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Praktische Anwendung aus Chaostheorie "entdeckt"

geschrieben von richy 
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Hallo
Es wird doch oft gefragt wie man die Choastheorie anwenden kann.
Wie waers mit einem einfachen iterativen Algorithmus zur polynomalen
Aproximation einer Rechteckfuktion ? :-) (siehe Anhang)

Betrachtet wird die Iteration y(k+1)=a*y(k)*(1-y(k))
(Im folgenden gilt immer a<3)
Konrad und ich haben hier in einigen Threads gezeigt:
Der Attraktor (Repulsor) ist hier (a-1)/a
Der Ljapunovexponent betraegt ln|2-a|
Besitzt bei 2 also eine Polstelle. Ich behaupte mal ganz frech, dass dies
bedeutet, dass die Iteration fuer a=2 am schnellsten konvergiert.

Weiterhin habe wir Polynome p0 p1 p2... pn , vorgestellt, die n Iterationsschritte in einer Abbildung zusammenfassen.Diese Polynome haben recht verrueckte Eigenschaften. Man kann verschiedene graphische
Verfahren verwenden um zu veranschaulichen, wie die Anfangswerte zum Attraktor (a-1)/a gelangen. Ein besonders lustiges ist es die Schnittpunkte der Polynome mit der Geraden (a-1)/a zu betrachten. Daraus kann man schon viel ablesen. Zum Beispiel dass nach n Iterationen maximal
(2 hoch n)-1 Anfangswerte konvergieren koennen.
(Ein Polynom der Ordnung 2hochn hat maximal 2hochn Nullstellen)
Aus der "Dichte" der Schittstellen kan man folgern welcher Bereich der
Anfangswerte am schellsten konvergiert.
Noch Verrueckter.
Die Polynome muessen die Gerade so schneiden, dass fuer n gegen
Unendlich ALLE Punkte der Geraden geschnitten werden muessen !

Am schnellsten werden alle Anfangswerte konvergieren, wenn sich die
Polynome eng an die Gerade anschmieden, diese quasi gut approximieren.
YEAH und das ist bei a=2 der Fall.
Damit haben wir ein iteratives Verfahren, zur Bestimmung eines Polynoms,
das eine Rechteckfunktion sehr gut (besser als Taylorreihe?) approximiert.
Wir muessen dazu nicht mal ein Gleichungssystem loesen.
Wenn das mal keine Anwendung ist ! :-)
Das Bild im Anhang erklaert das wohl besser als der Text hier.
Das Polynom p10 ist von der Ordung 1024 !!!
Um so was mit Taylor zu berechen muesste man ein Gleichungssystem mit
1024 Unbekannten loesen !

ciao
richy
hier noch zum Vergleich a=3
Jetzt treibe ich die Sache ins skurille *fg
Mal vorweg ich betrachte das ganze Set von Anfangswerten. Mein mit diesem Beitrag geplanter Anschlag muss wohl scheitern, weil diese Anzahl immer begrenzt sein wird.

Aber rein theoretisch:
Die Nullstellen des p2 Polynoms muesse ja mit denen des p4 Polynoms
identisch sein. Was nach 2 Schritten konvergiert wuede ja auch nach
2*2=4 Schritten konvergieren. Mal langsam. Im 2 ten Schritt konvergieren 2**2=4 Werte (der Attraktor mit eingeschlossen) Nenn ich a b c d
Im 4 ten Schritte konvergieren 2**4=16 Werte. Theoretisch ! Denn
dazu gehoeren auch a b c d und die "sind ja schon wech"
Also kommen blos 16-4=12 Werte beim Attraktor real an.
Ganzahlige Iterationsschritte sind also weniger effektiv. Oder anders:
setzt sich eine natuerliche Zahl n aus den (prim)Zahlen p*q zusammen, so
gelangen nach n-Iterationsschritte 2**n - 2**p - 2**q Werte real beim
Attraktor kann :-) Guten Tag Herr Attraktor :-)
D.h.
PRIMZAHLIGE ITERATIONSSCHRITTE SIND AM EFFEKTIFSTEN !
Oder anders
Ich muss blos beim nten Iterationsschritt schauen ob da 2**n
Anfangswerte beim Attraktor gelandet sind.
Ist das der Fall. so weiss ich aha n muss eine Primzahl sein !
Praktisch gell :-)
ciao
richy
Hallo Richy

Du fragst immer wieder nach den Orten meiner Rippen, dabei hast Du es doch schon längst selbst herausgefunden. Alle diese Polynome P1 P2 P3 P4 ... P10 schneiden doch die gelbe Linie, welche unseren Freund yoi darstellt. Wenn der Startwert nun genau auf einem dieser Schnittpunkte liegt, so führt der nächste Iterationsschritt unmittlerbar (bei P10 natürlich der nächste P10 oder der 10te P1) zu y0i dem gar nicht mehr so attraktiven Fixpunkt.

Knapp neben diesen Schnittpunkten wird es für die Iteration schwierig, aber nicht unmöglich dem Fixpunkt zu entfliehen, deshalb die Rippen.

4 deser Schnittpunkte (Repulsoren) habe ich in Formel

(a-1)/a (klar, y0i)

1/a

0,5 +- ((a**2-4)**,5) / 2 / a

die weiteren lassen sich mit einer einfachen Regel finden.

