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Fraktale mit nichtkonstantem Exponenten?

geschrieben von Hambi 
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Fraktale mit nichtkonstantem Exponenten?
27. September 2011 11:07
Hallo!

Mir raucht der Kopf.

Mich beschäftigt seit langem folgendes Problem:

Kann eine fraktale Iterationsgleichung im Exponten auch eine Nichtkonstante haben. Denkbar wäre z.B. eine Zufallsvariable (in einem sehr schmalen Schwankungsintervall).

Würde dann das "Fraktal" dann überhaupt noch konvergieren können, wenn es nach jedem Iterationsumlauf einen anderen Exponten hat?

Könnte der Exponent also nicht auch eine diskrete Punktreihe sein?

Ich will einfach mal weg von diesen "braven" Potenzen...




Normalerweise kommen Fraktale immer nur quadratisch vor, also als eine Zweier-Potenz. Fraktale können aber auch andere Potenzen haben, wie z.B. gebrochene Zahlen, ja sogar komplexe Zahlen (!), was mich doch sehr überrascht hat...

Was ist mit negativen Zahlen, irrationalen Zahlen, transzendenten Zahlen oder gar Fraktal-Gleichungen, können die im Exponenten nicht auch vorkommen? Eine Fraktalgleichung in der Fraktalgleichung, das wäre ja dann gewissermaßen eine Art "Superfraktal".




Freue mich über jede (ernst gemeinte) Antwort.

Manuel
Hallo Manuel,

Auszug aus einem Artikel über Fraktale im Spektrum der Wissenschaft (Ausgabe 4/10):

"Andere nichtlinerare Funktionen [als die quadratische] ergeben neue, interssante Mandelbrot-Mengen. [...] Merkwürdigerweise findet sich in ihnen bei Ausschnittsvergrößerungen immer wieder das klassische Apfelmännchen. Anscheinend ist jede Nichtlinearität, wenn man sie nur häufig genug iteriert und mit einem hinreichend starken Vergrößerungsglas betrachteth, 'im Wesentlichen quadratisch', was im Umkehrschluss bedeutet, dass die klassische Iterationsfunktion ads Wesentliche an der Nichtlinearität bereits erfasst."

D.h., dass das Fraktal konvergieren würde. Die einzige Bedingung ist lediglich, dass der Exponenten <> 1 sein muss. Weiterhin wäre dieses Fraktal natürlich nicht repoduzierbar, sofern die Reihe nicht aufgezeichnet wird.

Ich hoffe, dass das ein wenig weiterhelfen konnten.

LG Jan