Willkommen! Anmelden Ein neues Profil erzeugen

Erweiterte Suche

KONRAD-richy Polstellenberechnung der Verhulst Polynome.

geschrieben von richy 
In diesem Forum können zur Zeit keine Beiträge verfasst werden. Bitte versuche es später noch einmal.
Wie versprochen wird der Dumschwaetzer richy nun auch bald ein schoenes Bild fuer dieses Forum liefern. Und ich verspreche die Bilder
werden fraktal sein. Und darueberhinaus auch eine konkrete Aussage
liefern hinsichtlich der Chaostheorie.

Am Rande:
KURZE EINFUEHRUNG mod OPERATOR

Diese liefert fuer a mod b den Wert 0, falls a durch b teilbar ist.
(Ansonsten den ganzzahligen Rest)
Hauptanwendung des mod Operators ist eine einfache "alle n mal"
Operation innerhalb einer Schleife.

SO BAUE ICH EINEN BINAERBAUM :-)
( siehe auch meine Treads mit Konrad )

Die Berechnung aller Pole eines p(n) Verhulst Polynoms erfordert
alle Vorzeichenfaelle zu beruecksichtigen. Fuer 2**n Faelle erhaelt
man diese einfach durch Binaerzahl-Zerlegung aller Zahlen 0 bis 2**n-1:
Jede Zahl besteht dann aus n Bits

BEISPIEL n=3: 0..7
dez bin Vorzeichen
0 000 ---
1 001 --+
2 010 -+-
... usw

als Matrix:

01234567
00001111
00110011
01010101

Algo zur Binaerzerlegung der Zahl a:
Die Zahl a wird mod2 diviediert. erhaelt man 0 ist das Bit 0 sonst 1
Der Vorgang wird nun mit der Zahl a/2 iterativ fortgesetz. (Integerdivision)

BEISPIELCODE:
Binaerzerlegung der Zahl 13

for (i=0; i<4; i++)
{
if (dezi % 2 ==0) sign=0;
else sign=1;
text=String.valueOf(sign);
g.drawString(text,10*i,70);
dezi=dezi/2;
}
AUSGABE: 1011

/************************************************/
ALGEMEIN FUER EIN p(n) POLYNOM:

BEISPIELCODE (JAVA)

int i; /* INT Zaehler */
int sign; /* Vorzeichen */
String text;
int vstep; /* VERHULST STEPS maximal 20 */
long id; /* Long Zaehler */
long grad; /* Long hoechster Polynomgrad */
long zahl; /* Aktuelle Dezimalzahl */

vstep=10; /* VORGABE VERHULST-STEPS */

grad=1;
for (i=0; i<vstep; i++)
grad=grad*2; /* max POLYNOMGRAD berechnen */

for (id=0; id<grad; id=id+1) /* LONG INT SCHLEIFE */
{ /* ALLE FAELE */
zahl=id; /* DUMMY */
for (i=0; i<vstep; i++) /* BITMUSTER SCANNEN */
{
if (zahl % 2 ==0) sign=0;
else sign=1;
text=String.valueOf(sign); /* Ergebnis ist sign */

/************************************************/
/* AKTUELLES VORZEICHEN ERMITTELT */
/* KOMPLEXE POLSTELLE BERECHNEN */
/************************************************/
zahl=zahl/2; /* ITERATION VORTSETZEN */
}
}
/************************************************/

/*
VORSICHT !
AUFGRUND DER MOD / INTEGER FUNKTIONEN IST DIESER ALGO NICHT
FUER FLIESSKOMMAZAHLEN GEEIGNET: IM KERN WIRD MIT LONG INT
GERECHNET. DIE POLSTELLEN VON POLYNOMEN MILLIONSTER ORDNUNG
KOENNEN DAMIT JEDOCH NOCH BERECHNET WERDEN:
*/

/************************************************/
/* KONKRETE ANWENDUNG */
/************************************************/

/*

Zielsetzung war es eine Pol / Nullstellen-Darstellung der
Verhulst / p(n) Polynome zu berechnen. Diese Pole koennen
natuerlich komplex sein. KONRAD hat hierfuer eine einfache
geniale iterative Methode vorgeschlagen, die wir gemeinsam
sehr ausfuehrlich diskutiert haben.
Die Methode fuehrt darauf die Verhulst Gleichung "rueckwaerts"
zu durchlaufen. Jeder Iterationsschritt fuehrt dann auf zwei
Loesungen. Es entseht ein Bianaerbaum. Diese Problematik ist mit
dem oben angegebenen Algo gedoch geloest.
Die Problematik komplexer Loesungen ist dagegen einfacher.