Ein Repulsor führt im nächsten Iterationschritt wieder zu einem Repulsor oder zum Fixpunkt y0i.

ist ein Repulsor yr5 also bekannt, kann man die davor liegenden Repulsoren yr4 mit der folgenden Formel finden.

yr5 = a * yr4- a * yr4**2

und somit zwei Lösungen für yr4

yr4 = (a +- ( a**2 - 4*a*yr5)**,5) / 2 / a

mit denen lässt sich nun y3 berechnen etc unendlich weiter

Wobei nur yr kleiner 0,5 zur Findung vorhergehender Werte geeignet scheinen.

Und das ist auch eine praktische Anwendung. Du kannst nun die Nullstellen von P10 - y0i, auch wenn dies ein Polynom 1024igster Ordung ist, einfach berechnen.

Ich hab hier mal ein paar ausgerechnet
A 3,3

Fixpunkt 0,696969697
1.Repulsor 0,303030303
2.Repulsoren 0,102290765 0,897709235
0,032022652 0,967977348
0,009799871 0,990200129
0,00297853 0,99702147
0,000903401 0,999096599
0,000273833 0,999726167
Hallo Konrad
aaaah jetzt verstehe ich. Auch das mit den Rippen. Den Gedanken die p(n)
mit der Geraden (a-1)/a zu schneiden hattest Du schon vor mir !

Und raffieniert. Du berechnest die Nullstellen iterativ. Die Polynome habe also doch einen spezielle Charakter zur Loesbarkeit. Allgemein ist naemlich ab Ordung 4 oder 5 nix mehr mit analytisch loesen. (Hornerschema ist glaube ich fuer Polynomdivision)
Hey das eroeffnet ja ganz neue Moeglichkeiten ! super !
Und Deine Werte bestaetigen ja auch mein Bild, dass die Nullstellen sich am Rand "zusammen draengen"
Wir kriegen doch noch den Preis :-)

Ich hab auch was Feines auf Lager.
Ich glaube das hast Du auch schon vor mir erkannt. Erstmal muss ich aber nachfragen: Nennt man die Schnittpunkt z.b. von p5 mit der Geradenn yoi
auch Repulsor oder blos yoi selbst ? Ich nenne mal so wie Du alle Repulsoren. Wie waers mit Repulsor5 ?
Es ist naemlich ganz wichtig, dass man diesen Punkten einen Namen gibt.
Nur diese landen nach endlichen Iterationen direkt bei y0i. Das ist uns ja klar.
Aber was ist mit alle anderen Punkten ?
Ich hatte einen Denkfehler. Ich dachte es ist zwingend notwendig, dass
irgendwann mal endlich alle Punkte der gelben Geraden geschnitten werden. Quasi alle Punkte auf der Geraden yoi zu Repulsoren werden.
Dem muss aber nicht so sein, den es gibt noch einen besonderen Repulsor.
Schau mal auf das Bild im ersten Beitrag. Da siehst Du ihn.
Mal angenommen alle Anfangswerte konvergieren.
Dann werden sich alle Punkte die keine Repulsoren sind. nur an y0i
annaehern. Das kann sogar recht schnell geschehen. Aber sie werden
y0i niemals erreichen ausser fuer eine unendliche Anzahl von Iterationen.
Es sind quasi Repulsor(unendlich)
Du wirst es mit dem Bild approx.gif a=2 gleich verstehen.
Da schneidet doch kein p(n) unseren yoi ausser natuerlich im Punkt 1/2.
(yoi=1/2 ist also eine mehrfache Nullstelle dieser Polynome)
Es gibt fuer a=2 also keinen einzigen Repulsor ! Alle Anfangswerte werden
(sogar sehr sehr schnell) gegen yoi streben ihn aber niemals in endlichen
Iterationen n erreichen . (So was hab ich von Dir auch schon gelesen)
Bei limes n gegen unendlich passiert aber folgendes.
Diese Rechteckfunktion ist ploetzlich wirklich identisch mit der Geraden y0i
und alle Anfangswerte landen auf einen Schlag bei yoi !
Das ist der Superattraktor, mist ich finde Deinen Thread nicht mehr.

Ich jetzt aber noch einen richtigen Hammer auf Lager.
Damits uebersichtlicher wird schreib ich das in einen extra Beitrag.
Wow soviel wie wir in den letzten Tagen entdeckt haben, habe ich in den 80 ern nicht in einem Jahr entdeckt.
Was besagt die Selbstorganisation ?
Nicht die staerksten Systeme ueberleben sondern die kooperativsten.
Bis gleich .
Ok jetzt kommt also

DIE EXPLIZITE ANALYTISCHE LOESUNG DER LOGISTISCHEN ABBILDUNG
*auf Nobelpreis wart
FUER DEN PARAMETER a=2
* Nobelpreis wieder wech :-)

Die Gleichungen sind in der ASCII Schreibweise etwas unhandlich ich skizziere das ganze also nur. Als Vorkenntnis muss man blos wissen, das
ein Polynom dessen Nullstellen x0 x1 x2 ..... xn bekannt sind auch als
c*(x-x0)(x-x1)(x-x2)....(x-xn) geschriebe werden kann. Dabei ist c der
Koeffizient der hoechsten Potenz.
Beispiel:
(x-1)*(x-2)=x**2-3x+2
Wenn ich die rechte Seite mit der LSG-Formel behandle krieg ich natuerlich x1=1, x2=2

Es ist ganz einfach.
Fuer a=2 ist y0i=1/2 fuer alle Polynome eine Mehrfache Nullstelle.
der Gleichung p(x,k)-1/2=0
Kann ich p(x,k) geschlossen ermitteln habe ich die Verhulst Gleichung geloest. Da ich alle Nullstellen kenne kann ich sofort anschreiben:
p(x,k)-1/2 = c*(x-1/2)**q , mit q=2**k
Man sieht schnell dass c=-2**q/2 sein muss
Jetzt addiere ich auf Beiden Seiten 1/2 und schwupp habe ich eine
geschlossene Loesung der Verhulst Gleichung !
p(x,k)=0.5-0.5*(2x-1) **q mit q=2**k
(... also wirklich eine Potenz die aus einer Potenz besteht)
(2x-1)**q konvergiert daher auch super schnell gegen 0 uebrig bleibt 1/2.

