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Ljapunov und Ferrari :-)

geschrieben von richy 
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Ljapunov und Ferrari :-)
24. March 2003 01:17
Hallo Konrad

So ganz uninteressant ist Dein Ferrari nun auch nicht. Macht auch Spass
sich nach so langer Zeit mal wieder mit der Verhulst Gleichung zu beschaeftigen und sogar neue Aspekte zu finden. Dein letzter Schul-Link
war recht interessant. Bin aber trotzdem froh kein Schueler mehr zu sein.
Baeh ! Als Einstieg so was stinklangweiliges wie Zinsrechung, in der typischen Herleitung mit Beamtemathematik. Wie oede.
geld(k+1)=geld(k) + c*(geld(k)) =(1+c)*geld(k) so schreibt das der Ing.
Wenn ich schon beim kritisieren bin. Da fehlt:
1) die mathematische Definition von Linearitaet
2) Die Erkenntnis, dass y0i und seine Kollegen die einzigen Attraktoren sind. Das ist doch das Wesentliche. Dass ich den ersten Zweig des
Periodendiagramms z.B. ohne Taschenrechnersimulation direkt als
f(a)=(a-1)/a angeben kann ! a*x*(1-x)=x. Das kann doch wohl jeder
Schueler nach x aufloesen.

Ich wusste auch nicht, dass die Chaostheorie zum Schulstoff der 10 ten !
Klasse gehoert. Oh je, da hab ich wohl einige ueberfordert :-( Sorry !

Immerhin scheinst Du meinen "Nobelpreis" Thread verstanden zu haben.
Mir ist mit dem Thread auch erst wieder einiges klar geworden.
Die Werte dieser 2er 4er 8er Zyklen darfst Du uebrigends auch als
Attraktoren bezeichnen genauso wie Mr. y0i :-) Was soll denn da anders
sein als bei y0i ? Anstatt dem p1 Polynom verwendet man eben das
p2 Polynom.
Die erste Periodenverdoppelung ist ja noch "relativ einfach" zu berechnen.
Ich glaube ich habe vergessen zu betonen, dass der 4 er Zyklus so natuerlich nicht mehr berechenbar ist.
p4 ist ein Polynom vom Grad 2**4=16. Ok, die p1 und p2 Nullstellen
sind zwar bekannt und damit kann ich das Polynom auf den Grad 12
reduzueren. Hi Hi viel nuetzen
c12*y**12+ c11*y**11+.... c2*y**2+c1*y+c0=0
Also ich kann das nicht loesen. Maple auch nicht. Sind die Polynome von
speziellem Charakter und geht es daher doch ? Oder ist die Feigenbaumkonstante doch nur empirisch ermittelt ?
Das wuerde mich echt interessieren.

Ich hab momentan mal wieder jede Menge verrueckter Ideen.
Eine davon ist aber recht solide.
Die betrifft den Ljapunov Exponent. Der klingt kompliziert, ist aber relativ
einfach. Eine Erklaerung findet man zum Beispiel hier:
http://home.t-online.de/home/lonacollin/fab-inet/cKapitel/c07.htm
Ein schoenes Bild als Beispiel gibts hier: (bissel zu gross :-)
http://home.t-online.de/home/lonacollin/fab-inet/cKapitel/c08.htm
( Achtung a ist hier anders normiert ! )

DER LJAPUNOV EXPONENT
ist quasi ein einfaches Chaosanzeigegeraet.
L<0 "ordentlich" :-)
L=0 Birfurkation
L>0 Chaos

Das Ljapunov Anzeigegeraet muss man neben der Iteration mitlaufen
lassen. Dazu verwendet man eine Variable (lap) als Summen-Speicher.
Aus dem aktuellen Iterationswert xn bildet man ln(Betrag(df(xn)/dx))
und addiert das in den Speicher lap.
df(x)/dx waere bei Verhulst analytisch zum Beispiel a-2ax.
Kann man bei unbekannter Funktion aber auch numerisch mit
x(n)-x(n-1) anaehern.
Die Summe teilt man dann durch die Anzahl der Iterationen.
Den Fall ln(0) muss man natuerlich ausschliessen.

