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Beziehung der Chaostheorie zur fraktalen Geometrie

geschrieben von ohmyrob 
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Beziehung der Chaostheorie zur fraktalen Geometrie
29. February 2012 19:19
Guten Abend,

als Interessent am Thema bereite ich derzeit ein Referat über den "Einstieg in die Chaostheorie" vor.
Neben anderen - klar einbezogener - Unterthemen (Attraktoren etc.) wurde mir das Thema "fraktale Geometrie" ans Herz gelegt,
soweit so gut.

Fraktale Geometrie allgemein kann ich beschreiben/charackterisieren (gebrochene Dimension und Selbstähnlichkeit usw.), was mir jetzt
jedoch für die Refaratslogik fehlt ist der passende(!) Zusammenhang mit dem Chaos.

Wie kann ich die fraktale Geometrie mit der Chaostheorie zusammen führen?
- chaotische Systeme haben ähnliche eigenschaften wie fraktale Figuren (Selbsähnlichkeit usw.), aber wo ist die eigentliche Bedeutung?

Ich hoffe Sie können mir mit Anhaltspunkten eine sinnige Verknüpfung der Themen ermöglichen.

mfg
Abend,
ich bin zwar auch kein Fachmann, schreibe aber gerade eine Facharbeit ( nur für die Schule ...) über dieses Thema. Ich habe das Buch " Das Chaos und seine Ordnung" von Stafan Greschik. In dem steht, dass auch Attraktoren ( z.B. Der Lorenz Attraktor), Fraktale sind. Wenn man also ein Stück vom Lorenzattraktor herausschneiden würde, würde man immer wieder ähnliche Muster erkennen. Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen und habe nicht an deiner Frage ,,vorbei geschrieben".

Gruß Fritz
Re: Beziehung der Chaostheorie zur fraktalen Geometrie
10. March 2012 22:30
Ich danke für die Antwort!

Neben diesem Argument habe ich noch herausfinden können, dass Fraktale und chaotische Systeme über ähnliche Eigenschaften verfügen.
(Selbstähnlichkeit usw.)

Ansonsten nehme ich die Beziehung zwischen Chaostheorie und Fraktalgeometrie in meiner Arbeit als gegeben hin, sodass
das passen sollte.

Vielen Danke nochmal!
Hallo nochmal,
ich bin mir zwar nicht sicher, aber Fraktale müssten doch auch viel zu tun haben mit der Mandelbrotmenge. Es gibt da doch das Feigenbaumdiagramm, bei dem der Vergleich sogar bildlich gezogen werden kann. http://www.henked.de/begriffe/rueckkopplung.htm Auf dieser Seite findest du eine sehr anschauliche Beschreibung, wie in System ins Chaos über geht und den Bezug zur Mandelbrotmenge direkt darunter.
http://de.academic.ru/pictures/dewiki/86/Verhulst-Mandelbrot-Bifurcation.jpg
Hier ist auch nochmal ein tolles Bild dazu.

Ich hoffe das stimmt auch alles so und ich konnte helfen... Viel erfolg bei deinem Referat

mfg

Fritz
Geometrie enthält Mertrie, das Maß.