Hey das ist die Loesung einer nichtlinearen Differenzengleichung.
Das ist keinesfalls trivial.
Wer nicht ueberzeugt ist, darf gerne 2*p(x,k)*(1-p(x,k)) bilden.
Kommt raus
0.5-0.5*(4x**x-4x+1) **q
und das ist p(x,k+1) und somit
p(x,k) die Loesung der Verhulst Gleichung fuer a=2

Bilder sind eher langweilig, da das ganze rasend schnell gegen x=0.5
konvergiert.
Die Bilder sehen fuer k=0,1,2,3..... etwa so aus wie die Polynome.
Logisch das sind ja die Polynome.
Heisst das die Polynome zeige uns den Wert fuer jeden Anfangswert
nach k Schritten. Na klar ! Wieder was dazugelernt.
ciao
richy
Hallo Richy

in dem Thread "Vorschlag für ein Thema"

findest Du friendly2.gif Ein Bild von Dir in dem ich herumgemalt habe.

Nicht mehr auf dem Server?? Hier noch mal

Gleich darüber Dein Eintrag mit invariant.gif

Un bei meinem Ferarri weiss ich ja wo ungefähr die Rippen stehen, ich kann die ja auch durch Eingrenzung der Startwerte in experimentell bestimmen

Zu der Kooperation und dem schnellen Lernen kann ich Dir nur zustimmen. immer wenn ich versuche Deine Ausführungen nachzuvollziehen kommen mir gleich haufenweise eigene Ideen.

Zum Chaos in unseren Threads. Bekanntermassen ziehen Kreatiität und Chaos sich an . Hmmm, wenn ich so mich umschaue, muss ich ein sehr kreativer Mensch sein.

konrad
Sorry, ich hab den Begriff repulsor falsch verwendet.

Repulsoren sind Fixpunkte, welche nur für ganz bestimmte Startwerte den Endzustand aufweisen und alle anderen Startwerte abweisen. also y=i für a>3 und y2ai uns y2bi füe a >3,45

http://home.t-online.de/home/lonacollin/fab-inet/cKapitel/c12.htm#Repulsor

Für die fraglichen Startwerte welche zum Repulsor hin iterieren habe ich noch keinen Namen gefunden.

konrad
Hallo Richy,

ich glaub Du verrennst Dich jetzt in etwas. Die Startwerte führen nur für a<3 zu einem konstanten Endwert, so dass P(unendlich) ein Rechteck darstellt Bei a>3 führt ein Startwert normalerweise zu zwei sich abwechselnden Attraktoren. Bei a=2 ist die Rechteckunktion sehr schnell beinahe perfekt. habe ich auch ein Bild in besagtem Buch gesehen.

Recht hast Du in dem Punkt das P(k) den Wert nach k Iterationen darstellt. Klar dies ist ja die Definition von p(k)

Nun könnte man, z.B. P1001 darstellen. Wie? Ganz einfach Startwerte y nehmen, 1001 mal iterieren und auf y abtragen. Die entstehende Kurve ist witzig. Sie verläuft mal entlang des oberen Attraktors, mal entlang des unteren. Die Stellen wo sie umspringt ? ich behaupte einfach einmal dies sind die Punkte an welchen die Kurve zum Repulsor laufen müsste, also die weiter oben angegebenen Lösungen.

Hey, Ich kann ein Polynom 2^1001 ten Grades lösen.

Nun vergewaltige ich mein Programm. Ich gebe ihm 1000 Iterationen Vorlauf und stelle dann genau einen Wert dar. Der zweiten Paramerter ist wie immer a. Bild im Anhang

konrad
Hallo

nun habe ich noch ein Bild von P61 gemacht. Es zeigt wo und wie sich die "Bänder"bei P1001 aufspalten.

Sinnigerweise habe ich einen Bereich 3..3,08 wie bei der Ferrarifigur gewählt.

Iteriert man von P61 noch einen Schritt weiter erhält man P62. da jeder y Wert von P61 nach einer Iteration einen y0i gegenüber liegenden Wert annimmt, kann man behaupten dass dass P62 genau anders herum aussieht.

Nun kommt ein Gedankenexperiment:

Schiebt man nun P61 und P62 zusammen, stellt also beide zugleich dar, erhält man genau das, was ich als Ferrari bezeichnet habe. Wo P61 von oben nach unten wechselt wechselt P62 von unten nach oben und es entsteht eine "Rippe". Auch sieht man, dass der Übergang bei kleineren a flacher ausfällt. Daher die "Augen" vorne in der "Schnauze".

Die Ferrarifigur also nichts anderes als zwei Polynome ????

