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Apfelmännchen

geschrieben von AlexSchur 
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Apfelmännchen
30. May 2004 15:30
Ich, Schüler der 11. Klasse, hab mich entschlossen, mich mit der Chaostheorie ein bisschen zu befassen. Ihr werdet euch jetzt vielleicht fragen, warum ich das tue, und ich habe auch gleich eine Antwort parat. Mir ist einfach langweilig.
Ich bin sooft und auch längere Zeit am Stück im Internet und weiß nicht, was ich machen soll. Da hab ich halt irgendwann gegoogelt und zwar nach dem Begriff CHAOSTHEORIE und bin unter anderem hier gelandet. Ich habe auch noch zahlreiche andere Seiten gefunden und habe auch gelesen, was da steht, doch habe ich nicht sehr viel verstanden, obwohl ich gut in Mathe bin.
Also habe ich mir gedacht, du kannst dich doch mal hier anmelden, mit der Hoffnung, dass du es jetzt endlich verstehst. Das hab ich dann auch gemacht und jetzt endlich komm ich zu meiner Frage.
Ich will nämlich als Einführung in die Chaostheorie erstmal das Apfelmännchenfraktal verstehen.
Könnt ihr mir bitte alles erklären und vorallem wie man auf die Formeln kommt?

Danke im Voraus

Schöne Pfingsten

Chaot
Re: Apfelmännchen
30. May 2004 19:13
Es ist im Prinzip einfach, aber dennoch zu kompliziert, es mit ein paar Worten zu beschreiben. Die mandelbrotmenge entsteht durch Iteration der komplexen Zahl X auf der komplexen Ebene, wobei X->x*x+c ist. X besteht also aus zwei Zahlen, einer imaginären und einer realen. Das macht die berechnung etwas komplizierter, aber die regeln kannst du bei denem mathelehrer erfahren. Wenn man die komplette mandelbrotmenge abbilden will, so nimmt man jeden Punkt auf der komplexen Ebene (Imaginärkoordinate zwischen -2,4 und 0,8 und Realkoordinate zwischen -1,2 und 1,2). Man beginnt in einer Ecke und geht der reihe nach alle Koordinaten durch. Bei der Iteration bleiben die Punkte, die schließlich die mandelbrotmenge bilden endlich, während sich die übrigen nach einigen Iterationen gegen unendlich bewegen. Um das zu prüfen, legt man fest, wieviel Iterationen für jeden Punkt gemacht werden sollen. 30 genügen bereits. Wenn nach 30 Iterationen der wert von X kleiner als 2 geblieben ist, bleibt x endlich und der Punkt wird schwarz eingefärbt. Die übrigen Farben richten sich danach, nach wieviel Iterationsschritten x größer als 2 geworden ist. Wird x nämlich größer als 2 dann strebt der wert sehr schnell gegen unendlich.
man macht das in de Praxis nun so, daß man in einer Schleife, die Anzahl der Iterationen zählt und die punkte nach einem raster einfärbt. Z.B., wenn x nach 5-10 Schritten größer, als 2, dann farbe rot, wenn x nach 10-15 Schritten größer als 2, dann blau. usw, usw.

Ist ein Punkt abgehakt, dann nimmst du den nächsten.
Willst du nun in die mandelbrotmenge hineizoomen, dann brauchst du bloß einen kleineren Ausschnitt z.B. zwischen -1,2 und -0,6 imaginär und +0,4 und 0,6 real zu wählen, wobei die Anzahl der Pixel gleich bleibt.

Es ist aber nicht nötig, das selber zu programmieren. Hilft aber ungemein beim verständnis.
Ich empfehle dir, dir das Buch "The Beauty of Fractals" von H.O. Peitgen und P.H. Richter schenken zu lassen (ISBN 3-540-15851-0). Das ist nicht ganz billig (ich schätze ca. 30 Euro), aber darin ist alles haarklein beschrieben (auf englisch) und es enthält viele schöne Bilder.


