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was ist ein Attraktor?

geschrieben von Christian H. 
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Christian H.
was ist ein Attraktor?
23. October 2003 15:06
ich finde immer verschiedene definitionen, aber keine hat mich bisher wirklich befriedigt. danke
Christian H.
Re: was ist ein Attraktor?
23. October 2003 17:11
ist das die stelle an der die ordnung in das chaos umstürtzen kann?
Re: was ist ein Attraktor?
23. October 2003 18:17
Nein, eigentlich im Gegenteil: ein Attraktor ist der ruhende Pol im Chaos, der Ort, wo das Verhalten wieder vorhersagbar wird.

Ich stelle ihn mir vor wie eine Gravitationsmulde: wenn das System zu nahe rankommt, wird es angezogen (daher der Name Attraktor) und umkreist ihn so lange, bis etwas es wieder hinauskatapultiert.

Chaotisch ist ein System nur so lange, wie es sich nicht zwischen zwei oder mehreren Attraktoren entscheiden kann (oder von etwas aus dem Orbit um einen Attraktor rauskatapultiert wird).

Grüße

Gregor
Re: was ist ein Attraktor?
25. October 2003 11:04
Hallo Christian
Man kann das noch ergaenzen. Wie Gergor bereits erlaeutert hat ist ein Attraktor ein anziehender Punk. (denke an attraktiv = anziehend)
Es gibt aber verschiedene Attraktoren. Zum Beispiel einen in dem der Funktioswert des Systems voellig gefangen wird. Dann Repulsoren, dass
sind Attraktoren die wie Gregor beschreibt wieder verlassen werden. Zum Beispiel wenn das System zwischen 2 oder 4 Werten ossziliert. Dann der chaotische Attraktor. Hier existieren so viele Attraktoren, dass die angenommenen Funktionswerte des Systems zufaellig erscheinen.
(Es gibt eine noch feinere Unterteilung. Findest du im www.)
Wie diese Attraktoren zustande kommen findest du z.B. in den Beitragen Ljapunov und Ferrari ..Neue Anwendung entdeckt... for Nobelpreris :-)
Oder versuchs mal mit der Suchfunktion hier und y0i .

Das chaos tritt uebrigends meist nicht ploetzlich sondern ueber Periodenverdopplung ein. Die einzelnen Verzweigungspunkte nennt man dabei Birfurkationsstelle. Schau dir einfach das Feigenbaumdiagram noch mal genau an.