In einem Thread mit KONRAD wurde auch schon untersucht, ob eine
komplexe Loesung die iterative Wirkungskette unterbricht.
Die Antwort war von meiner Seite her ein klares NEIN !

Es fehlt nun lediglich noch die konkrete komplexe Rechenvorschrift
der inversen Verhulst Funktion, um die Polstellen nun endgueltig
zu ermitteln. Das ist aber einfach. Man muss nur von Anfang an
komplex rechnen. Im Bronstein findet sich dann die komplexe
Abbildung :

Sqrt(Z) Z=komplex=x+iy. Seite 516
Sqrt(x+iy)=u+iv
u=Realteil: +-sqrt( (x+sqrt(x*x+y*y))/2)
v=Imateil: +-sqrt( (-x+sqrt(x*x+y*y))/2)

Ich denke das komplexe Rechnen darf die Anzahl der Faelle nicht erhoehen.
Die +- Vorzeichen von Realteil und Imaginaerteil muessen also gekoppelt
sein. Verwendet man bei Re das plus , muss man auch bei Im das plus
verwenden. etc.

BTW: Ohne eine Kopplung der Vorzeichen wuerde die Problematik wohl im
Nirvana enden. Die Vorzeichen sind aber gekoppelt !

Yepp
Noch immer kein fraktales Bild von diesen Polstellen !

Ich bin zufrieden, denn ich denke das schwierigste Problem, die Betrachtung aller Vorzeichenfaelle habe ich mit diesem Beitrag bereits geloest.
Den Rest werde ich gaaaanz genuesslich angehen :-)
... also freut euch schonmal auf die Bilder :-)

ciao
richy
Liebe Chaosfreunde !

Die iterative Polstellenberechnung fuer die Verhulst Gleichung habe ich
nun implementiert ! Mal vorweg: Die in dem Programm angezeigten Werte
zeigen die Schnitte zwischen einem Verhulst Polynom p(n) und unserem Freund yoi. yoi ist unserer invarianter Freund (a-1)/a.
Also ich bin nicht bloed. Ich habe schon bemerkt, dass dieser Polynom
Diskussion niemand mehr folgen wollte. Ausser KONRAD.
KONRAD hat seinen iterativen Polstellenalgo bestimmt besser verstanden als ich. Hey KONRAD bist du noch online ?
Ok und ich habe das ganze nun implementiert. In einem Java Applet.
KONRADS Idee ist einfach genial. Er hat einen iterativen Algo gefunden
um die Gleichung p(n)=yoi zu loesen. Iterativ fuer beliebige n.
Die Hauptschwierigkeit hierbei, das Durchlaufen des Binaerbaumes
habe ich im letzten Thread ja bereits geloest.
Dies erforderte eine inverse Betrachtung der Verhulst Gleichung.
Moechte das hier nur skizzieren:
Wendet man die quadratische Loesungsformel an erhaelt man :

y(k)=1/2 +/- sqrt( 1/4 - y(k+1)/a)
jetzt betrachtet man y(k+1) komplex
y(k)=1/2 +/- sqrt( 1/4 - (u+Iv)/a) I=imaginaere Einheit

Kurz:
y(k)=1/2 +/- sqrt(z)
z= alpha + I*beta
alpha= (a-4u)/4a
beta = -v/a

Fuer weitere Berechnung betrag = sqrt(alpha*alpa + beta*beta)
Als iteratibe rechenvorschrift erhaelt man dann:
u=1/2 +/- Sqrt( 0.5* (betrag + alpha))
u= +/- Sqrt( 0.5* (betrag - alpha))