LJAPUNOV und FERRARI
Das Interessante an Deinem Experiment ist, dass Du dieses ja im Bereich
a=3 durchgefuehrt hast. Das ist die erste Birfurkationsstelle.
Erstmal eine vielleicht weniger wichtige Anmerkung.
y0i exestiert ueber alle Parameter a. Aber wie man aus meiner Konvergenzgraphik recht schoen erkennt, verliert y0i ab a=3 seinen
anziehenden Charakter und wird ein ANTI Attraktor. (abstossend)
Hmmm die ersten zwei zyklischen Attraktoren haetten eigentlich auch
einen eigenen Namen verdient. Ich nenn die mal y2i (y2ia, y2ib)
Im Gegensatz zu y0i exestieren die y2i aber fuer a<3 real gar nicht,
weil sie dann ne komplexe Wurzel haben. Seltsam uebrigends wie das
alles gut zusamenpasst. Ich glaube Du hast eine falsche Vorstellung.
Du denkst, dass y0i etwas ganz anderes ist wie y2i. Dass die Iteration bei
a=3 quasi hin und hergerissenn ist ob sie sich nun fuer y0i oder y2i
entscheiden soll. Du hast damit auch ein bischen recht !
Die y2i treten nicht ploetzlich auf, sondern entstehen quasi aus y0i.
Bei a=3 verliert y0i gerade seinen anziehenden Charakter. Gleichzeitig
"entsteht" (verliert seine komplexe Wurzel) y2i mit anziehendem Charakter. ! Aber y0i exestiert fuer x>3 noch weiter !!!
Deine Rippen sind wirklich interessant. Der Punkt a=3 ist wirklich
interessant, denn hier tritt eine Birfurkation auf, die man sogar noch
analytisch berechen kann.

Was passiert also genau in a=3 ?
1) y0i wird hier indifferent. "y0i stirbt als Attraktor"
2) y2ia und y2ib werden "geboren"
3) Die y2i sind aber noch identisch mit y0i !!!

Exakt y=3 ist also gar nicht so interessant ? y0i ud y2i sind hier ja
identisch. WOW um a=3 vielleicht doch kein Rechenfehler ?
Eine Art Abloesungsprozess ?
Bevor ich jetzt ins phylosophische abdrifte.
Was macht der Ljapunov Exponent bei der ersten Birfurkation ?
Der ist fuer a=3 so ziemlich Null. Das kann man sich auch sehr schoen anschaulich ueber das Konvergenzkriterium erklaeren.
y0i verliert gerade seine Attraktivitaet. y2i wird geboren und gewinnt
gerade seine Attraktivitaet. Ein Grenzfall.
p1 besitzt in dem Schittpunkt mit 45 Grad die Steigung -1
p2 besitzt in dem Schittpunkt mit 45 Grad die Steigung +1
Der Schnittpunkt ist identisch, die Steigung zwar verschieden :-)
Aber den Ljapunov Exponent interessier ja ln vom Betrag(df(y)/dy)
Der Betrag ist also in jedem Fall EINS !
Und jeder Logarithmus aus EINS ist NULL !!!

Nochmal:
Die erste Birfurkationsstelle ist zum Beispiel dadurch gekennzeichnet,
dass y0i seinen anziehenden Charakter verliert. Der Uebergang von
anziehendem zu abstossendem Attraktor ist gekennzeichnet durch
das Konvergenzkriterium abs(df(y)/dy =1)
y0i besitz hier also zum Beispiel die Steigung -1.
y2i besitz hier also zum Beispiel die Steigung +1.
wie man den viele Bildern die ich hier schon geposted habe auch entnehmen kann.
Der ln(1) ist null.
Des ganze isch scho e bissel schwer :-) Genau aus Sueddeutschland :-)
Wir babble komisch aber sinn nett bloed :-)

Nimm mal an, dass ein Birfurkartionspukt dadurch gekennzeichet ist,
dass hier ein Uebergang von anziehendem Charakter zu absosstendem
Charakter gegeben ist. Das ist eine Annahme, dem muss ueberhaupt nicht so sein !
Aber dann gilt df(f)/dy=1 und log( df(f)/dy ) =0
Der Ljapunov Exponent wird also Null sein !

