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Definition: Fraktale

geschrieben von LittleSheep 
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Definition: Fraktale
22. June 2003 15:19
Sooo..hier ist mal wieder das kleine dumme Schaf ;-)
Nein..so jetzt zu meiner Frage:

Kann mir jemand eine kurze und vorallem leichte Definition von Fraktalen geben?

Vielen Dank im Vorraus ,
liebe Grüße

Anna
Hallo Anna,

hab gerade nicht viel Zeit und kann Dir daher erst einmal nur folgendes pasten:

[quote]
Fraktalgeometrie, fraktale Geometrie
von Beno&isupdbgu;t B. Mandelbrot 1975 eingeführte Geometrie, die sich im Ggs. zur euklid. Geometrie nicht mit >einfachen< Formen (Gerade, Kreis, Würfel u. a.) befasst, sondern mit bestimmten komplexen Gebilden und Erscheinungen (Fraktalen), wie sie ähnlich auch in der Natur vorkommen (z. B. das Adernetz der Lungen, die Oberfläche von Gebirgen, eine Küstenlinie, Luftwirbel). Ein Fraktal besitzt folgende Eigenschaften: 1) Selbstähnlichkeit, d. h., jeder noch so kleine Ausschnitt ähnelt bei entsprechender Vergrößerung dem Gesamtobjekt; z. B. zeigt ein vergrößerter Ausschnitt einer Küstenlinie immer noch die Merkmale einer Küstenlinie im Ggs. zu den >klassischen< geometr. Objekten (z. B. ähnelt eine Kreislinie bei stärkerer Vergrößerung immer mehr einer Geraden); 2) gebrochene (fraktale) Dimension; z. B. liegt die Dimension der Oberfläche eines Gebirges zw. 2 (der einer Ebene) und 3 (der eines Körpers), die der Schneeflockenkurve ( Koch-Kurve) zw. 2 und 1 (der einer Geraden). Die Fraktalgeometrie gewann dadurch an Bedeutung, dass man mit ihrer Hilfe viele komplexe Naturerscheinungen mathematisch modellieren und am Computer simulieren kann; insbesondere zeigt ein dynam. System chaot. Verhalten, wenn es ein Fraktal als Attraktor hat, d. h. als Menge aller Punkte seines Phasenraumes, denen das System aus beliebigen Anfangssituationen zustrebt. H.-O. Peitgen u. P. H. Richter: The beauty of fractals (Berlin 1986); B. B. Mandelbrot: Die fraktale Geometrie der Natur (a. d. Engl., Neuausg. 1991).
[/quote] (Quelle: Brockhaus)

Vielleicht kannst Du mir/uns ja einen Hinweis geben, was genau Du daran nicht verstehst...

Gryße,

ccm
richy
Re: Definition: Fraktale
23. June 2003 09:28
hier vielleicht noch ne merkhilfe
Wenn du dir den Arm brichst aste ne fraktur. Fraktal hat also was mit gebrochen zu tun. wenn du ein stueck Knaeckebrot abbrichst dann hat
die Bruchstelle fraktale Eigenschaften. also stark idealisiert.
nur so als randbemerkung
Re: Definition: Fraktale
29. June 2003 22:49
Hi

Auch noch zu erwähnen: natürliche Objekte sind meistens fraktaler Natur. Fraktale werden deshalb zur Simulierung von Bäumen und Gräsern benutzt. Aber das absolute Highlight sind die Blumenkohlsorten: Blumenkohl, Broccoli und in im speziellen Romanescu. Wenn man ein Stück davon abbricht und vergrössert darstellt, sieht es genau so aus wie das Original und anderssherum auch.