ERSTAUNLICH:
Nur fuer sehr spezielle Faelle enthaelt man fraktale Darstellungen.
Das von mir implementierte Applet stellt die Schnittpunkte von p(n)
mit yoi in der komplexen Ebene dar. Der Algo hat also einen konkreten
mathematischen Hintergrund !
Fuer den Fall a=2 habe ich hier ja bereits eine geschlossene analytische
Loesung fuer die Verhulst Gleichung vorgestellt.
Konrad war der Meinung, dass es wohl auch moeglich waere fuer den
naechsten Grenz-Fall a=1+sqrt(5) solch eine Loesung herzuleiten.
Dies ist aber unmoeglich. Fuer diesen Fall liefert der Polplan ein
besonders fraktales Gebilde. Sieht aus wie ne Juliamenge,
Ich kenne dieses Gebilde sehr gut.
Schaut es euch doch einfach mal an !
Ich habe kein screenshot Programm. Daher habe ich das Pol-Bild als
Applet auf meine HP gestellt:

http://home.arcor.de/richardon/polplan/vpol1.htm

ciao
richy
hey snapshot geht bei windows ja einfach mit der Druck Taste und Einfuegen. Hier also im Anhang das Bild.
und weils so huebsch aussieht das ganze fuer Parameter a=2..4
BTW Horizontal ist der Realteil vertikal der Imagnaerteil.
Es ist der pol sowie dessen konjungiert Komplexe eingetragen
Man sieht sehr schon dass fuer kleine a die Schnittpunkte vornehmlich komplex sind. D.h sie existieren reel gar nicht. Mit zunehmendem a wird
das Gebilde zur reelen Achse hin komprimiert und fraktal. Es entstehen immer mehr reele Schnittpunkte. Fuer a=4 sind "alle" Schnittpunkte reel.
So sieht es gedenfalls beim Computerexperiment aus.
Besonders interessant wie denn die entwicklung vom einzigen reelen Mehrfachpol zu diesem "Kreis" sich vollzieht. Teste ich gleich mal.
ciao
richy
pole fuer a=1+sqrt(6)

20 te Ordnung. d.h. etwa 1 000 000 ter Ordnung
im Vergleich die reelen Schnitte desselben Falls anhand p(8)
dto maple
beide Bilder ueberlagert ! Ahaaa :-)
Hi Richy,

faszinierend

Konrad
und noch 1+sqrt(5..9) in Farbe :-)
hi Konrad
Du bist ja auch noch hier unterwegs :-) Die Pole sehen lustig aus nicht ?
Also keine Chance mit der Methode eine weitere Loesung zu basteln.
Aber man kann viel an den Bildern ablesen. Oder einfach nur anschauen.
Vielleicht hast Du auch wieder mal ne neue Idee.
ciao
rich

Ps Im Anhang der Java Quellcode
Re: KONRAD-richy Polstellenberechnung der Verhulst Polynome.
15. July 2003 02:31
hi

Korrektur Die Formel im Bronstein gilt nur fuer Im>0
Fuer Im<0 muss man das Vorzeichen des Im(sqrt(z)) umdrehen
if(v<0) sign=-sign;
v= sign*Math.sqrt(0.5*(betrag-alpha));

Momentan zermuerbe ich mir den Kopf mit folgender Frage:
Ich kenne alle Schnittpunkte eines Polynoms mit c (Horizontale)
Aber viel Interessanter waeren doch die Schnittpunkte mit der 45 Grad
Linie. Aber Konrads Algo gilt nur fuer die Horizontale.
Daher:
Gibt es einen Algo um aus den Schnittpunkten des Polynoms mit einer
Geraden y=Constant die Schnittpunkte des Polyoms zu einer beliebigen anderen Geraden zu ermitteln ? Habe niergends etwas gefunden :-(
Dacht an eine Koordiatentrasformation.. (Drehung um -45 Grad) mhhh
Integration ? log Differentation ?
d (ln(( x-x1)(x-x2))/dx = 1/(x-x1) + 1/ (x-x2) = 1 / f(x) * df(x)/dx So was ?

Klar das Prob ist loesbar. Das Polynom ja durch die Nullstellen bekannt.
Aber ein erneuter Schnitt liefert dann eben das analytisch unloesbare:
Ermittle NS eines Polynoms vom Grad 1 000 000.
Zwischenueberlegung:
Konrads Schema nuetzt die speziellen Eigenschaften dieser Polynome aus.

Es sollte fuer alle Konstanten y=c funktionieren. Je nach Startwert ys
liefert der Algo die Schnittsellen p(n) mit y=ys.
Schnitt mit der 45 Grad Linie beudeutet "Repulsoreneigenschaft". Also
etwas voellig verschiedenes.
dp(n,x)/dx - algo - Integration . so was koennte ich untersuchen..........

Gibt es eventuell doch noch singulaere Mehrfachpole ?
Wenn ich meinen Kopf um 45 Grad drehe erscheint mir der Schnitt p(n) mit der 45 Grad Linie fuer a=3 kein hoffnungsvoller Kandidat.