Das ist der Abstand zweier Punkte.
sehr verständlich
Re: Beziehung der Chaostheorie zur fraktalen Geometrie
18. July 2012 22:39
John Briggs, F. David Peat, Die Entdeckung des Chaos, München 1993, - Es ist das beste Buch über die Chaos-Theorie auf dem Markt. Und sie hat mich inspiriert, die Evolution auf eine tragfähige Grundlage zu stellen:
S. 74ff
Wie die Würmer umdrehen
Die Indizien für den Zusammenhang zwischen Ganzheit und Chaos und dem seltsamen Attraktor ergeben sich teilweise aus einer Beschäftigung, die einer der Figuren in Alices Wunderland würdig wären. Als Wissenschaftler untersuchten, was geschieht, wenn eine einfache mathematische Gleichung mit sich selbst rückgekoppelt wird, drangen sie tief in den turbulenten Spiegel ein. Die Untersuchung solcher iterierten Gleichungen enthüllte ein Prachtgemälde der erstaunlichsten mathematischen Eigenschaften, und es stellte sich heraus, daß hier - wie durch Alices Spiegel -einige der scheinbar verrückten und verdrehten Vorgänge wiedergegeben werden, die sich in unserer wirklichen Welt ereignen.
Das Wachstum von Populationen weckte stets das Interesse von Biologen, Ökologen, Epidemiologen - und auch von Mathematikern. Hinter den täuschend einfachen Formeln des Populationswachstums lauert nämlich ein vielfältiges und abwechslungsreiches Verhalten, das von der einfachsten Ordnung bis zum Chaos reicht.
Die Geschichte bietet eine Fülle von Beispielen für Populationen, die außer Kontrolle gerieten: die Freisetzung einer kleinen Kaninchenschar in Australien, deren Nachkommen dann explosionsartig den ganzen Kontinent erfüllten; die Eroberung der nordöstlichen Vereinigten Staaten durch die Raupe des Großen Schwammspinners, die aus einem Bostoner Laboratorium entwichen war; die fortschreitende Flut der Killerbienen; die Grippewellen, die jahrelang zu schlafen scheinen und dann plötzlich seuchenartig die ganze Erde umwandern, um schließlich wieder bis zum Beginn des nächsten Zyklus abzusterben.
Einige Populationen vervielfachen sich schnell, andere sterben rasch aus; einige wachsen und fallen mit periodischer Regelmäßigkeit; andere benehmen sich - wie wir gleich sehen werden - nach den Regeln seltsamer Attraktoren, also chaotisch.
Das Wachstum von Kaninchenpopulationen wäre ein zu komplexer Ausgangspunkt, um den Ausbruch des Chaos zu verstehen. Das liegt daran, daß einige Kaninchen schon Junge kriegen, während andere noch heranreifen oder gerade schwanger sind. Eine Gleichung, die die Kaninchenpopulation beschreiben soll, müßte all diese Faktoren berücksichtigen.
Ein viel einfacheres System, aus dessen Untersuchung man jedoch ebensoviel lernen kann, ist die Population eines Parasiten, der im Sommer lebt und nach der Ablage seiner Eier stirbt, wenn es kühl wird. Der Große Schwammspinner ist ein gutes Beispiel. Fangen wir mit einer kleinen Kolonie an.
Nehmen wir an, daß jedes Jahr etwa der gleiche Prozentsatz von Eiern schlüpft und überlebt. Dann hängt dieses Jahr die Größe der Larvenkolonie davon ab, wieviele Larven sich im letzten Jahr verpuppten, in Falter verwandelten und dann Eier legten. Nehmen wir an, die Größe unserer Kolonie beträgt 100 Falter und die Kolonie verdoppelt sich jedes Jahr. Wenn im zweiten Jahr die Größe 200 beträgt, so wird sie im folgenden Jahr 400 sein.
Im dritten Jahr verdoppelt sich die Größe der Kolonie wiederum.
Es ist also ganz einfach, eine allgemeine Formel anzugeben, die es erlaubt, die Population eines Jahres aus der des vergangenen Jahres auszurechnen.
Natürlich verdoppeln sich nicht alle Populationen. Manche mögen schneller oder langsamer anwachsen. Wenn wir die Geburtenrate B nennen, dann ist jede Kolonie in diesem Jahr Bmal größer als im vorigen Jahr. In unserem Beispiel des Großen Schwammspinners nahmen wir B = 2 an, also die jährliche Verdoppelung der Population. Lassen wir nun aber auch andere Werte von B zu, so ergeben sich verschiedene Möglichkeiten von Wachstum.
Diese Gleichung des exponentiellen Wachstums gibt recht gut das Verhalten kleiner oder verdünnter Populationen wieder, wenn es genügend Nahrung gibt und wenn sie genügend freien Raum vorfinden, in dem sie expandieren können. Aber die Formel hat offensichtlich ihre Grenzen. Wenden wir sie beispielsweise auf die Kaninchen an, die sich in jeder Generation verdoppeln, dann sagt die Gleichung voraus, daß jenes ursprüngliche australische Pärchen sich nach nur 120 Generationen auf das ganze Universum ausgebreitet hätte! In der wirklichen Welt kann exponentielles Wachstum nicht ungebremst fortschreiten, weil jedes Populationssystem von anderen Systemen in der Nahrungskette abhängig ist. Alle diese Systeme sind miteinander verknüpft, so daß schließlich die Populationsgröße von der gesamten Umwelt abhängt.
Im Jahre 1845 führte P. F. Verhulst, ein Wissenschaftler, der sich für die Mathematik des Populationswachstums interessierte, ein neues Glied in die Gleichung ein, um zu beschreiben, wie sich eine Population in einem abgeschlossenen Gebiet entwickelt. Die Einführung dieses Gliedes, das die Gleichung nichtlinear macht, -war ein einfacher, aber raffinierter Trick, um den Einfluß aller anderen Umweltfaktoren auf das Populationswachstum zu berechnen.
Die breite Anwendbarkeit der nichtlinearen Version der Populationsgleichung wird überraschende Weiterungen nach sich ziehen: Wo immer diese Gleichung anwendbar ist, da lauert die Möglichkeit des Chaos.
Nichtlineare Metamorphose
Machen wir nun das vielfältige chaotische Verhalten der iterierten Wachs-tumsgleichung anschaulich und beginnen wir dabei mit einer Population ^on Larven des Großen Schwammspinners, die irgendeiner Form der Geburtenkontrolle unterworfen waren, z. B. indem sie mit einem Insektizid besprüht wurden. Wenn wir annehmen, daß die Biester nicht mutie-en, so wird die Population jedes Jahr ein bißchen niedriger ausfallen als m Jahr zuvor. Wenn die Geburtenrate B = 0,99 beträgt, so wird schließich auch eine große Population auf o hin abfallen. Die Kolonie wird erlöschen.
Was aber geschieht, wenn die Geburtenrate größer als i ist, sagen wir ,5? Wegen des nichtlinearen Verhulst-Faktors wird dann eine große Population zunächst abnehmen, sich aber schließlich auf einen konstanten Wert von V3 oder 66% der ursprünglichen Größe einspielen. Genauso yird eine sehr kleine Anfangspopulation anwachsen und sich dieser Grenze vor V3 annähern.
