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Fenster der Ordnung (3 er Zyklus)

geschrieben von richy_2 
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Fenster der Ordnung (3 er Zyklus)
12. January 2007 00:43
Im Zusammenhang mit der Zip Verteilung scheint die Stelle, an der das Feigenbaumdiagramm in die grosse Insel der Intermittenz uebergeht r=3.82..... von besonderer Beudeutung.
Hier findet ein Uebergang vom Chaos zu einem Dreierzyklus statt.
Ich habe neulich versucht den Dreierzyklus etwas naeher zu untersuchen.
Die "verketteten" Polynome (auf meiner HP erlaeutert) stellen hier ein praktisches Hilfsmittel dar:

p(0)=x Polynom 1.ter Ordnung
p(1)=r*x*(1-x) Polynom 2.ter Ordnung
p(2)=r*(r*x*(1-x))*(1-(r*x*(1-x))) Polynom 4.ter Ordnung
p(3)= ............................................ Polynom 8.ter Ordnung
p(n)=.............................................. Polynom 2^n.ter Ordnung

Mit MAPLE lassen sich die Polynome einfach rekursiv erzeugen:
p(0):=1;
for i from 1 to 10 do p(i+1)=r*p(i)*(1-p(i)); od;

Oder mittels einer Simulation aller Anfangswerte.
So stellt p(2) alle Anfangswerte nach der 1.ten Iteration dar.

Schnittpunkte eines p(m) Polynoms mit der 45 Grad Linie stellen einen
moeglichen m fach Zyklus dar. Falls die Konvergenzkriterien erfuellt sind.
Man erkennt weiterhin, dass beim 3 er Zyklus 3 Schnittpunkte sich mit wachsendem r der 45 Grad Linie naehern ohne diese vorher zu schneiden.
=> Unter Voraussetzung der Stetigkeit "tangiert" das Polynom die 45 Gradlinie. Dessen Ableitung ist in dem Fall somit Gleich eins.

Damit laesst sich fuer den unbekannten Parameter r , an dem gerade der 3 er Zyklus einsetzt sowie die unbekannten Schnittpunkte von p(3) mit x
folgendes nichtlineares Gleichungssystem formuliere:

1) p(3,x)=x
2) dp(3,x)/dx=1

mit den Nebenbedingungen
x>0 x<1
Alle Werte sollen nichtkomplex sein
p(3) ist ein Polynom 8 ten Grades ! Mit MAPLE lassen sich jedoch 3 reelle Loesungen fuer x finden. (Bin mir nicht sicher ob MAPLE hier automatisch ein numerisches Verfahren verwendet.)

s1:=343*_Z^6-980*_Z^5+868*_Z^4-134*_Z^3-161*_Z^2+70*_Z-7
x=s2:=RootOf(s1,0.9563178420)
x=s3:=RootOf(s1,0.5143552771)
x=s4:=RootOf(s1,0.1599288184)

Sowie entsprechende recht komplizierte Loesungen fuer a;
Diese lassen sich jedoch getrennt ermitteln.
Die Werte 0.9563178420, 0.5143552771, 0.1599288184
scheinen tatsaechlich die genau die gesuchten Schnittpunkte beim Uebergang in den 3 er Zyklus darzustellen.
Setzt man einen der Werte in das Polynom p(x) ein so laesst sich nun
(leider nur numerisch) das zugehoerige r ermitteln:

fsolve(p=x,r);

die Loesung im Bereich 0<4 lautet:

r=3.828427126
*************

Fuehrt man eine Simulation mit dem Parameter durch, sieht man, dass es sich tatsaechlich um einen reinen 3 er Zyklus handelt.
Fuer eine Statistik nach Zipf ist ein solcher weniger geeignet.
Hier ergab sich empirisch als Parameter mit kleinstem Fehlerintegral:

r=3.828246
**********

Der Weg ins Chaos fuehrt uber Periodenverdopplung.
Also nicht ueber einen 3 er Zyklus. Dennoch ist dieser von Interesse.

Hier nochmal eine kleine Grafik von p(x) dazu:
Fuer r wurde genau der berechnete Uebergang zum 3 er Zyklus verwendet :

[img]http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/3er.gif[/img]