Jetzt kommt der Einwand !
Wir gehen ja von beliebigen Anfangswerten aus. Von Anfangswerten
in denen bestimmt nicht sofort gegeben ist, dass df(y)/dy = 1 ist.
Ok bei a=3 werden wir zur Birfurkationsstelle hin konvergieren.
Da wird dann df(y)/dy = 1 sein und ln(1)=0 und unserem Ljaponov
Speicher nix mehr hinzuaddiert werden.
Aber bevor wir den Attraktor erreicht haben, werden wir Werte in
unserem Ljapunov Speicher gesammelt haben. Selbst fuer a=3
wird der Ljapunov Exponent also nicht NULL sein.
Falsch !
Der Ljapunjov Exponent ist ja fuer N=infiit definiert.
Nehmen wir mal an wir kommen in endlichen Iterationsschritten beim Bifurkations Attraktor an. Dann wird in unserem Ljapunov Speicher ein endlicher Wert stehen. Da wir nun beim Birfurkationmsattraktor sind,
fuegen wir dem Ljapunov Speicher mit jedem neuen Schritt nichts zu.
Gemaess der Formel werden wir aber mit jeder neuen Iteration diesen
Speicher durch N teilen. Und der Ljapuov Exponent ist fuer N gegen infinit
definiert. Dies eleminiert die Einschwigphase.
Annahme.
In userem L-Speicher steht bedingt durch die Einschwingphase der Wert
c=10. Wir habe den Bifurkationspunkt berreits erreicht, d.h. wir fuegen
dem L-Speicher nichts mehr hinzu. Mit jedem Iteartionsschritt teilen wir
den L-Speicher nur noch um einen Nunehmenden Wert, der per Definition
uendlich gross ist.
limit (c/N, N=infinit) =0.
Logisch oder ?
ciao
richy
richy
Re: Ljapunov und Ferrari :-)
24. March 2003 01:47
Sorry
jetzt habe ich natuerlich das wesentliche vergessen.
a=3 ist eine Bifurkationsstelle. Der Ljapunov Exponent ist hier 0.
Das bedeutet "aufpassen" wir sind hier nahe dem Chaos.
Fuer den Fall a=3 hat dies doch aber nur Auswirkungen auf das
Rechnerexperiment.
Denn ich habe ja im letzten Thread das Feigebaumdiagramm bereits
fuer den Fall 0<a<1+sqt(6) analytisch berechnet.
Ok, fuer a=3 konnte ich nicht so recht entscheiden, ob die Attraktoren,
bzw der Attraktor noch anziehend ist.
Der Fall a=3 ist aber gar nicht so interessant.
Abgesehen von diesem Wert habe ich alles analytisch berechnet.
Analytisch gesehe ist von meier Seite daher auch alles klar und logisch.
Warum nun irgendwelche ungenauen Recher bereits in diesem Bereich
offensichtlich Muell liefern. Ich weiss nicht ob man das untersuchen soll.
ciao :-)
richy
Re: Ljapunov und Ferrari :-)
24. March 2003 12:52
Hallo Richy,

der Link war nicht für Dich und mich bestimmt, aber wie ich vermute sind hier im Forum schon 10Klasse Schüler dabei.

Zu Deinen Ausführungen kann ich nicht gleich sofort antworten. Ich muss mir das erst einmal gaaaanz langsam reinziehen. Ich bin Ingenieur und nicht Mathematiker und meine letzten Vorlesungen in Mathe waren vor bald 20Jahren.

In der Zwischenzeit habe ich mich mehr mit praktischen Dingen beschäftigt, das siehst Du sicher auch daran, dass meine Grafiken einfacher, aber für mich anschaulicher, sind.

Zu Ljapunov und Verhulst Gleichung gibt es wohl ein Programm namens FIGWIN. Wäre interessant dieses auf die Rippen loszulassen.

bis demnächst
Konrad
Re: Ljapunov und Ferrari :-)
26. March 2003 20:27
Hallo,

ich möchten doch noch auf den von Dir so ungeliebten Link zurückkommen

Es gibt darin ein paar Grafiken, welche P1, p2 und die Winkelhalbierende darstellen. Du findest sie im Kapitel 6.

Man sieht deutlich, dass bei a<3 die Steigung von p2 kleiner als 1 ist. P2 schneidet die Winkelhalbierende in einem einzigen Punkt, dem gleichen natürlich wie p1. Wenn man hier ein paar Iterationschritte auf der P2 Kurve einzeichnet, fällt auf, dass diese sich stetig aus der gleichen Richtung auf den Schnittpunkt zubewegen. Iteriert man unendlich oft, so wird der Attraktor erreicht.