Wählen wir die Geburtenrate B = 2,5, so liefert die Gleichung ein gewisses Schwingungsverhalten, weil die beiden konkurrierenden Wachstumsglieder einander widerstreben, aber anschließend wird doch die gleiche Populationszahl erreicht. Es sieht so aus, als wäre die Zahl von 66 % in Attraktor geworden.
Schieben wir nun den Wert von B bis auf 2,98. Was geschieht dann ? Die Schwingung hält länger an, aber auch hier läßt sich schließlich die Population bei 66 % ihrer ursprünglichen Größe nieder - wir sind wieder auf em Attraktor.
Gehen wir nun mit der Geburtenrate B noch ein wenig höher, so halten lese Schwingungen immer länger an, aber die Population erreicht schließlich immer die konstanten 66%. Wenn jedoch die Geburtenrate den kritischen Wert von 3,0 erreicht, so geschieht etwas Neues. Der Attraktor bei 0,66 wird instabil und spaltet sich in zwei. Nun nähert sich die Population nicht mehr dem einen Wert, sondern sie schwankt zwischen zwei stabilen Werten hin und her (Abb. 3.6).
In die Wirklichkeit übersetzt bedeutet dies, daß die kleine Falterpopulation sich wie wild vermehren will und eine große Menge Eier für die nächste Saison zurückläßt. In der nächsten Saison ist dann aber das ganze Gebiet überbevölkert, und dies führt zum Absterben, so daß die wenigen überlebenden Insekten nur eine kleine Anzahl von Eiern für das folgende Jahr zurücklassen. Die Population schwankt also zwischen hohen und niedrigen Anzahlen auf und nieder. Das Verhalten des Systems ist komplexer geworden (Abb. 3.7).
Kurbeln wir die Geburtenrate auf einen Wert über 3,4495 an, so werden die beiden festen Zahlen wiederum instabil, spalten sich auf und erzeugen eine Population, die zwischen vier verschiedenen Werten schwankt. Jetzt ist in jeweils vier aufeinanderfolgenden Jahren die Raupenpopulation radikal verschieden.
Erreicht die Geburtenrate den Wert 3,56, so werden auch diese Schwankungen instabil, und es tritt Bifurkation in acht Fixpunkte ein. Bei 3,569 verzweigen sie sich weiter in nun 16 Attraktoren. Die Sache wird rasch sehr verworren. An dieser Stelle ist es schon fast unmöglich, daß Sie im Steigen und Fallen der Raupenpopulation in Ihrem Garten noch irgendeine Ordnung erkennen. Von Jahr zu Jahr springt die Anzahl so gut wie zufällig hin und her, und wir können darin überhaupt kein Muster erkennen. Schließlich, wenn die Geburtenrate den Wert 3,56999 erreicht, ist die Anzahl verschiedener Attraktoren unendlich groß geworden!
Robert May, ein Physiker aus Princeton, der zum Biologen wurde, ist eine der Schlüsselfiguren in der Geschichte, in deren Verlauf die Forscher entdeckten, was man heute den »Periodenverdoppelungsweg zum Chaos« nennt. (Periode nennt man die Zeit, die ein schwingendes System braucht, um in seinen ursprünglichen Zustand zurückzukehren.) Anfang 1970 benützte May ein Modell, das sich auf die Verhulst-Formel stützte, das ihm erlaubte, die Geburtenrate ansteigen oder abschwellen zu lassen, indem er das Nahrungsangebot änderte. May fand heraus, daß die Zeit, die das System brauchte, um an seinen Ausgangspunkt zurückzukehren, sich bei gewissen kritischen Werten der Gleichung verdoppelte. Dann aber, nach mehreren solchen Zyklen der Periodenverdoppelung, begann die Insektenpopulation in seinem Modell zufällig zu variieren, genau wie wirkliche Insektenpopulationen, bei denen keine vorhersagbare Periode für die Rückkehr in den Ausgangszustand zu beobachten ist (Abb. 3.8).
Dies ist aber, wenigstens mathematisch gesehen, nicht das Ende der Geschichte. Die Wissenschaftler haben erkannt, daß der Periodenverdoppelungsweg zum Chaos einen ganzen Zirkus von früher unvorstellbaren Ordnungen enthält. Einige werden im Abb. 3.9 sichtbar. Hier hat ein Computer die Populationen für verschiedene Geburtenraten nach Ver-hulstens nichtlinearer Gleichung berechnet und aufgezeichnet.
Diese Zeichnung veranschaulicht, wieviel Struktur im Chaos verborgen liegt, und bietet so ein weiteres Abbild des seltsamen Attraktors.
Zunächst fallen die dunklen Flächen ins Auge, das sind all die Punkte, die die praktisch unendlich vielen Stellen bezeichnen, an denen das System sich aufhalten kann. Im Geburtenratenbereich von 3,56999 bis 3,7 (zwischen a und b am oberen Rand des Bildes) schwankt das System (die jährliche Anzahl der Larven) unvorhersagbar zwischen zunächst vier und dann zwei breiten anziehenden Bereichen hin und her. Diese dunklen Bereiche nähern sich einander an, bis sie schließlich an der durch den Pfeil bei b bezeichneten Stelle miteinander verschmelzen. Hier, ungefähr bei 3,7, könnte die Population (die Anzahl der Larven in Ihrem Garten) fast jeden beliebigen Wert annehmen, von nahe bei o bis zu einem sehr hohen Wert (der im Diagramm durch die Zahl i in der oberen linken Ecke bezeichnet ist). Dabei springt die Population von Jahr zu Jahr in einer verrückten, unvorhersagbaren Weise hin und her. Erst wenn die Geburtenrate 4,0 erreicht, ist jedoch der ganze Phasenraum ausgefüllt. Die Art, in der sich in diesem Rahmen die Punkte von links nach rechts immer weiter auffächern, deutet darauf hin, daß das chaotische Anfüllen des Phasenraumes ein zugleich seltsam geordneter Prozeß ist.
Zweitens fällt uns nun auf, daß sich in diesem sich ins Chaos entfaltenden Fächer dunkle parabelförmige Linien abzeichnen. Längs diesen Linien ist das System mit höherer Wahrscheinlichkeit anzutreffen. Wieder eine Form der Ordnung im Chaos.
Drittens nehmen wir in dem sich ausbreitenden Schatten des Chaos weiße, senkrechte Bänder wahr. Dies sind Bereiche - »Fenster« nennen dies die Physiker gern -, in denen das System stabil wird. Sehen wir beispielsweise den Bereich oberhalb von b = 3,8 an, im Bild durch die Klammer c-d bezeichnet. Hier, mitten in all diesem sich ausbreitenden Chaos, wird die Population plötzlich wieder vorhersagbar und wächst in zwei aufeinanderfolgenden Jahren an, um im dritten wieder abzunehmen. Wenn aber die Geburtenrate (das Nahrungsangebot) noch ein wenig höher gestupst wird, so reißt es das Fenster auf und das Chaos flutet wieder herein. Solche Bereiche von Stabilität und Vorhersagbarkeit mitten in den zufälligen Schwankungen nennt man »Intermittenz«.