Also mal auf anderen Horizontalen such ? Mit dem Rechner unmoeglich.
Fuer a=2.0 +10e-15 ist 0.5 schon kein singulaerer Pol mehr. Nur wenn man
es weiss zeigt er sich ! :-)

Aber analytisch geht dies. Das Untersuche ich gerade. Ist auch nicht einfach. Ich gehe mit der verallgermeinerten Loesung fuer singulaere
Pole in die Verhulst Gleichung ein und versuche neben a=2 weitere
Loesungs Parameter zu suchen. D.h. Maple mach das fuer mich.

Soweit mal :-)
ciao

NOCHMAL EINFACHES BEISPIEL ZUM PROBLEM

Ich hab ne Parabel . Schneide die mit einer Horizontalen.
Stueck Faden oder so, Schnittpunkte bekannt.
Jetzt schiebe ich den Faden um "yschieb" nach oben. wie
aendern sich die Schnittpunkte ? Grrr.
Ich geb ein dy vor das dx suche ich ja. Mit Ableitung des Polynoms
koennte das funktionieren in kleiner Umgebung. Grad eins weniger.
Aber ich muss auch dann dach x Aufloesen. Also nochmal ableiten ?
Einen Computeralgo koennte man so basteln. Aber wohl keine Formel
herleiten oder doch ? Bei Drehung wirds natuerlich noch komplitzierter.



Nachricht bearbeitet (16.07.03 03:17)
Re: KONRAD-richy Polstellenberechnung der Verhulst Polynome.
15. July 2003 05:52
hi
Sorry aber es ist nervig andauernd meine Loesung der Verhulst Gleichung fuer a=2 in der hintersten Ecke dieses Forums zu suchen. Kopiere das mal hierher, weil ich das momentan wohl noch oefters benoetige:

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

p'(n)=c(n)*(x-1/2)**g(n), g(n)=(2**n)

c(n) ist der Koeffizient der hoechsten Potenz p(n)=c(n)*x**n+....

Koennte man berechen aber auch erraten indem man versuchsweise
einige p(n)-1/2 durch (x-1/2)**g(n) teilt

Das ergibt
n=1/ -2 =-(2**1)
n=2/ -8 =-(2**3)
n=3/ -128 =-(2**7)
n=1/ -32768 =-(2**15)

Ich rate also mal c(n)=-(2**(2**(n)-1))=-(2**g(n))/2

Damit habe ich die Loesung:
p'(n)=-1/2*(2x-1)**g(n), g(n)=(2**n)

*****************************************
p(n)=-1/2*(2x-1)**g(n)+1/2, g(n)=(2**n)
*****************************************
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Wie gesagt momentan versuche ich mit so ner Art Variation von
Parametern neue Erkenntnisse zu gewinnen. D.h ich gehe ganz
einfach mit einem Loesungsansatz / Funktion, die freie Parameter
enthaelt in die Verhulst Gleichung ein.

> with(linalg):restart;
> gm:=2**m; gn:=2**n; cm:=a;cn:=a;
> pol:=(a-1)/a;
> pm:=(-(cm*x-cm*pol)**(gm)*1+(a-1))/a;
> pn:=(-(cn*x-cn*pol)**(gn)*1+(a-1))/a;
> n:=m+1;
> err:=simplify((pm*a*(1-pm)-pn));
> l:=solve(g=0,a);

l := (a*x-a+1)^(2^m)*(-2+a)/a

Ich erhalte die Loesungen

l1= -1/(x-1)
l2= 2

Es existiert also nur ein singulaerer Mehrfachpol fuer a=2
Braucht man gar nicht weitersuchen
Und die 2te Loesung ? Wenn man die fuer a einsetzt wird aus der Loesung
p(n) ein schlichtes p(n)=x


ciao
richy



Nachricht bearbeitet (16.07.03 09:26)
Re: KONRAD-richy Polstellenberechnung der Verhulst Polynome.
20. July 2003 03:03
Momentan Sackgasse !
Ich moechte die Schnittpunkte der Polynome mit der 45 Grad Linie mittels
Konrads Methode untersuchen.
Einsicht :
Dazu benoetige ich einen modifizierten Verhulst Algo Vm, der an jeder Stelle anstatt Verhulst, Verhulst minus Anfangswert berechnet.
pm(x,k)=p(x,k)-x
Habe auch schon die z Transformation drauf losgelasse. Aber die AUfgabenstellung ist wohl einfach zu schwer :-(
ciao
richy
Hi Richy