Zum verständnis der Chaostheorie reicht das aber nicht. Dazu müßtest du auf andere populärwissenschaftliche Bücher zurückgreifen. Z.B.von Gregor Morfill und Herbert Scheingruber "Chaos ist überall... und es funktioniert" (ISBN 3-550-06509-4)

So, ich hoffe, daß ich mit den paar Infos helfen konnte.
Re: Apfelmännchen
31. May 2004 13:38
Gut das habe ich jetzt so mehr oder weniger verstanden. Programmieren wollt ich ads noch nicht aber das kommt noch. Aber dann in Delphi denn das kann auch mein Mathelehrer. Ich versuch noch den zu überreden, dass die Chaostheorie das Thema von Mathe inner Projektwoche bei uns werden soll.
Aber eine Frage hab ich noch:
Wie komme ich auf diese Formel:
z_n+1 = z_n^2 + c ( z index n+1 = z index n zum Quadrat + c)?
Und habe ich das richtig verstanden, dass Iteration soviel wie Wiederholung dieser Formel heißt?

Re: Apfelmännchen
31. May 2004 14:58
Hi Alex
Ja hast Du richtig verstanden. Iteration bedeutet, dass man eine Operation (Abbildung) mehrmals hintereinander durchfuehrt. Das Ergebnis der Operation wird also immer wieder als neuer Anfangswert benutzt.

Beispiel:
x(n+1)=2*x(n); ANfangswert x(n=0)=1;
erster Schritt: n=0; x(1)=2*x(0)=2;
x(3)=4;
x(4)=8; u.s.w.
Man kann hier die Loesung raten x(n)=x(0)*2^n

So eine iterative Gleichung ist also in etwa die diskrete Form einer Differentialgleichung. Loesung ist eine Funktion.
Und im nichtlinearen Fall nur noch in Ausahmefaellen loesbar.

Wie man auf die Funktion z^2+C kommt musst du Herrn Mandelbrot fragen oder noch besser Gaston Julias. Der hat die Iteration schon 1918 untersucht.
Damals ohne Rechner natuerlich. So im Kopf halt. Also frag ihn doch besser nicht :-) Mandelbrot hat das Ganze nur populaer gemacht.

Das komplizierte Bild der Menge wird durch die Nichtlinearitaet also das Quadrat von z verursacht.

Wie Chaot schon bemerkte ist z eine komplexe Variable. Die Ausweitung auf komplexe Zahlen kann man sich vielleicht so erklaeren, dass die Umkehrfunktion diese Betrachtung notwendig machen wuerde.
Die komplexe Rechnung ist hier aber einfach:
z=a+ib
i ist die imaginaere Einheit. Diese ist ganz einfach eine Abkuerzung fuer Wurzel(-1). Dementsprechend gilt
i^2=-1 und
z^2 =(a+ib)^2 =
a^2 + 2ib +(ib)^2 (1.binomische) =
a^2 + 2ib - b^2
Realteil der Abbildung ist also a^2-b^2
und der Imaginaerteil ist also 2b
Dazu addiert man noch Realteil und Imag.Teil von C und das wars.

ciao
richy



Nachricht bearbeitet (31.05.04 15:15)
Re: Apfelmännchen
03. June 2004 22:32
SO ich hab jetzt meinen Lehrer gefragt, dessen Spezialgebiet das sogar ist. Ich hab den auch davon überzeugt, dass es sich lohnt dieses Thema in der Projektwoche zu machen. Ich freu mich schon.
Re: Apfelmännchen
24. June 2004 10:12
Hallo meine lieben!!!!!!!!!!! Hab euch alle ganz doll lieb!!!!!!! :)
Re: Apfelmännchen
19. February 2006 17:38
hey leute,

ich schreibe eine facharbeit über komplexe zahlen und wollte mal wissen inwiefern die in der chaostheorie eine rolle spielen. suche nämlcih gerad ein anwendungsbeispiel. hab schon mal in der physik geguckt aber das scheint zu "komplex" für die facharbeit zu sein.



danke im voraus

sascha