Willkommen! Anmelden Ein neues Profil erzeugen

Erweiterte Suche

KONRAD-richy Polstellenberechnung der Verhulst Polynome.

geschrieben von richy 
In diesem Forum können zur Zeit keine Beiträge verfasst werden. Bitte versuche es später noch einmal.
Hallo,

es ist nicht die Feigenbaumkonstante. Diese beträgt wohl 3,59... Die vielen Linien in meinem Diagramm beginnen aber bei 3,6787...

Schaut man das beigefügte Diagramm an, so kann man den Weg erkennen, wie die Zahl bestimmt werden kann und warum sich ab dieser Zahl so viele zusätzlichen Linien entstehen.

Also:
wir beginnen bei y0 = 1-1/a
gehen rückwärts zu y1 = 1/a
gehen rückwärts zu y2a = 0,5 ( 1/4 - y1/a )**0,5
und zu y2b = 0,5 + ( 1/4 - y1/a )**0,5

Die Verfolgung des a Zweiges führt zu Linien immer näher an 0 und 1

will man von y2b rückwärts gehen, so ist für a < 3,6787 y2b grösser als die Höhe des Scheitelpunktes (a/4) der Parabel. Eine weitere Rückwärtsiteration ist nicht möglich, der Algorythmus kann dies an einer negativen Zahl unter der Wurzel erkennen.

Mit folgender Gleichung kann diese Grenze von a bestimmt werden:
a/4 = y2b = 0,5 + ( 1/4 - 1/a**2 )**0,5

Für grössere a ergeben sich 2 Schnittpunkte zwischen y2b und der Parabel (y3ba und y3bb) und von diesen aus kann wiederum rückwärts iteriert werden.

wird a noch grösser, kann auch von y3ab aus rückwärts iteriert werden. Diese Grenze ist im Polstellendiagramm ebenflalls noch an einer Häufung der Linien erkennbar. Die Gleichungzur Bestimmung von a wäre:
a/4 = y3ab = 0,5 + ( 1/4 - y2a/a )**0,5

usw.

wird a grösser als 4 führen y Werte zwischen 0 und 1 nicht mehr zu weiteren Linien, auch das ist im Polstellendiagramm sichtbar.

Konrad
Hallo Richy
hier also die Polstellen bis F20, man sieht, es wird nur schwärzer. vor 3,67 irgendwas und nach 4,0 entstehen keine weiteren Polstellen im mittleren Bereich.

Konrad
Hallo Richy,

Du hast recht, deine komplexen Polstellen müssen eine Julia Menge bilden weil:

- Julia Mengen werden in einer Ebene der Startwerte dargestellt. Also genau so wie Du die Polstellen dargestellt hast.

- Julia Mengen sind Grenzen zwischen Gebieten, bei welchen die Startwerte zu unterschiedlichen Attraktoren hingezogen werden. Bei der Verhulst Gleichung und a = 1+6**0,5 ist der Attraktor zwar der gleiche, nämlich ein periodischer, aber die Perioden tauschen sich genau in den Polstellen (Juliamenge). Du hast dies bereits in Bild polsqrt6both.gif erkannt.

- Punkte die genau auf der Julia Menge liegen werden zu keinem Attraktor hingezogen sondern bleiben auf der Juliamenge. Wenn man von einem beliebigen mittels Polstellenalgo gefundenen Punkt vorwärts geht kommt man an anderen Polstellen vorbei um letzlich beim unattraktiven yoi zu landen...

- Je näher ein Punkt an der Juliamenge liegt, desto länger dauert es, bis er von dieser wegkommt und sich auf seinen Attraktor hinbewegt. So entstanden die Rippen der Ferrari Figur

Konrad
Hallo ,

Richys Erweiterung des Polstellenalgos korrigiert:

y ist komplexe Zahl y = u + jv
a ist reelle Zahl, Imaginärteil von a ist immer Null

(was bei komplexen a passieren kann, siehe meinen Thread "Gemeinsamkeiten")


y(k)=1/2 +/- sqrt( 1/4 - y(k+1) / a)

y(k)=1/2 +/- sqrt( 1/4 - ( u(k+1) + jv(k+1) ) / a)

Definiere Zwischenwert
z = 1/4 - ( u(k+1) + jv(k+1) ) / a
z = alpha + j * beta

daraus folgt

y(k)=1/2 +/- sqrt(z)
alpha= ( a - 4u(k+1) ) / 4a
beta = -v(k+1) / a

Definiere
betrag = sqrt(alpha*alpha + beta*beta)

Als iterative rechenvorschrift erhaelt man dann:
u1(k) = 1/2 + Sqrt( 0.5* (betrag + alpha))
v1(k) = Vorzeichen(beta) * Sqrt( 0.5* (betrag - alpha))

u2(k) = 1/2 - Sqrt( 0.5* (betrag + alpha))
v2(k) = Vorzeichen(beta) * - Sqrt( 0.5* (betrag - alpha))


Die Grafik zeigt von a=2 bis a=4,4 die Realanteile der Polstellen, sie ist logischerweise die Fortführung meines Bildes Polstellen.gif

Konrad
Hallo,
gleich n och ein Bild hinterher, dieses zeigt die imaginäranteile der mittels vorgenanntem Algo gefundenen Pole.

Richtigerweise gibt es keine Imag anteile mehr jenseits von a=4 denn weil der Scheitelpunkt der Parabel bei a>4 höher als 1,0 ist, führt JEDER Wert zwischen 0 und 1 bei der Rückwärtsiteration zu zwei reellen Lösungen.