ciao
richy
Re: was ist ein Attraktor?
22. November 2004 22:10
Hallo Leute!
Habt ihr Fantasie?Gut!Dann begleitet mich auf eine immaginäre Reise!
Unser Zielgebiet ist der Phasenraum.
Attraktoren sind Geschöpfe,die in einer merkwürdig abstrakten Welt leben,die man Phasenraum nennt.Es ist nicht schwierig einen solchen Raum zu besuchen,aber für diesen Ausflug braucht man eine Karte.
Indem wir Landkarten von Phasenräumen lesen und es lernen,die dort lauernden Attraktoren zu indentifizieren,werden wir in der Tat die uns so vertraute Welt der Ordnung verlassen und an den Rand des Chaos treten.
Dort am turbulenten Abgrund werden wir Nichtlinearität und Rückkopplung ins Antlitz sehen, eines wilden und unheimlich schönen Ungeheuers,das man den "seltsamen Attraktor" nennt.
Beginnen wir unsere Reise mit Gedanken über Landkarten.
Um uns in einer neuen Stadt zurechtzufinden,benützen wir einen Stadtplan;um durch unbekanntes Terain zu fahren,brauchen wir eine Straßenkarte.Aber es gibt viele Arten von Karten:
1,topologische Karten wie die der Untergrundbahn
2,Wetterkarten
3,Karten der Elektronendichte in einem Molekül
usw
Karten sind anschauliche Bilder,die es dem Denken erlauben,sich auf Aspekte der Realität zu konzentrieren,die sonst allzuleicht in den Details verlorengehen.
Nehmen wir an,ein Forscher interessiert sich für die Bewegungsänderungen eines von Wien (meine Heimatstadt) nach München fahrenden Autos,dh für das Anhalten,Bremsen und Beschleunigen.Man könnte natürlich einfach für jeden Zeitpunkt den Ort des Autos angeben.Wissenschaftler ziehen aber oft eine andere Darstellung vor,in der zu jedem Ort die Geschwindigkeit gezeigt wird.Den durch diese "Karte" dargestellten Fantasieraum,in dem die Bewegung des Autos dargestellt wird,nennt man den "Phasenraum des Systems".
Der Phasenraum hat so viele Dimmensionen (Variablen),wie sie der Forscher benötigt,um die Bewegungen des Systems zu beschreiben.Bei einem mechanischen System benutzt man gewöhnlich Ort und Geschwindigkeit.Für ein ökologisches System könnte der Phasenraum etwa durch eine Karte dargestellt werden,in der die Populationsgrößen verschiedener Arten erscheinen.Schaubilder der Bewegung von Systemvariablen im Phasenraum lassen die merkwürdigsten Seitenwege einer andernfalls verborgenen Wirklichkeit sichtbar werden.Lassen wir jetzt unser Auto starten und die Bewegungen auf einer Phasenraumlandkarte vermerken.Jeder Punkt auf der Karte ist ein Schnappschuß der Richtung (Länge und Breite=2Variablen) und die Seehöhe (wir bewegen uns ja in einer 3-dimmensionalen Welt) zu einem genau definiertem Zeitpunkt.
Zuerst wird der Weg quasi chaotisch aussehen.Unser Auto bewegt sich innerhalb des Stadtgebietes!!!Anfahren,bremsen,Richtungsqwechsel,Stillstand und wieder beschleunigen.
Dann jedoch kommt die Autobahn!!Jetzt wird sich im Normalfall nicht mehr viel tun.Geschwindigkeit annähernd gleichbleibend und nur noch langsame Richtungsänderungen.
Wie dieses Beispiel zeigt,sieht eine Reise durch den Phasenraum ganz anders aus als die Reise im wirklichen Raum.Die Karte für unser Auto ist stark vereinfacht!!!Um eine realistischere Darstellung zu erhalten,könnte ein Wissenschaftler die Autobewegungen in einem verfeinerten Phasenraumdiagramm erfassen.Da das Auto sich ja in jeder der 3 Raumdimmensionen bewegen kann und dort-vor allem,wenn es sich in gebirgigem Gelände bewegt-in jeder dieser 3 Dimmensionen eine verschiedene Geschwindigkeit haben kann,könnte man für das Auto ein Phasenraumbild mit 3 räumlichen und 3 weiteren Geschwindigkeitsdimmensionen erweitern.
Es ergäbe sich also ein (3+3=)sechsdimmensionaler Phasenraum!!
Oft untersuchen Physiker Systeme, die verschiedene Komponenten enthalten,deren jede sich in drei Raumrichtungen mit verschiedenen Geschwindigkeiten bewegen können.Da ein einzelnes Teilchen einen sechsdimmensionalen Phasenraum benötigt,wird ein System von x Teilchen einen 6-x-dimmensionalen Phasenraum erfordern.
Um die Bewegung unseres Autos genau zu beschreiben würden wir einen unübersehbar gross-dimmensionierten Phasenraum brauchen,weil wir eigentlich für jeden Bestandteil des Autos 6 Dimmensionen bräuchten!!!
