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Frage zum Sierpinski-Dreieck

geschrieben von Joachim Tausch 
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<HTML>"So ähnelt z.B. ein kleiner Ausschnitt des Sierpinski-Dreiecks in der Struktur des gesamten Sierpinski-Dreiecks. (s. Bild) "Im ersten Verkleinerungsschritt entsteht ein um 1/3 Längeneinheiten längerer Streckenzug, er ist also 4/3 mal so lang wie die Ausgangsstrecke. Da beim nächsten Schritt jedes Teilstück im selben Verhältnis vergrößert wird, wird auch der ganze Streckenzug erneut 4/3 mal so groß. Dasselbe geschieht bei jedem Iterationsschritt. Daher bilden die Längen der entstehenden Streckenzüge die Folge: 1 LE, 4/3 LE, (4/3)² LE, ... "

Kann mir jemand erklären, wie der auf 1/3 kommt? Und im selben Werk wurde auch gesagt, das beim S.- Dreieck die Fläche theoretisch endlich, der Umfang aber unendlich ist. Kann mir das jemand erklären ?

JT</HTML>
<HTML>Hallo Joachim,


also 1/3 erschließt sich mir auch noch nicht so ganz, da dass Sierpinski-Dreieck ja eher auf 1/2 aufgebaut ist. Man kann aber auch den Parameter auf 1/3 ändern - nur entsteht dann ein anderes Gebilde.

Aber zu Deiner anderen Frage:

1.) Dass die Fläche endlich ist, brauche ich nicht groß zu beweisen: Im "Hauptdreieck" ist nur eine endliche Fläche eingeschlossen, eine Menge die sich auf einen Teil dieser Fläche bezieht, kann natürlich nicht größer sein und ist somit auch endlich.

2.) Der Umfang: Das Gebilde ist unendlich filigran, wenn Du unendlich iterierst. Du kannst sozusagen immer tiefer zoomen und wirst immer wieder sich selbst ähnliche Gebilde erhalten. Somit kannst Du unendlich oft den Umfang der neu entdeckten Dreiecke hinzuaddieren und somit ...

Moment, das ist kein Beweis *räusper* Theoretisch könnte das auch gegen einen Grenzwert streben. Ein Beweis muss her!

Kannst Du zu Deinem Zitat mit den komischen Rechenschritten noch mehr sagen?


Gryße,


ccm .o)</HTML>
<HTML>Hallo zurück,


nein, von diesem Zitat gibt's nichts anderes mehr, dass es näher erklären würde. Ich persönlich hääte ja auch auf den Faktor 1/2 getippt, weil sich der Umfang ja immer um die Hälfte verlängert (hast Recht, mit einem Grenzwert könnte man es wahrscheinlich beweisen, aber den einfachen Beweis habe ich verstanden, vielen Dank:-) Das mit der Endlichkeit hat sich auch erledigt, ich hätte nicht gedacht, dass es so simpel wäre...

Bei weiteren Fragen werde ich mich vertrauensvoll an Dich wenden...

JT</HTML>
<HTML>Stets zu Diensten ;)


ccm.</HTML>
hallo, können sie mir den aufbau und die funktion und das zustandekommen des sierpinski-dreiecks erklären? bitte um schnelle antwort, dankeschön!
tja jenny die antwort auf diese frage hätte ich auch gern bis montag in physik :-)
Hallo Ihr Zwei,


nichts leichter als das :)


Ich werde im Folgendes das "echte" Sierpinski-Dreieck beschreiben - es gibt auch Abwandlungen.

1.) Man nehme ein beliebiges gleichseitiges Dreieck ABC und markiere sich nur dessen Eckpunkte - die Seiten werden nicht gezeichnet.

2.) Man wähle einen beliebigen Punkt auf dem Blatt.

3.) Man nehme einen dreiseitigen Würfel (da es die nicht gibt - einen sechsseitigen und 1,2 stehen für A; 3,4 für B und 5,6 für C zum Beispiel) und würfle.

4.) Ihr erhaltet nun als Ergebnis des Wurfs einen Eckpunkt des Dreiecks. Nun halbiert Ihr die Strecke zwischen Eurem zufällig gewählten Punkt und dem erwürfelten Punkt und macht dort einen richtigen Punkt hin (mit dem Bleistift bzw. dem Computer).

5.) Euer soeben entstandener Punkt ist nun Euer neuer Ausganspunkt und Ihr beginnt wieder bei 3. - würfeln - halbieren - markieren - würfeln...

