>> Ich finde, dass die Anzahl der Trefferpunkte direkt proportional zur Auflösung skaliert -
> Das glaube ich nicht. Anfangs ist das vielleicht so. Aber je feiner du diskretisierst ( Mal so 1000 bis 10000 Intervalle benutzen) und je laenger du die Simulation dann laufen laesst. Ich bin mir fast sicher. Es wird sich ein Grenzwert einstellen. Einfach weil das Feigenbaumdiagramm doch ein scharfes Bild liefert.

Also ich denke, dass der Attraktor einfach eine nicht-homogene Verteilung ist - aber kein Fraktal. Ich habe, glaube ich, bis 100000 getestet. Da das System ergodisch ist, dürfte auch das Hundertfache keine Rechenprobleme bereiten.

>Ansonsten. Ich wuerde Selbstaehnlichkeit im Feigenbaumdiagramm eher ueber Intervalle des Parameters A suchen. Inseln der Ordnung sind selbstaehnlich zur Ordnung bis zum Feigenbaumpunkt. So meine ich das.

Das hat ja Feigenbaum gemacht, und seine Feigenbaumzahlen gefunden.

>Wenn du eine Selbstaehnlichkeit fuer einen Parameter suchst koennte ich dir etwas anbieten. Lass die Iteration rueckwaerts laufen ! Sie wird aufgrund der Wurzel dann komples und die Punkte in der Ebene haben eine ganz bestimmte Bedeutung.
Kannst du auf meiner HP nachlesen.(Part1 Part2 Part3 Part4)

Ok, ich lese es mal durch.

>Werd auch mal das Box Counting testen.

Ja, bin gespannt auf Dein Ergebnis.

Grüße,

Peter
Re: fraktale Dimension Feigenbaumdiagramm
21. December 2006 05:02
Hi Peter

Hab grad nen Auftritt fuer ne Weihnachtsfeier hinter mir. Aber dein Problem dennoch mal kurz durchgegangen.
Zunaechst:
Das Intervall x=[0..1] muss ich diskretisieren. So wie ich das auch bei der goldenen Information getan habe.

Nenne ich die Anzahl Intervalle N_range ergibt sich fuer N_range=100
0-1/100, 1/100-2/100, 2/100-3/100 .... 99/100-100/100

In welches Intervall j der output x dann faellt berechne ich ueber einen Dreisatz und erhalte das Pragraemmchen :

for i from 1 to N do
> s:=r*s*(1-s);
> a[i]:=s;
> j:=floor(s*(N_range-1)+1);
> b[j]:=b[j]+1; ( b[j] ist von 1 bis N_range declariert)
> od: (od ist in Maple end of do Schleife)

In b[j] summiere ich auf wie oft die Intervallnummer j getroffen wurde.
Geht in Ordnung so oder ?
Vor das Prograemmchen stelle ich noch nen kleinen Vorlauf.

Dann muss ich noch eines beachten. Jedes Intervall b[j] muss die Chance haben
ueberhapt einmal getroffen zu werden. Hab ich 100 Intervalle und 50 Simulationsschritte. Klar, das funktioniert nicht richtig. Auch N=N_range nicht.
Ich habe mal N=10*N_range gewaehlt. Also 10 mal mehr Iterationsschritte als Intervalle. Das scheint sinnvoll.

Aber auch bischen problematisch fuer die Rechenzeit.
Denn ich muss die Intervalle schon sehr hoch aufloesen, damit diese kein zusammenhaengendes Gebiet bilden. Ich dort ueberhaupt Luecken finden kann.
Fuer die Darstellung ist hier statt der Programmzeile:
> b[j]:=b[j]+1;
besser geeignet
> b[j]:=1;

Als Beispiel habe ich mal deinen Parameter A=3.6 geaehlt.
Da hast du sicherlich auch zwei scheinbar zusammenhaenge Intervalle festgestellt.
Treffer gibt es bei etwa x=[0.3..0.6] und x=[0.8..0.9]
Sieht man ja auch im Feigenbaumdiagramm.
[url]http://de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Gleichung[/url]

Fuer N_range=100 enthaelt x=[0.3..0.6] vielleicht gerade mal zwei Luecken.
Fuer N_range=500 wird es etwas genauer
Fuer N_range=10000 sieht man dann schon eher den fraktalen Charakter.
Dass die Intervalle eben nicht zusammenhaengend sind, sondern Luecken aufweisen.
Immerhin schon 100 000 Iterationen. Meine 300 Mhz Kiste erledigt die aber in 2 Minuten, also weniger tragisch.