Konrad
Re: Definition: Fraktale
30. June 2003 21:09
Kein natürliches Objekt kann ein Fraktal sein,
da der Iterationsschritt bei Fraktalen gegen Unendlich strebt.
Spätestens bei der Atomaren Ebene hört es auf, ein Fraktal zu sein.
-> kein Fraktal !
richy
Re: Definition: Fraktale
01. July 2003 04:29
erstmal Hi Phillip

Ich hoere eigentlich schon vor der atomaren ebene auf. Besitze leider
kein Elektronenmikroskop und wie hier bereits erwaehnt, mein
Rubinlaser ist meiner ex Frau aus dem Schrank gefallen.

Komisch Konrad
Blumenkohl und Brokollie. Nicht meine Geschmacksrichtung: Aber immer
wieder faszinierend wenn diese Kohlsorten auf meinem Teller liegen.
Also praktischer kann man Selbsaehnlichkeit bestimmt nicht ausdruecken.
Romanescu ist ne Kreuzing aus dem Beiden oder ?
Ich glaube das kenne ich auch. Eine recht kantige Gemuesebeilage wie
aus dem Mathematikbuch. Oder ?

Lieber Heinz Besen. Dein Thema oder ? Aber bitte versuche doch mal
auch Deine Gedanken zu focussieren. Du schreibst hier in einem Forum
fuer Chaostheory. Bestimmt sind hier alles ganz liebe offene Menschen.
Das koennte eine Einladung sein. Eben alle Gedanken die einem Bewegen hier darzustellen. Man kann alle Gedanken akzeptieren.
Es gibt hier auch viele Beitraege zu Einsteins allgemeiner und spezieller
Relativitaetstheory. Ich finde es total cool, dass auch die juengeren Leute
sich hier anscheinend Gedanken darueber machen. Versuchen sich ein
eigenes Weltbild zusammenzubasteln.

Letzendlich ist dies hier aber ein Forum fuer Chaostheory. Das ist der
Focus ! Bezueglich deiner Kornkreise und Paralellwelten verweise ich
dich mal an Burkhard Heim.
PS: Deine Links funktionieren meist nicht.

Bestimmt sind hier alles ganz liebe offene Menschen.
Das koennte eine Einladung sein. Aber letztendilch versuchen wir hier
Loesungen zu finden fuer unloesbare Probleme. Oder wir denken wenigstens darueber nach. Bestimmt sind alle hier fuer alles offen.
Aber wenn das hier zu einer Esoterik Plauderecke ausartet, dann bin ich
schon so gut wie wech.
Also denke mal darueber nach Heinz
Du schreibst hier in einem Forun fuer Chaostheory !!!
Nicht in einem Wanderfuehrer !
Alles klar ?

ciao
trotzdem liebe Gruesse :-)
richy
Hallo richy,


dem kann ich mich zum großen Teil anschließen. Der Fokus dieses Forums liegt auf Chaostheorie und natürlich fraktaler Geometrie - gerne auch mal mit Abschweifungen in die Relativitätstheorie, zur Heisenbergschen Unschärfe oder Wissenschaftsgeschichte. Für Kornkreise ist hier aber nicht der richtige Platz, es sei denn, man bringt sie in eindeutigem Zusammenhang mit chaotischen Phänomenen - und das nicht im Sinne von "chaotisch" oder sondern von komplexen, dynamischen Systemen im Sinne der CHaostheorie.

Ich gryße,

ccm.
Hi richy,

Kornkreise lassen sich schon irgendwie mit Chaos verbinden, ich hab nur noch nicht genau raus wie.

Ich stelle mir das wissenschaftsphilosophisch vor, als Anwendungsfall von "Kleine Ursache, große Wirkung" (Schmetterlingseffekt).

Natürlich muß man die Anfangsbedingungen ziemlich präzise rausarbeiten, damit man nicht in wüsten Mutmaßungen versinkt, aber die Vielzahl stark von einander divergierender Erklärungen für ein und dasselbe relativ simple Phänomen hat schon was von chaotischem Verhalten.

