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Zusammenhang zw. Feigenbaumdiagramm und Apfelmännchen

geschrieben von Maike 
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Hallo,

ich habe ein Problem. Ich habe bis jetzt noch niemanden gefunden, der mir den Zusammenhang zwischen dem Feigenbaumdiagramm und dem Apfelmännchen erklären konnte.
Ich hoffe mir kann jemand helfen.

Gruß Maike
Re: Zusammenhang zw. Feigenbaumdiagramm und Apfelmännchen
12. January 2006 15:49
Hi Maike
Beide Dartellungen beschreiben das Konvergenzverhalten einer Differenzengleichung.
Ob die Gleichungen im Verlauf einem Wert oder mehreren Werten zustreben (Attraktoren)
oder im Fall des Apfelmaennchens auch gegen unendlich streben.

Beim klassischen Feigenbaumdiagramm ist die "Testgleichung" z.B. y(k+1)=r*y(k)*(1-y(k))

Beim Apfelmaennchen ist die Gleichung komplex: z(k+1)=C+z(k)^2
z(k) und C enthalten daher zwei Funktionen.Einen Real und Imaginaerteil: z(k)=zr(k)+i*zi(k) bzw. C=Cr + i*Ci
Es muessen also zwei Werte dargestellt werden. Zur Darstellung benoetigt man eine Zahlenebene.Das Konvergenzverhalten kann dann nur noch z.b. ueber eine Farbgebung gekennzeichnet werden. Deshalb hat das zweidimensionale Apfelmaennchen ein anderes Erscheinungsbild als das eindimensionale Feigenbaumdiagramm.

Das Apfelmaennchen koennte man somit auch als komplexes oder 2-dimensionales Feigenbaumdiagramm bezeichnen.

*******

Klassisches Feigenbaumdiagramm:
Testfuntion: y(k+1)=r*y(k)*(1-y(k)) oder eine aehnliche eindimensionale Gleichung
Darstellungsparameter r

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Komlexes Feigenbaumdiagramm (Apfelmaennchen, Juliamenge):
Testfuntion: z(k+1)=C+z^2 oder eine aehnliche zweidimensionale Gleichung
Darstellungsparameter ist die Ebene der komplexen Konstanten C
oder
welchen Anfangswert man waehlt z0r+i*z0i

In einem der Faelle ergibt sich dann statt Apfelmaennchen die Juliamenge.

Hoffe dir hilft das weiter
ciao
richy




10-mal bearbeitet. Zuletzt am 12.01.06 16:58.