Jetzt habe ich mal etwas ganz einfaches gemacht um die Luecken abzuschaetzen.
Folgende Programmzeilen nach der Iteration :

> count:=0;
> for i from 1 to N_range do
> if (b[i]<>0) then count:=count+1; fi;
> od;

Ich steppe also alle Intervalle durch und ermittle die Anzahl der getroffenen.
Diese Anzahl steht dann in count.
Und dann lasse ich mir k=count/N_range ausdrucken.

Hier das Ergebnis fuer verschiedene Aufloesungen: (N_vorlauf = 100 Schritte)
N_range=100
k=0.4
N_range=500
k=0.392
N_range=5000
k=0.3884
N_range=10000
k=0.3865

Der Wert fuer k, aus dem man schlieslich die fraktale Dimension ermitteln kann, scheint also schon zu konvergieren.

Zur Rechenzeit:
Wir berechnen k fuer einen Parameter im Feigenbaumdiagramm und die Methode liefert schon erheblich Rechenzeiten. Warum eigentlich ?
Das von mir gewaehlte Diskretiesierungsverfahren scheint mir ungeschickt.
Wie betrachten das Intervall [0..1] und bilden dieses dann auf ein Intervall [1..N_range] ab. Das ist ungeschickt !
Verbesserungsvorschlag:
Die Normierung der logistischen Abbildung auf den Bereich [0..1] ist willkuerlich.
Es waere sinnvoller in der Iteration schon mit einer auf natuerliche Zahlen 0.. N_range-1 umnormierten logistischen Gleichung zu rechnen.
x_neu=A'*(N_range-x)
Etwas in dieser Art.
Fraktale Dimension ueber alle A waere sicherlich interessant.
Dann muesste man mit dieser effizienteren Methode vorgehen.
ciao
richy
Peter
Re: fraktale Dimension Feigenbaumdiagramm
04. January 2007 10:50
>Der Wert fuer k, aus dem man schlieslich die fraktale Dimension ermitteln kann, scheint also schon zu konvergieren.

Ja genau. Die Dimension ist also nicht gebrochen, sondern genau 1. Die logistische Gleichung hat vermutlich eine stetige Verteilung als Attraktor.
Re: fraktale Dimension Feigenbaumdiagramm
05. January 2007 18:51
Hi Peter
Ich vertrete eine andere Auffassung. Der Wert k konvergiert fuer limit unendlich gegen einen festen Wert. Mal anschaulich. Je feiner ich mein Gitter mache und darauf zoome werde ich eine neue innere Stuktur sehen, die der im Intervall [0..1] aehnlich ist. Abgesehen von den Randzonen, die nimelas getroffen werden.
Waehrend bei 100 Intervallen noch 40% der Raenge belegt waren
sind es bei der Aufloesung von 10 000 nur noch 38%
Scheinbar zusammenhaengende lueckenlose Belegeungen (Eine Linie) erweisen sich bei naeherer Betrachtung doch nicht als zusammenhaengend. Weisen Raenge auf, die nicht belegt sind.
Genau das Merkmal eines fraktalen Objekts.
Unsere Vorgehensweise ist nichts weiter als ein sindimensionales Boxcounting.
Und wende ich die Boxcounting Dimension an.
[url]http://de.wikipedia.org/wiki/Fraktale_Dimension[/url]
[img]http://upload.wikimedia.org/math/c/e/d/ced7e746297d9df983f9f25a8a67e806.png[/img]
N(e) entspraeche meinem k*N_range
Und die Gitterbreite e=1/N_range
So waere meine fraktale Boxcountingdimension

D=log(0.3865*10 000)/log(10 000)= 0.8967873746
**********************************************
Das waere also eine Naeherung der fraktalen Dimension der Logistischen Abbildung im Intervall [0..1] fuer den Parameter a=3.6
Also nicht ganz eindimensional ist das Gebilde.
Du musst beachten, dass diese fraktale Dimension etwas abstraktes ist.
Erst beim Grenzuebergang der unendlichen Verfeinerung kommt sie zum tragen.
Zusammenhaengende Gebiete blieben im nichtfraktalen Fall zusammenhaengend.
Keine Strukturaenderung bei hoeherer Auflosung.
Das von uns betrachtete Gebiet scheint mir aber fraktal.
Der Ausdruck der Konvergenz von mir war also etwas irrefuehrend.
k strebt monoton fallend im Unendlichen einem Grenzwert zu.
ciao