Die logistische Funktion gehört zu den Grundprinzipien der Evolution und taugt sogar für "Vorhersagen", beispielsweise innerhalb des "Exozooen-Problems"

Die logistische Funktion konnte während meiner Arbeit als die "Prozeßordnung des 2. Hauptsatzes der Thermodynamik identifiziert werden. - Die Atombombe und das "Wunder" liegen auf ein und demselben "Seltsamen Attraktor". Alles erzeugbar mit "fractint", das kostenlos heruntergeladen werden kann. Das zustänidge Fraktal heißt "biflambda" - Viel Spaß.

Eine Reise durch die nichtlinear-thermodynamischen Eigenschaften findet nam unter https://www.triboox.de/manuskripte/?scriptid=zmRm24GGadEe; die daraus abgeleitete nichtlinear-thermodynamische Variante der Evolutionstheorie unterhttp://evolutionlive.npage.de/

Weil die "logistische Funktion" selbst fraktal ist und die Natur von fraktalen geometrischen Figuren durchzogen ist, dürfte kein Zweifel am inneren Zusammenhang zwischen nichtlinear-dynamischen Systemen und der fraktalen Geometrie bestehen.

Einfach mal das Programm "Fractint" herunterladen, - es ist kostenlos! - und auf die phantastischste Reise gehen, die Menschen je machen können.