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Proportionen eines rechteckfraktals

geschrieben von AlexSchur 
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Proportionen eines rechteckfraktals
01. February 2005 11:36
Welche Proportionen mssen die Teilrechtecke haben, so dass nach dem Prinzip der Selbstähnlichkeit ein Fraktal definiert werden könnte? Bedenke, dass die Skizze nicht maßstabsgetreu ist!

Das ist unsere Aufgabe zu dem Bild. Das Fraktal, dass da erwähnt wird soll wie folgt aussehen:
In dem linken und in dem rechten unteren Rechteck wird genau diesselbe Figur reingesetzt, usw. Wir müssen halt erstmal x herausfinden um die Proportionen dann zu haben. Könntet ihr uns dabei vielleicht helfen? Wir wären auch um einen Ansatz schon froh.

Eine weitere Frage: Was bringt es, die fraktale Dimension von fraktalen herauszufinden?
Wir haben die fraktale Dimension für folgende Fraktale ausgerechnet. Stimmen unsere Ergebnisse?
Cantor-Menge: 0,631
Cantor-Staub:1,262
Cantor-Schwamm:1,89
Kock-Kurve:1,26
Sierpinski-Dreieck:1,58

Wir sind 4 12er Mathe-LK'ler und haben in Projekttagen das Projekt 'Chaostheorie' gestellt bekommen. Wir haben auch schon einiges gemacht und auch schon Sachen, die der Lehrer gefordert hat, aber darin sind wir überfordert.

Vielen Dank schonmal
Re: Proportionen eines rechteckfraktals
01. February 2005 21:50
Hi
> Welche Proportionen muessen die Teilrechtecke haben, so dass nach dem
> Prinzip der Selbstähnlichkeit ein Fraktal definiert werden könnte?

D.h. dass die gesammte Figur(1X) lediglich um einen Faktor k verkleinert werden soll. Also nicht verzerrt. Eine Rotation der Figur beispielsweise um +/- 90 Grad ist jedoch erlaubt.

Geben wir den Masstaeben doch mal Namen:
K1 = Masstab LINKES Rechteck
K2 = Masstab RECHTES UNTERES Rechteck

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
LINKES RECHTECK
Passt die Figur ohne Drehung unverzerrt in das LINKE Rechteck ?
Die Seite vom Betrag 1 bliebe erhalten. K1*1=1. Der Masstabsfaktor muesste eins sein. Diese Loesung ist trivial bzw unsinnig.

Mit Drehung:
Also muss fuer das linke Rechteck die Figur um 90 Grad gedreht werden.
Damit erhaelt man automatisch aus der Vertikalen:
1) K1*X=1

2) X=1/K1
********

Die Horizontale H1 des LINKEN Rechtecks ist dann K1
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

UNTERES RECHTES Rechteck:
Hier ist die Horizontale H2 aus der vorherigen Ueberlegung nun bereits vorgegeben:
3) H2=X-K1
X kennen wir aus 2)
4) H2=1/K1-K1= (1-K1*K1)/K1


Ohne Drehung
------------------
muss fuer H2 gelten H2=K2*X
H2 setzen wir aus 4) ein, X aus 2)
(1-K1*K1)/K1=K2/K1
und erhalten die Loesung

LSG1)
K2=1-K1*K1
*******

Mit Drehung
------------------
muss fuer H2 gelten H2=K2*1
H2 setzen wir aus 4) ein
und erhalten die weitere Loesung
(1-K1*K1)/K1=K2

LSG2)
K2=(1-K1*K1)/K1
***********
*******************************************************
Nebenbedingungen:
K1>0 K>0 (trivial)
Ob die Bedingungen K1<1 und K2<1 norwendig sind koennte man noch diskutieren.

Wie wird man ueberhaupt praktisch vorgehen ? Man wird zunaechst ein
beliebiges K1 waehlen. Danach x=1/K1 bestimmen.
Schliesslich K2 aus LSG1) oder LSG2) bestimmen.

Forderung A)
K1<1 K2<1

LSG1)
aus K1<1 folgt K2<1 (denn K1>0)

LSG2)
wir fordern K2<1 =>
(1-K1*K1)/K1<1 <=>
K1<1/2 Wurzel(5)-1/2 :-))))))

Die Loesung mit Drehung des rechten Rechtecks ist unter Forderung A)

also nur fuer K1<.6180339890 ... unter K2<1 geloest.

wem die Zahl nix sagt ,
also nur fuer Werte unter dem goldenen Schnitt sinnvoll.
Yamm yamm die Aufgabenstellung ist ja gar net so dumm :-)
Da steckt wohl einiges dahinter *freu

Mache mal noch ne Zeichnung davon
Verrechne mich gerne , also alles ohne Gewaehr.
Abpinseln ohne Nachrechnen waere ja soundso quatsch.
Vom Prinzip muesste es aber so funzen



Beitrag bearbeitet (02.02.05 01:20)
Re: Proportionen eines rechteckfraktals
02. February 2005 01:59
Zusammenfassung:

A)
Das linke Rechteck muss um +/-90 Grad gedreht werden um eine sinnvolle Loesung zu gewaehrleisten.

B)
Hieraus ergeben sich 2 Loesungsmoeglichkeiten fuer das untere rechte Rechteck. gedreht / nicht gedreht

C)
Es ergeben sich alle Gleichungen fuer X,K1,K2
fuer die 2 Faelle. Rechtes Rechteck gedreht, nicht gedreht.

D)
Wie konstruiert man konkret die selbstaehnliche Figur ?
Man waehlt ein beliebiges K1, 1>K1>0.
Bestimmt X
Bestimmt K2

E)
Beispiel fuer den nichtgedrehten Fall K1=0.5
http://home.arcor.de/richardon/noturn1.gif

Die allgemeine Darstellung ueberlasse ich euch.
Duerfte anhand der Formeln und dem Beispiel kein Prob mehr sein.

Der gedrehte Fall ist natuerlich weitaus interessanter, das dieser nur fuer
Werte von K1 gueltig bei denen K1 groesser als der goldene Schnitt ist und
kleiner eins.
Das Bild fuer K1=(sqrt(5)-1)/2 wuerde ich gerne mal sehen !
Also ran an Bleistift, Papier und ein Zeichenprogramm.
Falls was unklar ist. Einfach nachhaken.

> Eine weitere Frage: Was bringt es, die fraktale Dimension von fraktalen
> herauszufinden?

Ich mochte ja die Mobiltelephone mit Antenne.
Inzwischen sind die Teile so billig, da kann man ruhig mal eines fuer wissenschafliche Zwecke gegen die Wand knallen. Denke da werdet ihr dann auf ein Sierpinski Dreieck stossen :-)



Beitrag bearbeitet (02.02.05 16:35)