Du hast das Prob bereits schon einmal für das P2 Polynom 4ten Grades mittels Polynomdivision gelöst. Vielleicht kannst Du daraus einen Algo entwickeln

Konrad
Hallo

Richys Bilder sind wirklich klasse. Möglicherweise sogar eine Weltneuheit. So wie ich das verstanden habe, ist die dargestellte Ebene die Ebene der komplexen Startwerte. Für ein festgelegtes a werden dann die speziellen Punkte ermittelt, welche exakt zum Wert (a-1)/a führen. Da dies für a > 3 ein abstossender Fixpunkt ist, können andere Startwerte diesen Wert nie erreichen.

So wie ich das in Erinnerung habe wird aber bei Juliamengen die Ebene mit der Konstanten gezeigt. Bei uns wäre dies a. beim Mandelbrot c (z=z**2+c)

Es wäre interessant zu klären, warum Richys Bilder genau so wie Juliamengen aussehen. Vielleicht sind es ja welche, der Beweis müsste aber noch geführt werden.

Konrad
Zum Polstellenalgo

Die Ausgangslage ist die Gleichung y(n+1) = a * y(n) * (1 - y(n)) Ich nenn das mal y(n+1) = F1 (y(n))

Wendet an diese Gleichung auf sich selbst an erhält man y(n+2) = a * y(n+1) * (1 - y(n+1)) = F1 (y(n+1)) = -a**3 * y(n)**4 + 2 * a**3 * y(n)**3 -(a**2 + a**3) * y(n)**2 +a**2 * y(n) = F2 (y(n)), ein Polynom 4 ten Grades also

Im nächsten Schritt erhält man ein Polynom 8ten Grades y(n+3) = F3 (y(n))

Wir suchen nun die Lösung für y(n+1) = y(n) und erhalten 2 Lösungen: 0 und (a - 1) / a = 1 - 1/a . Es sind die Schnittpunkte der F1 Kurve mit der 45 Grad Linie

Für diese Lösungen gilt auch y(n+2) = y(n+1) also folgt y(n+2) = y(n). Womit 2 Lösungen für F2 gefunden wären.
Für a<3 können die Lösungen auch iterativ gefunden werden.

Für a>3 gibt es zwei weitere Lösungen für y(n+2) = y(n). Es sind die Schnittpunkte der F2 Kurve mit der 45grad Linie. Richy hat das Problem gelöst und schrieb:
****
Hoppela da muessen wir die Nullstelle von einem Polynom 4 ter Ordnung
bestimmen !
Aber 2 Nullstellen kennen wir ja schon. Also machen wir eine Polynomdivision und reduzieren das Prob auf 2te Ordnung

(p(2)-p(0)) : y*(y-(a-1)/a) =
y**2 - (a+1)/a* y + (a+1)/a**2=0

Voila 2 te Ordnung mit den Loesungen
y1/2=(1/2*a+1/2+-1/2*(a^2-2*a-3)^(1/2))/a
*****

Nun interessieren wir uns aber nicht mehr weiter für die weiteren Lösungen für y(n+k) = y(n) und verwenden nur die eine (a - 1) / a

*****************
MERKZETTEL
Hier müssen wir noch nachhaken, wir können die nun folgenden Schritte auch für andere, z.B. die zwei vorgenannten Lösungswerte des F2 Polynoms durchführen.
*****************

Ich definiere nun y0 = (a-1)/a (anderswo nannten wir dies yoi)

Wir lösen nun die Gleichung y0 = ay(1-y) = F1(y) und erhalten für y die Lösungen (a-1)/a (klaro) und 1/a

Wir wissen nun:
F1(y0) = y0
F1(1/a) = y0
wir haben die zwei Schnittpunkte der F1 Kurve mit einer Horizontalen durch y0 gefunden.

nun suchen wir die Schnittpunkte der F2 kurve mit einer Horizontalen durch y0.
y0 = F2(y). Aus vorherigem Absatz leitet sich ab
y0 = F1(y0) = F2(y0)
y0 = F1(y0) = F2(1/a)
und nun kommen 2 Lösungen dazu
y0 = F1(1/a) = F2(0,5 - ( 1/4 - 1/a**2 )**0,5)
y0 = F1(1/a) = F2(0,5 + ( 1/4 - 1/a**2 )**0,5)
für a > 2 ist der Wurzelausdruck positiv.
Wir definieren y1 = 1/a und y2a = 0,5 - ( 1/4 - y1/a )**0,5 und y2b = 0,5 + ( 1/4 - y1/a )**0,5. Somit schreiben wir:
y0 = F1(y1) = F2(y2a)
y0 = F1(y1) = F2(y2b)