Ja aber zum Trost sei gesagt, dass P61 und P62 schon ziemlich viele Terme sehr hoher Potenzen haben.

konrad
Hallo Konrad

Wir sollten wirklich aufpassen, dass unsere Gedanken nicht zu weit
auseinanderdriften. Der Chaostheoretiker weiss ja wohin staendige Periodenverdopplung fuehrt :-) Denke aber im Moment liegen wir noch gut zusammen.
Vielleicht sollte jeder mal versuchen an dieser Stelle alles von sich zusammenfassen. Ist Dir vielleicht schon aufgefallen. Ich versuche gerne
Teilprobleme analytisch zu loesen, d.h. ohne Rechnerexperiment.
Ich benutze dazu ein analytisches Mathematikprogramm M**UR**P*E*L
(google liest mit) das 50EUR kostet aber ich kenne da einen Link :-)
Bisher habe ich daher auch lediglich ein Blatt Papier vollgekritzelt.
Ich denke der Schluesselpunkt, das wir bisher so weit gekommen sind, sind doch unsere iterativen Mehrschritt-Polyome p(n).
Ich bezeichne uebrigends auch teilweise die 45 Grad Linie als
p[0). Im 0-ten Iterationsschritt werden alle Anfangswerte y0 auf sich selbst abgebiltet. Nur der Vollstaendigkeit halber.

Also was weiss ich darueber: (thematisch geordnet)
Und wir sollten wirklich allen Dingen einen Namen geben.

(a1) p(n) stellt denn Zustand aller Anfangwerte nach n Iterationen dar !
Das einfachste hatte ich fast schon vergessen.

(a2) Das Polynom p(n) ist vom Grad 2**n
Das bedeutet nicht, dass es auch 2**n Schnittpukte hat.
Warum kann ich noch erklaeren. Ich weiss aber jetzt schon, dass sich
hier das Chaos versteckt haelt.

Dann habe ich Schnittpunkte betrachtet .... :

(a3) Es gibt genau einen Schnittpunkt zwischen p(1) und p(0) (45 Grad).
Das ist unser Freund y0i=(a-1)/a.

(a4) Mehrfache Schnittpunkte zwischen p(2) und p(0) stellen einen Zweierzyklus dar.
Allgemein stellen Mehrfache Schnittpunkt zwischen p(n) und p(0) einen
n-fachen Zyklus dar.
Diese bezeichnen wir mit ? (Finde y1a nicht so gut)

(a5) Es existiert ein Kriterium, dass solch ein Zyklus nur dannn existiert wenn gilt abs(dp(n)/dp(0)) also abs(dp(n)/y0) <1
(Wahrscheinlich gleichbedeutend mit der Mehrfachheit )

BESONDERE /VERRUECKTE POLYNOMEIGENSCHAFTEN)
(noch nicht so wichtig !)

(a6) Alle Polynome muessen sich sich in y01(a-1)/a schneiden

(a7) (besonders nett)
Betrachtet wird p(n). Ist n keine Primzahl, so setzt sie sich aus
Primfaktoren a*b*c ...zusammen. p(n) schneidet dann p(0) an den selben
Stellen wie die Polynome der Primfaktoren p(a), p(b), p(c) ....
Dies setzt ein geeignetes a voraus ! Denn dies ist keine Aussage, dass
diese Schnnittpukte existieren ! Sind die Primfaktoren ungerade, so muss
a zum chaotischen Bereich gehoeren, denn nur hier gibt es ungerade Zyklen. (2 ist eine Primzahl !) Bleiben also im einfacheren fall die Potenzen
von 2. Es ist klar dass der 4 er Zyklus den 2 er enthaelt. Eben ein
doppelte 2 er Zyklus.

(a8) Es folgt unmittelbar.
sind a und b Primzahlen, so scheiden sich p(a) und p(b) nicht auf p[0]
oder
... existiert kein c<a, so dass p(a) p(c) auf p(0) scheiden koennte,
denn dann waere c ein Primfaktor von a
... so weit so gut, Reicht mal
Nein ich denke nicht drueber nach wenn sich p(a) und p(b) noicht auf
p(0) sondern p(1) schneiden ! *zwing

********************************************************

Ich dachte immer mit 1/a hast Du dich verschrieben.
Du hast also die n-Schritt Repulsoren vor mir entdeckt.

Betrachtet werden also nun die Schnittpunkte mit der Geraden y0i

Die bezeichnung Repulsor fuer y0i ist fast noch zutreffender, aber ich finde die Idee z.B Deines yr2 / yr3 quasi Zwei / Drei Schritt Repulsors super !
Aber y0i ist ein besonderer Repulsor, lassen wir ihm doch seinen Namen.

(r1) Der Schnittpunkt von p(n) mit der Geraden y0i nennen wir n-Schritt
Repulsor. Kurz yrn.
Ein n-Schritt Repulsor yrn wird in n Iterationsschritten auf y0i abgebildet

(r2) Es exestiert auch ein limes( n->00, yr(n)) Repulsor y00

(r3) Fuer a=2 existiert kein Repulsor ausser y00
Man kann dies auch so beschreiben, dass hier eine k fache Nullstelle
vorliegt. Und zwar auch fuer lim k->00
Vermutung: Kein anderes a ausser 2 hat diese Eigenschaft.
Beweis ? Aus deiner iterativen Nullstellenbestimmung, die nichts
anseres darstellt als y(k+1)=a*y(k)*(1-y(k)) rueckwaerts laufen zu lassen
und in der daher das Chaos steckt, folgt wenn man die Wurzel gleich
null setzt lsg=1/2. Daraus folgt a=2.

