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Rechenbeispiel zur Chaostheorie

geschrieben von Steffi 
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Hallo ihr alle,

muss, wie viele vor mir auch schon, ein Referat über die Chaostheorie halten. Ist in Volkswirtschaftslehre, also sollte alles so einfach wie möglich dargestellt werden, da keine Mathematiker oder Physiker im Publikum sitzen.

Was ich noch bräuchte wäre ein Rechenbeispiel, bei dem ersichtlich wird, dass wenn nur ein Faktor leicht geändert wird, das Ergebnis ein ganz anderes ist. Also z. B. als Lorenz auf den Schmetterlingseffekt kam, hatte er ja auch mit weniger Dezimalstellen gerechnet und das Ergebnis war ein völlig anderes. Schön wäre es auch, wenn man die unterschiedlichen Ergebnisse dann in einer Art Liniendiagramm darstellen könnte, dass es anschaulicher wird, da ich keine mathematischen Formeln berechnen oder erklären möchte.

Schonmal vielen Dank für eure Hilfe

Steffi
Peter
Re: Rechenbeispiel zur Chaostheorie
26. April 2007 10:57
Hallo Steffi,

als Beispiel gefällt mir am besten die logistische Gleichung (Verhulstgleichung)
http://de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Gleichung

Sie ist ein sehr einfaches Modell für eine Insektenpopulation, auf der Wikipediaseite ist das gut erklärt.

Um zu zeigen, dass das Ergebnis bei kleinen Abweichungen nach ein paar Iterationen stark abweicht, könnte man einfach eine Wertetabelle für einen geeigneten Wachstumsfaktor qf (siehe Artikel) aufstellen.

Außerdem lassen sich noch einige andere interessante Sachen der Chaostheorie zeigen:
- Attraktoren (z.B. für Wachstumsfaktoren <3)
- Intermittenz (Bereiche von Ordnung und Chaos lösen sich ab, siehe Feigenbaumdiagramm)
- Bifurkationen

Viele Grüße,

Peter
Vielen Dank erstmal.
Was ich noch nicht verstehe sind die Häufungspunkte. Was genau ist damit gemeint? Was bedeutet es, wenn es bei einem bestimmten r-Wert 8 Häufungspunkte gibt? Was bedeutet das für die Population? Liegt das an den Dezimalstellen, dass z. B. bei r=3,56 (habe keine Ahnung von dem Wert, nur mal als Beispiel) ein Wert von 0,3 herauskommt und dann bei 3,561 ein etwas anderer?

Steffi
Re: Rechenbeispiel zur Chaostheorie
06. May 2007 18:34
Hi

[quote]
wenn es bei einem bestimmten r-Wert 8 Häufungspunkte gibt?
[/quote]

Das bedeutet, dass die Population in der zeitlichen Simulation zwischen 8 Werten hin und herspringt. Periodische Attraktoren.
An einem 8er Zyklus/Haeufungspunkt im nichtchaotischen Bereich kannst du die Empfindlichkeit der Anfangswerte NICHT demonstrieren.

[quote]
dass wenn nur ein Faktor leicht geändert wird, das Ergebnis ein ganz anderes ist.
[/quote]

Das kannst du bei der Verhulst Gleichung zeigen wenn du einen Wert fuer r waehlst, der im chaotischen Bereich liegt. Noch genauer ausgedrueckt, wenn der Ljanpunowexponent stark positiv ist.
[img]http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/a_lja4.gif[/img]

Der Wert r=3.8 waere zum Beispiel hierfuer geeignet.
Noch Eindrucksvoller waere der Uebergang zu einer Insel der Ordnung.
Etwa in der Umgebung r= 1+ wurzel(8) = 3.828427124

Hier kannst du die Gleichung online simulieren:
[url]http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/verhulst/verhulst1.htm[/url]
Fuer a=3.829 erhaeltst du einen recht stabilen 3 er Zyklus.
Fuer a=3.824 erhaeltst du Chaos.



6-mal bearbeitet. Zuletzt am 06.05.07 19:14.