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Wie entsteht Selbsähnlichkeit?

geschrieben von simon 
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Wie entsteht Selbsähnlichkeit?
10. June 2010 15:18
Hallo Leute,
ich schreibe gerade an meiner Facharbeit und habe das Hauptaugenmerk auf der Frage, wie eigentlich Selbsählichkeit entsteht.
nachdem ich mich etwas in das Thema eingelesen habe, bin ich jedoch noch lange nicht soweit, sagen zu können: ich habs verstanden und kanns mathematisch erklären -.-
kann mir wer helfen oder mir links zu nützlichen seiten geben?



2-mal bearbeitet. Zuletzt am 14.06.10 17:15.
Re: Wie entsteht Selbstähnlichkeit?
19. June 2010 14:22
Du hast eine Frage gestellt, die Dir kein Lehrbuch beantwortet. Man untersucht das viel zu wenig.
Ich versuche es mal mit den Überlegungen, die ich mir selber gemacht habe.

Rein mathematische Betrachtung:
Wenn sich zum Beispiel irgendwo beim Rückkoppeln/Iterieren eine 5-fach-Lösung einstellt, dann ist das potentiell vielleicht auch eine 10-fach-Lösung, einfach wenn man länger wartet oder genauer hinsieht, oder wenn man ins nächste Umfeld wechselt. Aber wahrscheinlicher ist eine 25-fach-Lösung. Jeder Einzelpunkt hat dann wieder die 5-fach-Lösung.

So sehen Materialschwingungen aus. Man muss das in Analogie zu physikalischen Vorgängen sehen.
(Ich bin Physikerin.)


Die Selbstähnlichkeit hat mit Zahlen und ihrer Teilbarkeit zu tun, am Ende sogar mit Primzahlen und dem Goldenen Schnitt.
Der Goldene Schnitt ist die Nicht-Schwingung, wie die Primzahl die Nichtteilbarkeit ist. Teilbare Schwingungen habe viele Harmonische und Subharmonische und das lässt sie Energie verlieren, das Ausbreiten der Energie und Ankoppeln an andere Objekte löst die Stehende Welle auf.
Alles, was stabil (gesund) ist, kann die Ausbreitung der eigenen Energie weitgehend verhindern.

Das dynamische Verhalten unter ein und derselben Operation hängt stark vom Anfangswert ab. Wenn zum Beispiel die 3.Wurzel aus 1 mit dem Newtonverfahren berechnet wird, dann kann der Anfangswert schon sehr nah an der Lösung liegen, und die Rechnung ist schnell zuende. Oder er liegt haargenau zwischen zwei Lösungen und die Entscheidung (das "Einschwingen") dauert sehr lange.
Gehe ich nun hin und "störe" das Newtonverfahren, indem ich einen Tippfehler einbaue oder irgendwo ein zusätzliches Delta addiere oder subtrahiere, dann werden für manche Anfangswerte (oder für alle) die "richtigen" Lösungen der ursprünglichen Gleichung nicht mehr erreichbar. Als ob sich eine Wand dazwischen geschoben hat, an der die Variablen immer wieder abprallen. Der Attraktor (anziehende Kraft zur Lösung hin) wird durch nichtlineare "Hindernisse" abgeschirmt. Nun verändert sich das Bild. Es geht nicht mehr bis nach Unendlich, sondern wird zu einer Insel, zu einem abgeschlossenen Objekt. Es bekommt eine riesige fraktale Vielfalt.
Der Grund: Durch das addierte "Delta" bei jeder Iteration wird zum Beispiel ein stetiges Wachsen oder Fallen einer Variable unterbrochen. Die Veränderung, die die mathematische Operation (z.B. Z^3) erzeugt hat, wird durch ein passendes C (oder unser Delta) wieder kompensiert. Das ist wie Löschung bei Interferenz. Die additive Größe ist gewissermaßen das Referenzwellengitter bei holografischer Speicherung und Wiedergabe. Wo sie passt, gibt es dunkle Streifen oder Ringe. Hier im Fraktal gibt es dann Lösungszyklen von 2 bis Unendlich (Fixpunkt=1Lösung eher die Ausnahme). Das Delta bringt die Variable auf eine frühere Position zurück, sperrt sie wie in einen Käfig. Sie muss dann immer wieder denselben Zyklus durchlaufen. Wo das Delta nie passt (für genau diesen Anfangswert), entsteht Divergenz - die Zahl rast nach Unendlich. Sie konnte also nicht gebändigt werden, das "Objekt" ist explodiert, oder zerstäubt oder verdampft oder wie man es nennen will. Es kam mit diesem Startwert also nicht in die stabile "Existenz", wenn man die Zahlen als Energiewerte einer natürlichen Rückkopplung oder ihrerseits als Frequenzen sieht.
Fazit: Stabile Existenz erfordert einen Käfig, einen Störvorgang (auch als positiver Wert, falls die Variable im Negativen ist), eine Restriktion. Reine Harmonie (ungestörte ausgedehnte Welle) kann nie ein (räumlich abgeschlossenes) Teilchen (stehende Welle in Wirbelform) erzeugen.

Leider wird das dynamische Verhalten am iterierten Bildpunkt fast nie betrachtet, sondern nur die Frage, ob die Variablen zu einem Fixpunkt kommen oder divergieren. Oder wo sie gerade landen, wenn man an einer festen Stelle/Iterationszahl abbricht. Ich habe ein Programm geschrieben, wo man sich das dynamische Verhalten am einzelnen Bildpunkt schonmal ansehen kann (www.vitaloop.de).