(r4)
(EVENTUELL aber fast sicher)
exestiert der Repulsor yr(n), so exestiert der Repulsor yr(n-1)
DIES GILT AUF KEINEN FALL UMGEKEHRT !!!

Ich habe Deinen iterativen SCHNITTstellenbestimmer endlich kapiert.
Der ist echt klasse und loest die Aufgaben alle Schnittstellen zu
bestimmen. Das ist super viel Wert !
Aber er loest leider nicht die Aufgabe alle Nullstellen zu bestimmen.
Da gibt es ja Mehrfache oder auch *brrrr komplexe.
Waere auch zu viel verlangt.
Wie kann man sich das vorstellen ? Ein Repulsor kan einfach im Nirvana
landen. Dann wenn ein Nichtrepulsorpunkt "zufaelligerweise" durch seine
"Annaeherung, Abbildung, Verschiebung" auf den Repulsor faellt.
Dann ist die Wirkungskette unterbrochen.Richtung 0 ...n
Andersrum Richtung (n..0) bin ich momentan ueberfragt.
Auf jeden Fall muss yr(n) bei y0i landen.
Aber kann dazwischen eine Luecke sein ?
NEIN ich habs. Ausgehend von n stellt dei Algorithmus ja genau die
Verhulst Gleichung dar. So eine Luecke bedeutet eine komplexe
Nullstelle, aber in der Rictung ziehen wir ja keine Wurzel. Verhulst
wird ja nicht komplex. UFFF DEIN ALGO IST GERETTET UND FUNKTIONIERT !

Oh Mann das ist ganz schioen anstrengend.
Tut mir leid dass ich anscheinend nie sonderlich auf Deine Beitraege
speziell eingehe. Dabei lese ich die sehr gruendlich. Aber mir gehts genauso. Da kommen dann 1e3 Ideen. Du kanst also dies hier
als direkte Antwort auf Deine Beitraege ansehen.
Das mit dem komplexen ist uebrigends nicht so schwer.
Erklaere ich gerne falls notwendig.
AUf jeden Fall muesse wir jetzt noch kleinere Schritte tun !

Sa und So muss ich arbeiten.
bis spaetestens Mo
ciao
richy
... komisch diese Idee zwei aufeinanderfolgende Polynome zu betrachten hatte ich heute auch. Mit Maple kann ich sogar 500 aufeinanderfolgende Polynome ohne Iteration betrachten ( Maple iteriert dann wohl intern)
KLar es ist so wie Du es sagst. Aufeinanderfolgende Polyome sind
ein Iterationsschritt.

*jammer
Deine Rippen habe ich nicht gefunden. Nur ein paar 2 er Oszillationen.
Eine moeglichst enge Einschraenkung vom y0 Bereich waere prima.
Oder ist dein Chaos blos ein Moiree Muster dieser Oszillationen aufgrund
der graphischen Darstellung. Schau das ganze doch mal von oben farblich an.
Dein Rueckwaertslauf Algo berechnet tatsaechlich die Schnittpunnkte.
Aber die Nullstellen ! Ich hab das in den 80 ern auch schon mal Rueckwaerts laufen lassen. Eher so aus Spass.
Blos mal als Vorausschau. Wir landen dann direkt in der Mandelbrot , besser Juliamenge.
Also kleine Schritte ;.)
ciao
richy

PS: 2**260 entspricht der Anzahl aller Atome im Universum.
Auf welches Blatt Papier willst Du die Loesung schreiben :-)
Ich IDIOT mit Iq=1+sqrt(6) :-)
Ich IDIOT, Du verstehst unter Rippe ewas anderes als ich !!!
Nicht etwas ganz anderes sondern die Feinstruktur meiner Rippe !
.... wie Schuppem aus den Haaren fall
Du hast nie Segelfliegermodelle gebaut oder ? Die haben so Rippen
wo man Papier drueberspannt. Bei Booten heisst das Spanten.
Meine Rippen setzen sich aus Deinen zusammen !
Na klar, Wenn benachbarte Punkte gegenphasig 2-er oszilliern noch
mit veraenderlicher Amplitude gibt das Deine Rippen. Ich hab nach etwas
echt chaotischem gesucht. Es ist so was wie ein Moiree Muster denke ich.
Hoff emal das ist geklaert.
Das mit dem JE moechte ich irgendwann auch noch zusammenfassen. Vieleicht auch mal alles als Zusammenfassung ins Netzt stellen. Mit
Autorenangabe, wenn Du nix dagegen hast. Sind ja unheimlich viele Autoren hier im Chaosforum :-)

Da liefere ich eine geschlossene Loesung der Verhulst Gleichung und niemand ausser Dir interessiert es. Tolle Chaosforscher.
Diese Loesung ist wirklich nicht zu unterschaetzen !!!
Egal
Ich hab mich zwar nicht verzettelt aber die ersten Beitraege in diesem Thread waren ungenau.
Ich habe den Begriff konvergieren ungenau benutzt.
Konvergieren heist annaehern um im unendlichen dann identisch zu sein oder so. Die Nichtrepulsoren konvergieren. Aber die Repulsoren
sind eben echte Ausnahmen sie konvergieren nicht sondern sind eben schon nach n-Schritten identisch. Und yr00 ist der Repulsor aller konvergierenden Werte. Das zeigt das Rechteckbild doch prima.
ok jetzt aber
Hallo Richy

für heute nacht wird es nichts mit allem von Dir durchlesen und zu kommentieren, ich denke wir sind aber auf dem richtigen Weg, und eine Zsammenfassung ist sicher auch eine sehr gute Idee.

