Willkommen! Anmelden Ein neues Profil erzeugen

Erweiterte Suche

Fraktale Dimension bei "Verzerrung" des Phasenraumes

geschrieben von Fragender 
In diesem Forum können zur Zeit keine Beiträge verfasst werden. Bitte versuche es später noch einmal.
Hallo Forum,

meine Fragen sind vielleicht naiv. Sie lauten:
1) Ändert sich die fraktale Dimension einer Firgur, wenn diese in einem anderen (verzerrten) Koordinatensystem betrachtet wird? (Transformation des Phasenraumes)
2) Wenn ja, gibt es dann für jedes Fraktal eine Koordinatentransformation des Phasenraumes, das einen Raum erzeugt, den das Fraktal komplett bedeckt?

Danke für eure Hilfe,

Fragender

Re: Fraktale Dimension bei "Verzerrung" des Phasenraumes
28. September 2004 11:04
hi Fragender
So naiv finde ich die Frage nicht.
Hab mir dazu mal zwei Beispiele ausgedacht.
a)
Einmal koennte man die Cantormenge als Darstellung in Polarkoordinaten interpretieren. Uebersetzen wir das in kartesische Koordinaten:
Der Initiator waere dann ein Kreis. Im ersten Itertionsschritt ergeben sich 2 Kreusabschnitte.Ein Kreisabschnitt ist aber kein Kreis mehr. Die Selbstaehnlichkeit nicht mehr gegeben. Dann ist aber der Begriff der fraktalen Dimension nicht mehr sinnvoll.
b)
Wiederum die Kantormenge. Nehmen wir an der Initiator reicht von 0 bis 1. Die Koordinatentransformation soll einfach x'=2*x sein.
erster Iterationsschritt in x:
Zwei Geraden (0..0.33) (0.66..1)

in x':
Zwei Geraden (0..0.66) (1.333..2)
....
allgemein:
|k*x2-k*x1|=|k|*|x2-x1|
Damit aendert sich aber nichts an den Groessenverhaeltnissen.
Die fraktale Dimension bleibt gleich.
Ueber den Abstandsbegriff muesste Deine Frage wohl am ehesten zu beantworten sein. Denke aber die meisten Transformationen werden die Angabe einer fraktalen Dimension nicht mehr zulassen.
ciao
richy



Beitrag bearbeitet (28.09.04 11:17)
Danke, ich denk drüber nach. :-)
Danke, Richy.

hmmm, das hieße, dass für einen sinnvollen fraktalen Dimensionsbegriff der Phasenraum geeignet gewählt sein müsste.
Die Sache mit dem Grenzübergang ist natürlich richtig. In der (physikalischen) Realität dürfte es also eigentlich keine richtigen Fraktale geben...

Grüße,

Peter
Re: Fraktale Dimension bei "Verzerrung" des Phasenraumes
01. October 2004 13:34
Hi Peter
Das muss nicht unbedingt ein Phasenraum sein. So wie Du vermutet hast
koennen Koordinatentransformationen die fraktale Dimension veraendern.
Vornehmlich veraendern sie aber auch die Gestalt von Koerpern, so dass der Begriff der Seltbstaehnlichkeit erweitert werden muss zur statistischen Selbtsaehnlichkeit. Die fraktale Dimension laesst sich dann nur noch numerisch ermitteln. Die Dreiecke oder Ausschnitte im Sirpinski Dreieck sind sich eben nicht nur aehnlich sondern bis auf die Skalierung deckungsgleich. Der Begriff "aehnlich" ist da bischen irrefuehrend.
Blumenkohl ist sich also nicht selbstaehnlich sondern man muesste ihn eigentlich als statistisch selbstaehnlich bezeichnen.
Aber wer macht das schon :-)
ciao richy