Gott sei Dank behalten die Bestandteile immer den selben Abstand und alle die gleiche Geschwindigkeit bei!!!!Somit genügen uns die 6 Dimmensionen.
Dies gilt normalerweise für alle stabilen,fest angeordnete Systeme.
Um den Übergang eines Systems von der Ordnung zum Chaos zu untersuchen,muß man gewissermaßen studieren,wie diese sehr einfache und begrenzte Bewegung im Phasenraum sich aufsplittert und wie die Natur dabei erforschen beginnt,welche Möglichkeiten ihr in diesem viel größeren Phasenraum zur Verfügung stehen.
Die Systeme der Natur sind wie Tiere die ihr Leben lang eingesperrt waren.Befreit man sie aus ihrem Käfig,so neigen sie zunächst dazu,sich sehr begrenzt zu bewegen,wagen sich nicht weit,lungern herum und wiederholen immer wieder einige wenige typische Bewegungen.Nur wenn ein etwas abenteuerlustiges Tier aus diesem Muster ausbricht,kann es geschehen,daß es aus der Sichtweite des heimatlichen Käfigs entweicht,ein ganz neues Universum entdeckt und erforschen will und in völlig unvorhersehbarer Weise davonläuft.
Zu den einfachsten und regelmäßigsten Systemen gehören jene,die periodisches Verhalten zeigen,die also wieder und wieder in ihre Anfangsbedingungen zurückkehren.Daraus folgt logischerweise,daß auch die Bahn eines periodischen Systems im Phasenraum immer wieder zum gleichen Punkt zurückkehren muß,gleichgültig wie kompliziert diese Bahn auch sein mag.Solche Systeme sind also tatsächlich wie in einem Käfig eingesperrt!
Ein vertrautes Beispiel ist das Pendel.
Es schwingt zur linken Seite,wird dabei langsamer,kommt am höchsten Punkt für einen infinitesimalen Augenblick zur Ruhe-und dann kehrt es zurück,wobei es schneller und schneller wird.Im Tiefsten Punkt der Schwingung erreicht es die höchste Geschwindigkeit und wird im Aufsteigen nach rechts langsamer.Das Pendel ist eines der einfachsten Systeme,die solches periodisches Verhalten zeigen.Wenn keine Reibung und kein Luftwiderstand wäre,müßte das Pendel bis in alle Ewigkeit weiter schwingen.Da dem Pendel nichts anderes übrig bleibt,als in der einen Richtung zu schwingen,sagen die Wissenschaftler,es habe "einen Freiheitsgrad".
Unser Auto hat demnach 3 Freiheitsgrade.
Doch bedenken wir wohin wird das Pendel gezogen?Egal wie stark wir es anstossen,irgendwann kommt es in der Mitte zum Stehen.Und wie wird dieser Punkt genannt??Ihr habt es erraten-ATTRAKTOR!!!!
Ein Attraktor ist ein Gebiet im Phasenraum,das eine "magnetische" Anziehungskraft auf ein System ausübt und dieses anscheinend ganz in sich hereinziehen will.
Natürliche Systeme werden von Energietälern angezogen und von Energiebergen abgestossen.Eine Landschaft im Phasenraum kann beliebig viele Attraktoren besitzen.Chaosforscher haben Attraktorlandschaften entworfen,die mit ihren Falten und Schluchten komplexer sind als unsere Gehirnwindungen.
Doch zurück zum Pendel!!!In einer Uhr wird mittels Mechanik die Reibung und der Luftwiderstand überwunden.Es ist so,daß nach einem zusätzlichen Anstoss oder nach einer kurzzeitigen Dämpfung das Pendel schließlich wieder in seinen ursprünglichen Zyklus zurückkehrt.Damit haben wir offensichtlich eine neue Art Attraktor vor uns.Hier wird das Pendel nicht in einen festen Punkt hineingezogen,sondern in eine zyklische Bahn im Phasenraum.Diese Bahn nennt man einen Grenzzykel oder einen Grenzzykelattraktor.
Ein wichtiges Beispiel für den Grenzzykel ist das Beute-Raubtier-System.Einmal überwiegt die Anzahl der Beutetiere -da vermehren sich natürlich die Räuber-dadurch sinkt wiederum der Beutetierbestand.Die Folge davon ist,daß die Räuber ihrerseits wieder keine Beutetiere fangen-die Anzahl der Räuber sinkt.Und schon gehts vom Neuen los!!
Die Forscher haben dieses System recht gut studiert und konnten sogar zeigen,daß,selbst wenn man an einer beliebigen Stelle des Zyklus eine weitere Komponente in Form von Jägern hinzufügt,die Zahlen sich schließlich doch wieder spiralförmig in den alten Grenzzykel hineinlaufen!!!Ein kombiniertes Raubtier-Beute-System ist bemerkenswert stabil!!