Würde vorschlagen Du schreibst und ich mache die Korrektur und gebe Dir die Korrektur zum Wiederlesen und korrigieren.

Mit Dem Moiree Muster hast Du höchst wahrscheinlich recht. Ich weiss was mein Programm macht, aber man kann das ja nicht ganz so einfach aus dem Bild ableiten.

Deshalb hier eine kurze Erklärung:

Das Programm geht in 800 Schritten den vorgegebenen Bereich von a und in ebenfalls 800 Schritten den vorgegebenen bereich vom Startwert y0 durch. (geschachtelte for next Schleifen)
Für jede dieser a / x Kombinationen wird iteriert. Nach 60 Iterationen beginnt das Programm die Iterationswerte als EINZELPUNKTE darzustellen. Natürlich ist noch eine Transformation erforderlich um den räumlichen Punkt auf dem Bildschirm darzustellen. Und dabei kriegt er auch gleich noch eine Farbinformation. Weiter oben heller und weiter links grauer.
Was ich NICHT mache, ich verbinde die Punkte nicht durch Flächen. Und deshalb sind sehr steile Flächen eben nicht durchgängig eingefärbt sondern bilden Moiree Muster.

Wenn Du willst, kannst Du das Prog gerne haben. (per E-Mail) Es ist kein Muster an Bedienerfreundlichkeit, aber ich schreib Dir eine kurze Erläuterung dazu. Man kann damit wirklich gut Teilbereiche betrachten.

Dann schreib ich Dir auch noch mehr von mir. z.B. was ich in den 80ern gemacht habe, z.B. Gerd Binning "Aus dem Nichts" gelesen. Der hat sich mit Fraktalen und mit Chaostheorie beschäftigt. Und der hat tatsächlich den Nobelpreis bekommen. (Dafür dass er eine Maschine erfunden hat, mit der man einzelne Atome abtasten kann)


@ccm: Wenn Du möchtest, wäre es doch auch möglich das Prog als Anhang an einen Beitrag in dieses Forum zu stellen. So könnten auch andere Leser damit herumprobieren.


Gruss
Konrad
Hallo

Ich versuche nochmal zu erklaeren wie ich die Verhulst Gleichung fuer a=2 geloest habe:

Zunaechst will ich nochmal daran erinnern was unsere Polynome eigentlich darstellen :
Unsere Polynome p(n) stellen doch den Zustand der Anfangswerte y0=0..1 (p[0]) nach der n-ten Iteration dar. Reiht man z.B. alle Polynome hintereinander auf, so hat man eine 3d Darstellung der Verhulst Gleichung fuer die Anfangswerte p[0]=0..1. Fuer jedes a erhaelt man so ein Bild.
(Das meine ich mit Vierdimensional)
Stell dir also fuer a=2 einmal die hintereinander angereihten Polynome vor. Bei der ueblichen vorgehensweise benutzt man nur einen Anfangswert.
Das waere ein Schnitt durch dieses Bild paralell zur n-Achse.
Unsere Polynome p(n) sind also die Iterationswerte der Verhulst Gleichung zum Zeitpunkt n. Und zwar fuer alle Anfangswerte. Das ist uns ja klar.

ZUSAMMENFASSUNG WIE ICH VERHULST GELOEST HABE

1) Ich habe versucht die Polynome durch ihre Nullstellen zu beschreiben

2) Dazu habe ich die Schnittstellen mit c=(a-1)/a benutzt und Polynome
p'(n) =p(n)-(a-1)/a eingefuehrt

3) Ich habe den einfachsten Fall angenommen, dass die Polynome p'(n) nur eine einzige mehrfache Nullstelle fuer alle n aufweisen
Unter dieser Annahme konnte ich Verhulst loesen.

4) Nun habe ich versucht den Parameter a zu ermitteln, fuer den diese
Annahme zutrifft. Dazu habe ich Deinen iterativen Schnittstellenalgo
benutzt. Die Annahme, dass eine mehrfache Nullstelle dann erzeugt
wird, wenn in diesem Algo die Wurzel veschwindet, fuehrte zum Erfolg.
Damit habe ich den Parameter a=2 ermittelt.
Fuer diesen Parameter trafen menie gestellten Voraussetzungen zu
und ich konnte Verhulst loesen.

*********************************************************

SO HABE ICH VERHULST KONKRET GELOEST:

Wenn es mir gelingt fuer ein spezielles a ein explizites Bildungsgesetz fuer diese Polynome zu finden, so habe ich die Verhulst Gleichung fuer dieses spezielle a geloest. Sogar fuer alle Anfangswerte.
Koennte ich die Polynome explizit fuer alle a angeben, p(n.a)= ?
waere ich ein Kandidat fuer den Nobelpreis. Aber wir sind ja bescheiden und begnuegen uns mal mit einem speziellen a.