Konrad
Sorry, siehe Thread Gemeinsamkeiten:

yoi hat einen imaginären Anteil der 1/a/a beträgt, wenn a eine reelle Zahl ist. Somit ist der Ausgangspunkt all der shönen Grafiken hier leider falsch.

Schluchz

Konrad
Sorry Sorry

diesen und den letzten Beitrag von mir gleich wieder vergessen. unser yoi hat keinen Imaginären Anteil, wenn a keinen hat.

ccm vielleicht kannst Du diese beiden Beiträge von mir wieder löschen. Es bringt nur Verwirrung.

Konrad
Heureka,

nun also noch Real- und imaginärteil der Pole für 2<a<4,4 in einem 3D Bild.

schneidet man die Figur in 1+sqrt(5) erhält man Richys pole.gif

schaut man die Figur von vorne an erhält man Richys allpole.gif.

A ist von vorne nach rechts hinten
Realteil ist von vorne nach links hinten
imaginärteil ist von unten nach oben.

Der Übersicht halber nur ein Quadrant dargestellt

Konrad
Und nun noch das i-Tüpfelchen: die komischen Zöpfchenmuster im hinteren Bereich hatten mich im Bezug auf Chaostheorie besonders interessiert.

Es handelt sich also um Parabeln in der imaginären Ebene, die sich im Scheitelpunkt mit Parabeln in der reellen Eben berühren.

konrad
Re: KONRAD-richy Polstellenberechnung der Verhulst Polynome.
04. February 2004 01:12
@ CCM
HILFE WO SIND DIE BILDER IM ANHANG GEBLIEBEN ?
( BESONDERS DIE VON KONRAD. EIGENE HABE ICH NOCH )
Re: KONRAD-richy Polstellenberechnung der Verhulst Polynome.
06. February 2004 09:23
OOps

bei mir auf dem Rechner sind sie ja hoffentlich noch vorhanden. Dumm nur, dass ich an meine Einträge nicht rankomme, weil ich sie damals noch nicht als registrierter Nutzer erstellt habe.

@ccm: Wenn es sich machen lässt Originalzustand mit Bildern wieder herstellen.

@ccm: wenn nicht, ist es möglich alle vom unregistrierten Benutzer "Konrad" erstellten Beiträgen dem registrierten Benutzer "Konrad" zur Bearbeitung freizuschalten. Ich würde mir dann die Mühe machen die Bilder wieder einzustellen.

@Alle: Wäre das überhaupt in Eurem Interesse, immerhin kämen dann all die alten Sachen wieder ganz nach oben in der Diskussionsliste, und momentan läuft die Diskussion hier in eine andere Richtung.

@richy: wenn sich die alten Sachen nicht mehr reaktivieren lassen, Du aber die Bilder haben willst, kann ich Sie Dir auch mailen.

Konrad
Re: KONRAD-richy Polstellenberechnung der Verhulst Polynome.
06. February 2004 14:37
Ich hätte sie dann auch gerne ;)
Re: KONRAD-richy Polstellenberechnung der Verhulst Polynome.
07. February 2004 14:05
Hi Konrad
Ich glaube auch mit der Bearbeitungsfunktion ist es nicht moeglich einen Anhang neu anzubringen oder zu aendern. Ist echt schade, weil ohne die Bilder ist das Meiste nicht mehr verstaendlich. Ich denke ich habe auch noch den groessten Teil der Bilder.
Vielleicht lese ich erstmal den Thread nochmal durch und schaue zu welchem Beitrag am ehesten etwas fehlt. Schade, die mit der Mandelbrotmenge in den Farben der Zyklen waren auch so gut :-(
Oder schickst mir einfach alle Bilder verpackt per mail. Kann ja dann auch meine Festplatte durchsuchen. Wuerde das ganze auch gerne auf meine HP stellen. Angefangen habe ich schon damit.

HAB NOCH NE IDEE
Wir koennten einen neuen grossen Thread aufmachen und mit Copy Paste die wichtigsten Beitraege mit neuem Anhang hinenkopieren. Reihenfolge waere dann ein Prob. Koennte man durch eine Nummerierung loesen. Also falls du Lust dazu hast.

@andre Von der Optik sind die Bilder nicht sooo beiindruckend, der Inhalt ist wichtig. Ich schreib erstmal was wir damals eigentlich gemacht haben.
ciao
richy



Nachricht bearbeitet (07.02.04 15:27)
Re: KONRAD-richy Polstellenberechnung der Verhulst Polynome.
08. February 2004 17:22
Hallo,

hier alle meine Bilder zu diesem Thread, die Sache mit der Mandelbrotmenge ist einem anderen Thread, den ich aber auf gleiche Weise in Kürze wieder mit Bildern versehen werde.

Die Bilder stecken in der angehängten Zip Datei.

Beitrag vom Bild
20.07.03 22:19 Polstellen.gif
20.07.03 22:44 Polstellen2.gif
21.07.03 14:18 friendly4.gif
03.08.03 18:49 Polstellen3.gif
10.08.03 13:39 Realteil.gif
10.08.03 14:02 Imagteil.gif
10.08.03 18:10 Pol3D.gif
10.08.03 18:14 Pol3Ddetail.gif


@Richy,
Du hattest hier doch auch ein paar schöne Bilder eingestellt. ( pole.gif und allpole.gif )
Die fehlen natürlich auch für das Verständnis

@ccm
"Der folgende Anhang ist zu gross: Archiv1.zip
Anhänge dürfen nixht grösser sein als k"
Bitte Satz korrigieren, so dass man weiss wie gross die Anhänge sein dürfen.

Grüße
Konrad

PS: Sorry ich kriege keinen Upload hin, werde es später noch einmal probieren