So-jetzt bin ich aber schon zu müde um noch mehr zu schreiben!Den "seltsamen Attraktor" müssen wir auf ein anderes mal verschieben!Sorry!
Hoffe ihr hattet Spass an unserer kleinen Expedition ins Land der Phasenräume und Attraktoren!
Grüße aus Wien
Satyr

Re: was ist ein Attraktor?
23. November 2004 17:36
Hallo Satyr,


das was du da schreibst kommt mir aus dem Buch "Die Entdeckung des Chaos" von John Briggs, F. David Peat verdächtig bekannt vor.
Ich nehme mal an du hast das gelesen (-;
Ich jedenfalls lese es gerade und bin dabei meinen Weg durch den Spiegel ins Chaos zu beschreiten. In meinen Augen ein sehr phantasievoll und leicht verständlich geschriebens Buch, das wirklich zum Nachdenken anregt und gut strukturiert ist (die Analogie mit dem Spiegel find ich besonders klasse!).

Gruß, >> (nur) ein Gast <<
Re: was ist ein Attraktor?
23. November 2004 20:29
Hallo Gast!
Es ist in meinem Bücherregal aber gelesen habe ich es schon lange nicht mehr!Aber der einfache Vergleich ist doch sehr einprägsam-oder?Absicht war ein einfaches aber gut verständliches Abbild eines Attraktors zu zeichnen.
Grüße aus Wien
Satyr

Re: was ist ein Attraktor?
29. November 2004 21:05
@ satyr
Eine Beschreibung nach meinem Geschmack :-) Aber jemand, der die Thematik nicht kennt und nur oberflaechlich liest ....
Hmm, denke fast, so jemand wird mit deinem Beitrag auch net sehr viel mehr verstehen.
Ein paar Bilder wuerden da vielleicht weiterhelfen ?
Ich hab auf meiner HP mal angefangen mit so ner Art Chaostheorie for
Dummies. Ist bisher noch nicht viel online. Mir ist am Ende wie in Deinem
Thread auch irgendwie die Luft ausgegangen.
ciao
Re: was ist ein Attraktor?
15. December 2004 12:22
Hi,

Ein Attraktor ist eine geometrische Struktur im Phasenraum, die alle Endzustände, die ein dynamisches System langfristig annehmen kann, darstellt. Betrachtet man dabei die Entwicklung eines Punktes des Systems im Zeitverlauf, so kann man sie als Linie im Phasenraum darstellen, die man auch als Orbit, Trajektorie oder Phasenportrait des Systems bezeichnet. Verschiedene Startpunkte des Systems beschreiben so unterschiedliche Orbits, die jedoch gegen einen oder mehrere Endpunkte konvergieren. Die Menge dieser Endpunkte nennt man, abgeleitet aus dem Lateinischen „attrahere“ (anziehen) Attraktor, da dieser die Orbits bzw. das System gewissermaßen wie ein Magnet anzieht.

Nach ihrer Struktur kann man Attraktoren im dreidimensionalen Phasenraum grundsätzlich in vier Klassen einteilen:
• Fixpunktattraktor: Hier laufen die Bahnen im Zustandsraum auf einen Punkt zu. Ein Pendel mit Dämpfung (das also Energie dissipiert) beschreibt einen solchen Orbit: unabhängig davon, wie man es anstößt, läuft das Pendel immer auf die gleiche Ruhelage zu. Jedes System, das langfristig zur Ruhe kommt, lässt sich durch einen solchen Fixpunkt im Phasenraum charakterisieren.
• zyklischer Attraktor (Grenzzyklus): Die Bewegung eines Pendels, dem kontinuierlich eine konstante Energie zugeführt wird, kehrt in gleichen Zeitabständen zum selben Punkt im Raum zurück. Es erscheint im Phasenraum als geschlossene Kurve oder Grenzzyklus. Das Pendel wiederholt die gleiche Bewegung immer wieder und erreicht einen periodischen Zyklus. Ein vielzitiertes Beispiel für Grenzzyklen ist das Raubtier-Beute-System.
• Torus-Attraktor: Stehen zwei Grenzzyklen miteinander in Wechselwirkung, so ergibt dies im Phasenraum einen Torus-Attraktor
• seltsamer Attraktor: Ein Attraktor heißt seltsamer bzw. chaotischer Attraktor, wenn zum einen der Verlauf der Orbits sensitiv abhängig von den Anfangsbedingungen ist, wobei zwei Orbits mit verwandten Anfangsbedingungen (anfangs benachbarte Trajektorien) im Zeitverlauf exponentiell auseinanderlaufen. Dadurch wird das Systemverhalten unvorhersagbar – das System "vergisst" woher es gekommen ist.
Darüber hinaus muss ein seltsamer Attraktor eine weitere Bedingung erfüllen: eine Trajektorie muss im Zeitablauf alle Punkte des Attraktors berühren. Da ein Attraktor nur eine endliche Größe hat, können auseinanderlaufende Trajektorien nicht für immer exponentiell auseinanderlaufen, sondern müssen sich irgendwann einmal wieder annähern, bevor sie erneut auseinanderstreben. Man spricht hierbei von Faltung: die auseinanderlaufenden Trajektorien werden übereinander gefaltet, wobei sich dies immer wiederholt, sodass Falten in Falten usw. entstehen. Dadurch erhalten chaotische Attraktoren eine sogenannte fraktale Struktur. Die geometrische Dimension des Attraktors ist nicht ganzzahlig wie beispielsweise beim Fixpunktattraktor (Dimension 0) oder beim Grenzzyklus (Dimension 1) sondern seine Dimension liegt zwischen solchen ganzzahligen Werten.

Alles klar?
lg
ekki
Hallo,
ist ein "Ordner" die Energie, die Elemente/Menschen Richtung Attraktoren schubst?

Ich verstehe den Zusammenhang leider nicht. Attraktor verstehe ich. Aber was ist ein Ordner?

Thomas