Fuer ein spezielles a ist es mir in der Tat gelungen die Verhulst Gleichung zu loesen. Dabei habe ich folgendes ausgenuetzt. (Glaube man nennt das Fundamentalsatz der Algebra)
Sind alle Nullstellen x0 x1 x2 x3 ...xk eines Polynoms bekannt, so ist auch das Polynom bekannt. Es lautet dann:
c*(x-x0)*(x-x1)*(x-x2)*(x-x3) .... (x-xk)
c ist dabei der Koeffizient der hoechsten Potenz.
(Vorsicht es gibt auch komplexe und mehrfache Nullstellen !
Die Schnittpunkte eines Polynoms mit y=0 sind zwar Nullstellen, aber nicht
unbedingt alle Nullstellen des Polynoms )
Die Nullstellen nennt man auch vornehm Pole des Polynoms. Meine Idee war also ueber eine Polstellenbetrachtung das Polynom zu bestimmen.
Viel weiss ich ueber die Polynome noch nicht. Aber zum Beispiel kenne ich den Grad im n.ten Iterationsschritt.

Hier eine kleine Tabelle:
(Schritt n / Grad) (0/1) (1/2) (2/4) (3/8)
Der Grad g(n) meiner Polynome ist also g(n)=2**n
Das habe wir ja schon festgestellt.

Folgender Trick kam in meiner ersten Erklaerung vielleicht nicht so richtig rueber:
Die richtigen Nullstellen des Polynoms, also p(n)=0 gefallen mir nicht so sehr. Wir haben doch weitaus interessantere Schnittpunkte unserer Polynome gefunden. Naehmlich die n-Schritt Repulsoren. Auf diese
Schnittpunkte wuerde ich gerne meine Polstellenbetrachtung aufbauen.
Also den Schnitt der Polynnome p(n) mit der Geraden (a-1)/a
Also die Gleichung p(n)=(a-1)/a. Das laesst sich Umformen zu
p(n)-(a-1)/a=0 Spasseshalber koennte man das auch so formulieren:
p'(n)=p(n)-(a-1)/a und p'(n)=0 Je nach Geschmack.
Wichtig ist: Ich betrachte nicht die Nullstellen des Polynoms, sondern
deren Schnitt mit (a-1)/a also die Nullstellen von p'(n). Ich versuche also
p'(n) ueber die Polstellenbetrachtung zu ermitteln. Ist mir dies gelungen,
so kenne ich natuerlich auch p(n)=p'(n)+(a-1)/a.
Das ist ganz schoen tricky :-)
Im Folgenden betrachte ich also p'(n) !

Und natuerlich habe ich mir dazu den einfachsten Fall ausgesucht. Der einfachste Fall waere doch, wenn das Polynom eine einzige mehrfache Nullstelle fuer alle Iterationen n besitzt. Was heisst das konkret ?
Angenommen xp waere diese ominoese mehrfache Polstelle, dann lauteten die Polynome p'(n) (nicht p(n)!):
p'(0)=c(n)*(x-xp)
p'(2)=c(n)*(x-xp)*(x-xp)*(x-xp)*(x-xp)
p'(3)=c(n)*(x-xp)*(x-xp)*(x-xp)*(x-xp)*(x-xp)*(x-xp)*(x-xp)*(x-xp)
Den Grad in jedem Iterationsschritt kenne ich ja g(n)=2**(n+1)
Juhu ich koennte dann das Polynom p'(n) explizit anschreiben:
p'(n)=c(n)*(x-xp)**g(n)=c(n)*(x-xp)**(2**n)
Und ich kenne dann auch p(n)
p(n)=p'(n)+(a-1)/a=c(n)*(x-xp)**g(n)+(a-1)/a
( c(n) kann man erraten :-)

Das ist bis jetzt alles reine Theorie. Denn ich muss ja erstmal diesen
Spezialfall finden, dass nur eine einzige g(n) fache Nullstelle vorliegt.
p'(0) liefert da schon einen Anhaltspunkt.
Wir wissen ja p(0)=x. (Die 45 Grad Linie) (Annahme c(0)=1)
Aus p'(0)=p(0)-(a-1)/a folgt (x-xp)=x-(a-1)/a
xp=(a-1)/a
AHA! Diese Polstelle waere dann unser alter Freund y0i !
Eigentlich auch logisch.
Aber a haben wir damit noch nicht bestimmt. Wahrscheinlich gibt es hierfuer mehrere Methoden. Ich benutze mal dazu Deinen rekursiven
Schnittstellenbestimmer :-)
Der besagt doch, dass ausgehend von s=(a-1)/a die ersten zwei
Nullstellen bei
1/2/a*(a+(a^2-4*a*s)^(1/2)) und
1/2/a*(a-(a^2-4*a*s)^(1/2))
liegen. Hey ich moechte aber keine 2 verschiedenen Nullstellen, sondern
nur eine Doppelte. Das geht nur wenn die Wurzel verschwindet !
Also fuer a(a-4s)=0
Der Fall a=0 interessiert nicht.
also a=4s und s kennen wir ja
also a=4*(a-1)/a ... wieder eine quadratische Gleichung die wir locker loesen koennen.
Die zwei Loesungen sind a1=2 und a2=2 !!!
Man koennte jetzt induktiv Beweisen, dass fuer a=2, xp=(2-1)/2=1/2
immer die einzige Polstelle bleiben wird, und dass a auch der einigste Fall
dieser Art ist.
Man kann auch einen Blick auf das erste Bild dieses Threads werfen.
Da sieht man doch sehr schoen, wie sich fuer a=2 die Polynome an
c=y0i anschmiegen und diese Gerade nur in yoi schneiden.
(Ausser n geht gegen unendlich)