Mit der Zeit entsteht nun das Sierpinski-Dreieck. Ein sich selbst ähnliches Fraktal. Das Sierpinski-Dreieck ist erstaunlich gleichmäßig und es erstaunt, wie durch einen so einfachen Algorithmus ein so komplexes und "schönes" Gebilde entstehen kann.

Das klassische Sierpinksi-Dreieck sieht so aus:

[img]http://www.chaostheorie.de/img/sierpinski.gif[/img]


Man kann das Sierpinski-Dreieck verändern, indem man die Strecke zum Beispiel nicht halbiert, sondern drittelt, oder 3/4elt oder man ein Viereck oder Fünfeckt oder n-Eck als Ausgangspunkt nimmt. Es entstehen immer wieder überraschend neue Gebilde.

Wichtig für das Sierpinski-Dreieck ist die Wichtigkeit des Zufalls - Ihr werdet es kaum schaffen, durch ein "logisches" wiederholtes Ansteuern der Punkte die selbe Form zu erhalten. Euer Punkt würde sich quasi im Kreis drehen.

Das Sierpinski-Dreieck bestitzt eine gebrochene Dimension, falls Euch das interessiert (das führt hier aber zu weit).

Hat das geholfen?

Gryße,


ccm :o)
Hi ccm,

ich habe dazu eine Verständnisfrage:

wird der erste, willkürlich gewählte Punkt auch auf dem Blatt markiert, oder halte ich den nur "im Sinn"?

Ich wüßte nämlich nicht, welche Regel verhindert könnte, daß dieser erste Punkt z. B. mitten in dem großen weißen Dreieck zwischen den Seitenhalbierenden liegt, und dann ist die ganze schöne Symmetrie futsch.

Zur Grenzwertfrage: meines Wissens strebt der Gesamtwert einer unendlichen Reihe dann einem Grenzwert zu, wenn die Reihe selber gegen Null konvergiert. Nun scheint es so, daß die Dreiecke, die sich innerhaslb des Sierpinski-Dreiecks ausbilden, ständig kleiner werden. Das liegt wohl an der Halbierungsvorschrift; jedenfalls fällt auf, daß die aufeinanderstehenden Dreiecke stets auf dem Mittelpunkt eines Schenkels des anderen stehen. Damit müßte sich auch der Umfang in jeder Iteration halbieren, und das werte ich (vorbehaltlich eines mathematischen Gegenbeweises) als starken Hinweis dafür, daß die Umfänge gegen Null konvergieren.
Meiner Ansicht nach dürfte der Gesamtumfang aller Dreiecke daher endlich sein.

Ist hier wer im Forum, der das in Formeln fassen kann?

Gruß
Greg
Hallo Gregor,


Deine Frage ist völlig berechtigt. Natürlich liegen der erste und zweite, ja vielleicht sogar noch der dritte Punkt im weißen Bereich. Wenn Du Dir selbst einen Sierpinksi-Generator programmierst, dann siehst Du diese Punkte auch. Auf Grafiken, die Du im Netz findest, wurden diese Punkte nur um der Attraktivität Willen weggelassen.

Ich habe das mal auf einem Grafiktaschenrechner in der Schule programmiert früher und dort konnte man den Aufbau des Dreiecks nachvollziehen, da sich das Dreieck langsam füllte und auch der erste Punkt gut zu sehen war.

Zu Deiner Umfang-Frage:

Sicher hast Du Recht damit, dass die Umfänge der "kleinen" Dreiecke gegen Null streben, der Umfang des Gesamtgebildes jedoch ist theoretisch unendlich, da die Iteration unendlich fortgeführt werden kann. Gleichzeitig strebt die Fläche, und jetzt wird es spannend, gegen Null. Generell gilt für Fraktale, dass sie einen unendlichen Umfang haben, soweit ich das überschauen kann, dabei aber nur eine endliche Fläche. Das Sierpinski-Dreieck (es gibt es natürlich auch als Quadrat, Würfel, Pyramide und in anderen Formen) spielt da eine besondere Rolle mit seiner eingeschlossenen Fläche von Null.


Ich hoffe, das regt ein wenig die Gedanken an,


Gryße,

ccm ;o)
Re: Frage zum Sierpinski-Dreieck
18. October 2002 22:20
also das mit dem flächeninhalt und dem umfang ist glaube ich nicht so schwer
so was gibts schon in der 11. klasse odr früher
nur an einem anderen beispiel, ähnlich dem deer schneeflocke
wenn jemand will kann ich ja mal guggen ob ich das noch wiederfinde
gruß