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Juliamenge rendern

geschrieben von WivonSi 
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Juliamenge rendern
27. March 2011 20:03
Hallo Leute,

ich will in meine 5. PK die Juliamengen und Mandelbrotmengen einbetten. Da will ich unter anderem anschaulich zeigen wie so eine Menge gerendert wird.

Für die Mandelbrotmengen ist das relativ einfach.

Def. Madelbrotmenge: Z(n+1) = Z(n)² + C

Z(0) = 0
C = X + Y*i

X und Y sind die Koordinaten des zu rnedernden Punktes. Z(n+1) und Z(n) lassen sich ähnlich wie C darstellen sodass sich die Gleichung

X(n+1) + Y(n+1)*i = ( X(n) + Y(n)*i )² + X(c) + Y(c)*i

Binom. Formel

X(n+1) + Y(n+1)*i = X(n)² + 2*X(n)*Y(n)*i + Y(n)²*i² + X(c) + Y(c)*i

i² = -1

X(n+1) + Y(n+1)*i = X(n)² + 2*X(n)*Y(n)*i - Y(n)² + X(c) + Y(c)*i

Der Schritt der jetzt kommt, hab ich noch nicht ganz verstanden, aber es scheint zu funktionieren. Jetzt wird die Gleichung in 2 Gleichungen aufgeteilt. In jene Summanden mit und solche ohne den Koeffizienten i.

I) X(n+1) = X(n)² - Y(n)² + X(c)
II) Y(n+1) = 2*X(n)*Y(n) + Y(c) (Die i's fliegen raus)

Damit hab ich jetzt 2 Gleichungen die nur noch aus reellen Zahlen bestehen und sich iterieren lassen. Wenn man das für jeden Pixel einer Fläche macht erhält man die Mandelbrotmenge.


Und jetzt mein eigentliches Problem. Juliamengen lassen sich (laut Wikipedia) durch die Newtoniteration von einer Komplexen Funktion p darstellen.

Also z.B. der Funktion p(Z) = z² - 1
Newtonverfahren: Z(n+1) = f( Z(n) ) und f(Z) = Z - [ p(Z) ] / [ p(Z) ]

wenn ich jetzt p in f einsetze, schaff ich es nicht alle i's zu eliminieren.... Also ich hab keine Ahnung wie ich hier zu 2 Gleichungen analog zur Mandelbrotmenge kommen soll, die ich dann mit einem Script iterieren kann.

Vlt ist ja mein Ansatz, also es sei analog zur Mandelbrotmenge, falsch. Ich hoffe hier in dem Forum kennt sich jemand ein bisschen damit aus. Bin dankbar für jede Hilfe :)