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DGL's erster Ordung

geschrieben von richy_2 
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DGL's erster Ordung
14. December 2006 22:39
Hi
Ich hab fuer alex hier mal die wichtigesten DGL's sammt Loesungskonzepz zusammengestellt:

Differenzialgleichungstypen erster Ordnung, fuer die analytische
Loesungsmethoden existieren:

(Die also analytisch geloest werden koennen)

dv/dx=f(x)/g(v) :
*************
Lsg: TRENNEN DER VARIABLEN

dv/dx=f(v/x) :
***********
Lsg: SUBSTITUTION z(x)=v(x)/x, dv(x)/dx=z+x*dz/dx
Merkmal bei der Form:
(x^n*v^m+x^n#*v^m#)/ (x^q#*v^r#+x^q*v^r#)
n+m=n#+m#=q+r=q#+r#

dv/dx=f [ (ax+bv+c)/ (Ax+By+C) ]
***************************
Fall 1)
Determinante (a b A B) <> 0
c=C=0
dv/dx=f[ (a+b*v/x) / (A+B*v/x)] =F(v/x]

Fall 2)
c und C ungleich Null
Erfordert einen etwas hoeheren mathematischen Aufwand, der mittels Substitution schliesslich auf den Fall c=C=0 abgebildet werden kann.

Fall 3)
Determinante (a b A B) = 0
Substitution u(x)=ax+b*v(x) fuehrt auf eine DGL die sich durch Trennen der Variablen loesen laesst.

*********************
ALLGEMEINE LINEARE DGL:
dv/dx=p(x)*v(x)+q(x)
*********************
LSG:
v(x)=exp(a(x))*Integral(q(t)*exp(-a(t)) dt * C
mit
a(x)= Integral(0..x, p(u) du

***************
Bernoullische DGL
***************
dv(x)/dx = p(x) + q(x)*v^n, n ungleich 0,1
LSG:
SUBSTITUTION u(x)=v^(1-n)
fuehrt auf die lineare DGL


****************
RICCATTISCHE DGL
****************
dv(x)/dx=p(x)*v(x)^2 +q(x)*v(x) +r(x)
******************************

Die RICCATiSCHE DGL enthaelt die Bernoullische DGL fuer r(x)=0
und die lineare DGL fuer p(x)=0 als Spezialfaelle.
Man kann diese DGL nur loesen indem man durch Probieren eine spezielle Loesung v1(x) findet.
Dann fuehrt die Substitution:
v(x)=v1(x) + 1/u(x)
auf die lineare DGL:
du/dx = -(2*p*y1 +q )*u - p

Die exakte DGL
************
Das ist auch ein sehr wichtiger DGL Typ:
P(x,v)dx+Q(x,v)*dv=0
Diese Differentialgleichung ist exakt , wenn fuer die partiellen Ableitungen in einem einfachen zusammenhaengenden Gebiet der x,v Ebene gilt:
DP/Dv=DQ/Dx

Es existiert dann eine Funktion f(x,v) mit:
df/dx=P und df/dv=Q
Das Bestimmen der Loesung ist etwas komplizierter.

Die nichtexakte DGL
****************
ist von der Form:
P(x,v)dx+Q(x,v)*dv=0
wobei die partiellen Ableitungen die Bedingungen :
DP/Dv=DQ/Dx nicht erfuellen !
Solche DGL`s koennen dennoch geloest werden indem man sie mittels eines geeigneten Faktors u(x,v) in eine exakte DGL ueberfuehrt.
u heisst dann integrierender Faktor.
Es muss gelten:
du/dv*P + u*dP/dv = du/dx*Q + u*dQ/dx

d/dx steht fuer den partiellen Ableitungsoperator.

Lineare DGL's lassen sich mittels Laplace Transformation loesen.
Im diskreten Fall mittels Z-Transformation.

Das analytische Matheprogramm Maple kann alle vorgestellten Gleichungstypen Loesen. Auch diskrete. Sowie viele partielle Differentialgleichungen.

ciao
Re: DGL's erster Ordung
14. December 2006 23:53
Hi

Danke Richy für die Auswahl und die zugehörige Fleissarbeit! Wenn ich mich in meiner freien Zeit mal etwas schlau gemacht habe, können wir DGL gerne in unsere Diskussion mit einbeziehen.