Jetzt wurde aus meiner Theorie also Praxis.
Fuer a=2 treffen alle von mir zuvor gestellten Forderungen zu.
Und ich kann bis auf c(n) schon die Loesung angeben:
p'(n)=c(n)*(x-1/2)**g(n), g(n)=(2**n)
c(n) ist der Koeffizient der hoechsten Potenz p(n)=c(n)*x**n+....
Koennte man berechen aber auch erraten indem man versuchsweise
einige p(n)-1/2 durch (x-1/2)**g(n) teilt
Das ergibt
n=1/ -2 =-(2**1)
n=2/ -8 =-(2**3)
n=3/ -128 =-(2**7)
n=1/ -32768 =-(2**15)
Ich rate also mal c(n)=-(2**(2**(n)-1))=-(2**g(n))/2
Damit habe ich die Loesung:
p'(n)=-1/2*(2x-1)**g(n), g(n)=(2**n)

*****************************************
p(n)=-1/2*(2x-1)**g(n)+1/2, g(n)=(2**n)
*****************************************

Bild dieser Funktion im Anhang
Der Ausdruck x**(2**n) fuehrt natuerlich zu exorbitant grossen Zahlen,
die ein normaler Rechner nicht verarbeiten kann. Maple kanns aber.
Der Grenzwert fuer n gegen Unendlich ist 1/2

ciao
richy
Korrektur
Anstatt
Den Grad in jedem Iterationsschritt kenne ich ja g(n)=2**(n+1)
Den Grad in jedem Iterationsschritt kenne ich ja g(n)=2**n
Vermutung:
Die Gleichung lässt sich auch für a=1+sqrt(5) lösen. Dazu müsste man von P2 ausgehen, denn wie bei a=2 der LE von P1 einen Minimalwert hat, hat bei a=1+sqrt(5) der LE von P2 einen Minimalwert.
Hallo Richy

ich hab mir mal den Nullstellenalgo angesehen:

Für a > 2 nähert sich das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Nullstellen auf dem Ast < 0,5 dem Wert a (oder 1/a, je nachdem wie mans dreht)

Ich hatte ja geschrieben

yr4 = (a+-(a**2-4*a*yr5)**,5)/2/a

das Verhältniss yr5 / yr4 ist somit

y*2*a/(a-(a**2-4*a*y)**,5)

wird y sehr klein nähern sich Nenner und Zähler Null. Ich vermutet das der Limes dieser Funktion gleich a ist.

Hmmm, da gabs doch mal was in meinen Mathe Vorlesungen.

ACH ich DUMMKOPF
Das Verhältnis zweier extrem nahe aufeinander folgender Werte ist die Steigung oder Ableitung der Kurve. Und die Ableitung der Verhulst Gleichung ist a-2ay für sehr kleine y also a.

PS für a=2 ist das Verhältnis 1. Alle Nullstellen liegen ja am gleichen Ort.

Konrad
Hallo Konrad
Sorry, war ne Weile offline. Hab mich auch mit der Problematik nicht mehr gross beschaeftigt. Die Loesung fuer a=1+sqrt(5) habe ich auch schon in Betracht gezogen. Aber sie ist nicht so einfach wie a=2. Fuer einen einzigen mehrfachen Pol muessen sich alle Polynome in nur einem Punkt
schneiden und das ist fuer 1+sqrt(5) nicht mehr gegeben. Es waere wirklich mal interessant Fuer gewisse Werte a alle Pole zu bestimmen.
Ein kleines Problem ist dabei die Mehrdeutigkeit der Loesung der Wurzel.
Mann muss alle Faelle durchgehen. Als Binaerdarstellung kann man sich
alle Faelle am einfachsten ueberlegen.

1=+ Vorzeiche 0=-Vorzeichen

Im kten Schritt stellen dan alle Binaerzahlen von 0 bis 2**k alle moeglichen
Vorzeichenfaelle dar.
Da gibt es ein Schema blos wie ging das wieder ?
Versuchs mal mit n=3
01234567
00000000
00001111
00110011
01010101

Yepp genau so gings ! Du muss die Zahlen nun Spaltenweise lesen,
also 0000 , 0001, 0010, 0011 ....
n=4 ergibt folgende 16 Vorzeichenkombinationen

0000000000000000
0000000011111111
0000111100001111
0011001100110011
0101010101010101

Nicht soo sonderlich schwer zu programmieren, aber schon ne kleine
Herausforderung. Und was passiert wenn unter der Wurzel sich ein negativer Wert bildet ? Dann muss man komplex weiterrechen. Also
am besten man rechnet von Anfang an komplex. Moment ich schau mal
im Bronstein nach Sqrt(Z) Z=komplex=x+iy. Seite 516
Sqrt(x+iy)=u+iv
u=Realteil: +-sqrt( (x+sqrt(x*x+y*y))/2)
v=Imateil: +-sqrt( (-x+sqrt(x*x+y*y))/2)
Ich denke das komplexe Rechnen darf die Anzahl der Faelle nicht erhoehen.
Die +- Vorzeichen von Realteil und Imaginaerteil muessen also gekoppelt
sein. Verwendet man bei Re das plus , muss man auch bei im das plus
verwenden.
Tja jetzt koennte man deinen Polstellenalgo programmieren.

Was Du mit dem 2 ten Thread bezweckst ist mir nicht ganz klar.
Der Grenzwert yr4 limit yr5 0 ist uebrigends nicht a sondern 1

ciao
richy
PS:
Ich bin mir ziemlich sicher, dass das Bild der Polstellen als Darstellung in der komplexen Ebene ein fraktales Bild ergibt. Denke eine Juliamenge.
Fuer a=2 natuerlich nicht :-)