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Informationen aus der Fraktalen Dimension

geschrieben von eismensch 
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eismensch
Informationen aus der Fraktalen Dimension
30. July 2009 14:22
Hallöchen!

Ich sitze zur Zeit an meiner DA, in der es um die Fraktale Dimension, wie man sie bestimmen kann und was man mit ihr anfangen kann, geht. Das ganze ist im Bereich Datenbanken / Data Mining angesiedelt. Ich bin auf der Suche nach Anwendungsgebieten und habe mich schon eine ganze Weile um aussagekräftige Literatur zu diesem Thema bemüht, leider ist meine Ausbeute doch recht mager ausgefallen.

Deshalb werfe ich einfach mal ein paar Fragen und Vermutungen in den Raum, vielleicht kennt ja jemand die eine oder andere Antwort oder hat eine Literaturempfehlung.

Wenn ich von Punktmengen im folgenden Spreche, dann beziehe ich das auf Tabellen von Datenbanken. Deren Zeilen interpretiere ich als Punkte in einem E-dimensionalen Raum, wobei E die Anzahl der Spalten in der Tabelle ist. Die Aussagen sollten aber auch auf beliebige andere Punktmengen anwendbar sein.

Rein intuitiv würde ich sagen, die Fraktale Dimension kann als Maß für die Verteilung von Punkten in einer Punktmenge angesehen werden: ist die FD=1 für eine ein-dimensionale Menge, so ist diese gleichverteilt. Je weiter sich die Punktmenge von der Gleichverteilung entfernt, desto kleiner wird die fraktale Dimension. Stimmt das?

Wenn zwei Punktmengen
- die gleiche Verteilung besitzen, ist dann ihre fraktale Dimension gleich?
- die gleiche Fraktale Dimension besitzen, ist dann ihre Verteilung gleich?

Stimmt das: Es gibt zu jeder Punktmenge A eine Punktmenge B, so dass A und B die gleiche Verteilung haben und B in einen Raum eingebettet ist, dessen Dimension dem aufgerundeten Wert der Fraktalen Dimension von A entspricht?
Hintergrund: eine Gerade kann man in beliebig hohen Dimensionen darstellen, dennoch ändert sich die fraktale Dimension nicht. Kann man das verallgemeinern?

Interesannt wäre auch, wenn man aus der fraktalen Dimension Redundanzen ableiten könnte. Folgende Idee: Man hat zwei Punktmengen A und B und bestimmt sowohl deren fraktale Dimensionen FD(A), FD(B ) und die fraktale Dimension der Vereinigung der beiden Punktmengen FD(A+B ). Stimmt es, dass wenn FD(A+B ) = max(FD(A), FD(B )) die beiden Punktmengen redundant sind (d.h. es gibt eine Vorschrift, durch die man die Punkte der einen Menge aus der anderen erzeugen kann)?

Welche sonstigen Informationen über eine Punktmenge sind aus der fraktalen Dimension ableitbar?

Vielen Dank schonmal,
Stefan