Nun suchen wir die Schnittpunkte der F3 Kurve mit einer Horizontalen durch y0.
y0 = F3(y). Aus vorherigem Absatz leitet sich ab
y0 = F1(y0) = F2(y0) = F3(y0)
y0 = F1(y0) = F2(y0) = F3(y1)
y0 = F1(y0) = F2(y1) = F3(y2a)
y0 = F1(y0) = F2(y1) = F3(y2b)
Wir definieren y3aa = 0,5 - ( 1/4 - y2a/a )**0,5
Wir definieren y3ab = 0,5 + ( 1/4 - y2a/a )**0,5
Wir definieren y3ba = 0,5 - ( 1/4 - y2b/a )**0,5
Wir definieren y3bb = 0,5 + ( 1/4 - y2b/a )**0,5
Hinweis: Wurzeln von negativen Zahlen ergeben keine Lösung im reellen Zahlenbereich.
y0 = F1(y1) = F2(y2a) = F3 (y3aa)
y0 = F1(y1) = F2(y2a) = F3 (y3ab)
y0 = F1(y1) = F2(y2b) = F3 (y3ba)
y0 = F1(y1) = F2(y2b) = F3 (y3bb)

Wir haben also für ein Polynom 8ten Grades alle Lösungen gefunden.
Das Schema lässt sich beliebig fortführen:
y4aaa = 0,5 - ( 1/4 - y3aa/a )**0,5
y4aab = 0,5 + ( 1/4 - y3aa/a )**0,5
y4aba = 0,5 - ( 1/4 - y3ab/a )**0,5
y4abb = 0,5 + ( 1/4 - y3ab/a )**0,5
y4baa = 0,5 - ( 1/4 - y3ba/a )**0,5
y4bab = 0,5 + ( 1/4 - y3ba/a )**0,5
y4bba = 0,5 - ( 1/4 - y3bb/a )**0,5
y4bbb = 0,5 + ( 1/4 - y3bb/a )**0,5
sind die weiteren 8 Lösungen des Polynom 16ten Grades F4(y(n) = 1-1/a

Dies ist der von mir gefundene und von Richy auf komplexe Zahlen erweiterten Algorythmus.

konrad
Hallo
zu der vielen THeorie noch ein Bild.

dargestellt sind für a = 2 bis 4,4 die durch meinen Algo gefundenen Lösungen für F10 = 1-1/a also eines Polynoms 1024ister Ordung.

die beiden roten Linien stehen bei a=2,5 und a=3,5 sind als Hilfslinien gedacht und nicht durch den Algo erzeugt.

Auffällig die wahnsinnige Häufung ab einem Wert ca. a=3,6 bis a=4 . Nicht so gut sichtbar ist, dass sich im gesamten Bereich die Linien ganz oben und ganz unten dicht zusammendrängen.

In der Literatur habe ich einen Feigenbaumpunkt gefunden. Dieser liegt ca. bei a=3,6. Ab da beginnt das Chaos.

Nun wissen wir warum ab a=3,6 das Chaos beginnt: Die dargestellten Linien stehen für Startwerte, welche zu einem Fixpunkt führen. Und dies sind längst nicht alle. Sind diese abstossend und wird nun dem normalen Feigenbaumalgo ein Zufallswert als Startwert vorgegeben wird, so trifft er irgendwo zwischen diese Linien und wird also wie ein Wassertropfen auf einer Herdplatte immer wieder weggestossen, ohne wirklich abhauen zu können.

Konrad
Korrektur

die roten Linien stehen bei a=2,5 / 3,0 / 3,5 / und 4,0

Ergänzung:
Das Prog das die Grafik erzeugt hat zieht keine Wurzeln von negativen Zahlen. Sonst würden vielleicht die Linien auch nach weiter vorne gezogen.

Konrad
Hi Richy,
lass Dein Prog und Maple doch mal auf a=3,8 los
Konrad
Hi,
das Bild nur zur Erheiterung, ist entstanden als ich mein Prog bei negativem Ausdruck unter der Wurzel nicht verboten habe weiter zu machen sondern einfach den Absolutwert verwendet habe
Konrad