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Besonderheiten vom Apfelmännchen

geschrieben von LittleSheep 
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Besonderheiten vom Apfelmännchen
20. May 2003 15:38
Hallo erstmal !
Ich habe eine kurze Frage:
Was ist am Apfelmännchen eigentlich so besonders?

Viele Grüße, LittleSheep
Hallo kleines Schaf,

weißt Du denn, was ein Fraktal ist und wie es entsteht?


ccm.
Re: Besonderheiten vom Apfelmännchen
21. May 2003 18:18
Also das Apfelmännchen ensteht doch aus einer rekursiven Formel oder?
Hm und eine Fraktale ist so ein "Bild" das ensteht wenn man eine Formel zeichnet ?
Hallo Schaf,

ich hatte das vor einiger Zeit schon mal wie folgt erklärt. Vielleicht hilft Dir das ja weiter:

----

Hallo Leute,


da gerade die Frage aufgetaucht, wie eigentlich das Apfelmännchen entsteht, werden wir das jetzt einmal durchexerzieren ;)

Erstens: Wichtig zum Verständnis ist die Vorraussetzung, dass das Apfelmänchen eine Menge von Koordinaten beschreibt, es heißt deswegen auch Mandelbrot*menge*.

Was ist eine Menge? Einfach gesagt: eine Anzhal von Zahlen, die zusammengehören (in unserem Fall).

Nun muss man sich noch einmal kurz vor Augen führen, wie komplexe Zahlen funktionieren. In der Schule haben wir ja eigentlich gelernt, dass die Wurzel aus (-1) nicht definiert ist. Im Bereich der komplexen Zahlen ist dies aber Fall: <i>i*i=-1</i>

Nun legen wir uns ein Koordinatensystem an.

Auf die x-Achse tragen wir "normale" Zahlen ein: -2,-1,0,1,2 ...

Auf der y-Achse tragen wir "i" ein.

Nun nehmen wir uns eine Rechenregel: <b>z<sub>n+1</sub> = z<sub>n</sub><sup>2</sup> + c</b>

Wenn Du Dich jetzt fragst, warum gerade diese... Nunja... Sie ist als Formel interessant, weil sie äußerst kurz ist, aber ein unendlich verinkeltes Fraktal ergibt - ein mathematisch chaotisches System...

Oke, was wird nun gemacht?

Ich versuche es jetzt unmathematisch laienhaft zu erklären: Du nimmst dir ein Koordinatenpaar aus dem Diagramm, wendest die Formel darauf an, erhälst damit ja wieder ein Koordinaten und wendest darauf die Formel wieder an und so weiter. Du untersuchst, ob Dein somit "wandernder" Punkt nach unendlich wandert, sprich die Grenzen Deines Koordinatensystems "sprengt" (divergiert) oder immer "drin" bleibt. Wenn Dein hüpfender Punkt immer wieder die selben Wertefolgen annimmt oder sehr lange "verheimlicht", dass es raushüpfen will, gehört es zur eigentlichen Mandelbrot-Menge, die einheitlich schwarz dargestellt wird in den meisten Fällen.

Die anderen Punkte werden nach der Anzahl der nötigen Schritte zum Ausbruch aus dem System eingefärbt. Hierbei betone ich sehr, dass Du immer nur den Ausganspunkt nach seiner Eigenschaft einfärbst. Sprich, wenn Du weißt, dass die Formel auf diesen Punkt nach drei Schritten zum "Ausbruch" führt, färbst Du ihn vielleicht gelb, wenn er das nach fünf Schritten tut rot und so weiter...

So einfach (erklärt) ist das. Versuch doch mal, das nachzuvollziehen und wenn das nicht klappt, fangen wir einfach noch mal von vorn an ;)


Gryße,


ccm :o)