Man sieht auch dass bei a>3 die Steigung im fraglichen Bereich grösser als 1 ist. P2 schneidet die Winkelhalbierende auch noch in zwei weiteren Punkten, den bekannten Attraktoren. Nimmt man einen Wert sehr nahe an unserem y0i an, und zeichnet die Iterationen ein, so fällt auf, dass sich diese geradewegs von y=i zum Attraktor hin bewegen.

Die wichtige Erkenntnis hier heraus ist:
Für Startwerte, welche zwischen y0i und y2ia liegen, liegen alle übernächsten Iterationschritte von P1, respektive jeder Iterationsschritt von P2 zwischen y0i und y2ia. Je länger die Iteration dauert, je mehr nähert sich der Wert y2ia. Gleiches gilt für y2ib.

Wenn a = 3 ist die Steigung von P2 1, genau wie die Winkelhalbierende. Das bedeutet, dass die Winkelhalbierende die Tangente an P2 in y0i ist. Und wie Du bereits erklärt hast wird deshalb y0i indifferent. Was passiert aber mit der Iteration:

Wird der Startwert knapp neben y0i gesetzt so wird sich die Iteration erst einmal dem vermeintlichen Attraktor nähern. Je näher die Iteration diesem Attraktor kommt, desto kleiner wird aber die Differenz der Steigungen der Kurven, welche letzendlich für die Annäherung verantwortlich ist. Die Annäherung verlangsamt sich also zusehends. Sie würde zu Null, wenn der Attraktor erreicht würde. Aus diesem Grunde wird der Attraktor auch nach unendlich vielen Iterationen NICHT erreicht.

Das ist für gesunden Menschenverstand fast zuviel, aber es gibt auch noch andere solche Konstrukte.
z.B. Null durch Zahl gibt Null, Zahl durch Null gibt unendlich, Null durch Null ist undefiniert.
z.B. Ein Raumschiff, dass sich einem schwarzen Loch nähert wird immer weiter beschleunigt. Gleichzeitig wird aber auch die Zeit im Raumschiff gedehnt. Das Raumschiff wird deshalb diemals ins schwarze Loch fallen (ausser es dreht sich), weil beim Erreichen des Ereignishorizonts die Zeit für das Raumschiff stehen bleiben würde.

Aber zurück zum Thema. Dieses zähe Annähern hatte ich bereits als Erklärung für die Rippen gefunden. Wenn ich es mir so überlege, müssten im Bereich der anderen Bifurkationstellen also ebenfalls Rippen auftauchen.
Und es erklärt, warum die Rippen nicht bei a<3 enden.

Ich meine, dass von jedem Polynom die Nullstellen gefunden werden können. Habe einmal etwas von einem "Hornerschen Schema" gehört. Aber ganz einfach: in unserem ungeliebten Link steht die Lösung wie man auf die nächsten bifurkationsstelle kommt unter Kapitel 7.

Nun zu dem Link zu Ljapunov. Erst mal vielen Dank, vorher konnte ich mir nichts darunter vorstellen, jetzt klärt sich doch einiges.

Hmmm sieht so aus, als wäre dies eine Aufgabe zum Programieren.

Konrad
Re: Ljapunov und Ferrari :-)
28. March 2003 00:12
Hallo
zum Programmieren bin ich noch nicht gekommen, aber von Deinen Links ausgehend auf Recherche gegangen und ein Programm namend WINVO entdeckt.

http://home.snafu.de/winvo/fractal.htm

Unter vielen anderen Funktionen ist auch der Ljapunov Exponent der Verhulst Gleichung drin.

Toll also gleich mal die Eckwerte 0-4 in beiden Richtungen eingegeben und ... aber wozu ist denn diese Abbildungsregel gut ? Na ja trial and error, a eingeben, gibt vertikale Streifen, b eingeben gibt horizontale. ab gibt das gezeigte Bild.

Konrad
Re: Ljapunov und Ferrari :-)
28. March 2003 15:34
Sorry,
ich hab hier etwas durcheinadergebracht.

Die erwähnten Kapitel 6 und 7 stammen nicht aus dem ungeliebten Schullink sondern aus desem hier

http://www.gus.bb.bw.schule.de/fbaum/fbaum.htm


konrad