Der Attraktor ist vermutlich der Wunsch des Menschen, die Welt möge größer, wunderbar und geheimnisvoller sein, als sie ohnehin schon ist, was erklären könnte, warum gerade relativ einfache Phänomene Ausgangspunkt phantastischer Geschichten sind.

Grüße

Gregor
Hallo Gregor,


als Dein Versuch ist ja wirklich löblich, aber... findest Du, dass uns dieses Thema irgendwie weiter bringt, als zu raten? :)


ccm.
Re: Definition: Fraktale
01. July 2003 18:26
Hi Philipp,

im mathematisch wissenschaftlichen Sinn hast Du sicher recht. Aber die Eingangsfrage war: Eine einfache Definition für Fraktale. Und dazu gehört die Selbstähnlichkeit, und die ist an den besagten Kohlsorten sehr gut zu sehen.


Hi Richy,

vielen Dank für Deinen Beitrag. Du hast meine volle Zustimmung zu Deinen Statements.
Romanescu ist tatsächlich ein Mittelding zwischen Blumenkohl und Brokkoli. Heisst auch Spitzblumenkohl, weil er zwar so dicht wie Blumenkohl, aber spitz und nicht kugelig, grün und nicht weiss ist.


Hi alle,

natürliche Objekte sind nie perfekt. Deshalb lassen sie sich nicht 100% durch Formeln beschreiben. (Ausser durch die allumfassende Weltenformel, so es sie denn gibt). Will man ein natürliches Objekt simulieren (aus den verschiedensten Gründen kann so etwas erforderlich sein), ersetzt man die natürliche Form durch eine künstliche, welche sich mit Formeln beschreiben und deshalb auch berechnen lässt.


z.B. die Sonne:

Jedes Kind malt einen gefüllten, gelben Kreis und jeder weiss was das ist.

In einem 3D Spiel könnte man die Sonne als Kugel, mit einer leuchtenden, wabernden Oberflächentextur definieren. Das Ergebnis ist gut, trotzdem ist die Sonne keine Kugel und hat eigentlich auch keine Oberfläche.

Zur Berechnung der Planetenbahnen reicht es (meist) einen Punkt mit dem Gesamtgewicht der Sonne zu verwenden. Trotzdem ist die Sonne kein schwerer Punkt.


z.B. Küstenlinien, Schneeflocken, Pflanzen usw.

Diese natürlichen Objekte können als Fraktale dargestellt werden, auch wenn es keine Fraktale sind. Mit diesen Fraktalen kann man rechnen, so kann z.B. die Länge einer Küstenlinie mit normaler 1, 2 oder 3 dimensonaler Geometrie nicht bestimmt werden. Mit einer fraktalen "gebrochenen" Dimension ist dies aber möglich.
Allerdings streikt mein Gehirn, wenn ich mir z.B. die 1,34 Dimension vorstellen soll.


z.B. Atome, Elektronen, Protonen und Neutronen.

Die meist verwendete Darstellung des Atoms ist ein Haufen von Protonen und Neutronen, welche exakt kugelförmig sind und von ebenfalls exakt kugelförmigen Elektronen auf kreisförmigen Bahnen umkreist werden.

Dies ist oft ganz praktisch und für Vorgänge im makroskopischen Bereich eine genügend genaue Simulierung, aber leider falsch.

Protonen und Neutronen sind keine Kugeln, sondern ihrerseits wieder aus Quarks zusammengesetzt.

Quarks und Elektronen können anstatt als kugelförmiges Teilchen auch als Welle dargestellt werden.

Misst man die Grösse der Quarks, stellt man mit Erstaunen fest, das einige grösser sind, als die Teilchen in denen sie ursprünglich enthalten waren.

Womit bewiesen wäre, dass die fraktalen Eigenschaften nicht auf atomarer Ebene aufhören.

Über die Möglichkeit Atome mittels der Chaostheorie zu beschreiben liesse sich sicher ein eigener Thread einrichten, aber Blumenkohl ist anschaulicher und schmackhafter.

Konrad