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richy & Konrad for Nobelpreis :-)

geschrieben von richy 
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Hallo Chaosfreunde !

Natuerlich nicht, aber ich habe etwas interessantes "entdeckt".
Der Sachverhalt ist bestimmt schon bekannt, aber es ist fuer das Verstaendnis oft besser etwas selber zu erforschen, anstatt z.B.
im Internet Informationen zu sammeln, die man dann nicht versteht.
Denjenigen, denen der Sachverhalt schon klar ist moegen mir diese
Schiritzmaessige Einleitung verzeihen.
Mit diesem Thread starte ich also jetzt eine kleine Entdeckungsreise
und wer Lust hat darf gerne mitreisen.
Ich starte die Reise so ziemlich bei 0, d.h. bei a*y*(1-y) und weiss auch noch nicht wie weit sie fuehren wird.

VORWORT

Das ganze ist sicherlich besonders interessant fuer die Chaos Facharbeiter ! Wenigstens fuer diejenigen, die sich in ihrer Arbeit mit folgender Gleichug beschaeftigen wollen:

y(k+1)=a*y(k)*(1-y(k)), y(0)=0..1, a=1..4
Die Gleichung wird meist "logistische Abbildung" genannt. Ich nenne sie
lieber nach ihrem "Entdecker" dem Biologen Verhulst. Verhulst GL.
Eigentlich wollte ich gleich loslegen, aber noch ein paar Bemerkungen zu der Gleichung.

Betrachtet man blos den Ausdruck
y(k+1)=a*y(k), y(k=0)=y0
so stellt das die klassische Wachstumsgleichung dar, nach der sich zum Beispiel idealisiert Hasen vermehren, wobei es am Anfang y0 Hasen gibt.
Die Gleichung ist eigentlich eher eine Arbeitsanweisung, wie ich ausgehend
von y0 iterativ die Hasenpopulation ermittle. Die ist dann:
k=0: y0
k=1: y0*a
k=2. y0*a*a ...

Aha annscheinend laesst sich hier eine geschlossene Loesung angeben.
Naemlich y(k)=y0*a**k (**bedeutet hoch)
a**k ist zwar in Ordnung aber zwecks Vereinheitlichung rechet man das
gerne zur Basis e=2.7... um. Da gibt es einen einfache Trick, der sich immer
wieder lohnt, indem man eine Funktion und ihre Inverse anwendet:
a**k=exp(ln(a**x)) = exp(ln(a)*x) = exp(c*x) c=ln(a)
Aha die Hasen werden sich exponentiell vermehren.

Das gefiel Verhulst gar nicht, denn die exp-Funktion ist ein uebler Geselle.
Das Wachstum waere so stark, dass sich sehr schnell eine Hasenkugelwelle bilden muesste, die sich mit Ueberlichtgeschwindigkeit im
Universum ausbreitet und das ganze Universum waere dann von Hasen
bevoelkert. Also hat Verhulst einen Term eigefuehrt, der dieser Haseninvasion entgegengewirkt. (Normiert auf 1 Hase :-)
So ist also diese Gleichung
y(k+1)=a*y(k)*(1-y(k)) in etwa entstanden.

(Bemerkenswert uebrigends, dass man die Gleichung auch Fuzzy Aussagelogisch betrachten kann.
"MAL" ist dann "UND" und "1-y" die "NEGATION" )

Aufgrund der Nichtlinearitaet (der Term a*y**2) ist diese Gleichung
ausgesprochen komplex und es laesst sich bisher auch noch keine
geschlossene Loesug angeben, wie in der einfachen Wachstums-
gleichung. Es ist daher auch nicht einfach bei dieser Gleichung
irgendwelche Eigenschaften ueber die Loesung anzugeben.
Also blos ein Periodendiagramm ausdrucken ?
Fuer die FACHARBEITER moechte ich versuchen im naechsten Beitrag
eine Methode vorzustellen, mit der es moeglich ist wenigstens
die Periodenverdopplung einfach und anschaulich darzustellen.
Das waer doch schon mal was oder ?
ciao
richy
richy
Re: richy & Konrad for Nobelpreis :-)
21. March 2003 00:02
RESISTENTE ANFANGSWERTE
PERIODENVERDOPPLUNG:

Diese tritt bei der Verhulst Gleichung erstmals im Bereich a=3 bis 3.4 auf.
Fuer a<3 konvergiert die Hasenpopulation gegen einen festen Wert.
Im Bereich der erste Periodenverdopplung (3 bis 3.4) schwankt die
Anzahl der Hasen dagegen periodisch zwischen zwei Werten hin und her.
.....

RESISTENTE ANFANGSWERTE
BAUSTEIN 1

Ich moechte aber als Vorbereitung erstmal etwas ganz anderes untersuchen. Eine Idee von Konrad. Vielleicht ist es moeglich in der Verhulst Gleichung Anfangswerte y0i zu finden, die sich durch die Iteration ueberhaupt nicht veraendern ? Nicht veraendern heisst y(k+1)=y(k).
Umgeformt y(k+1)-y(k)=0. Diese Differenz nenne ich mal D=y(k+1)-y(k).
Um Werte fuer D=0 zu finden braucht man kein Abitur :-)
y(k+1)=a*y(k)*(1-y(k)) davon einfach y(k) abziehen
D=y*(a-1-a*y)=0
y=0 ist uninteressant
Die interessante Loesung ist y=(a-1)/a
Fuer jedes a laesst sich also ein Anfangswert finden, der es ueberhaupt
nicht einsieht durch die Verhulst Iteration seinen Wert zu aendern. Da
dieser Anfangswert sich in der ersten Iteration nicht aendert, wird er
auch erfolgreich gegen die 2.te Iteration "ankaempfen" und wie man sich
induktiv klar machen kann "resistent" gegen jedliche Iteration sein :-)
Ich moechte diesem besonderen Anfangswert mal auch einen besonnderen Namen geben.
Wie waers mit y0i
ypsilon null invariant. invariant weil der Wert sich ja nicht veraendert.
y0i=(a-1)/a

BAUSTEIN 2

Es gibt noch eine zweite Moeglichkeit unseren tapferen invarianten Anfangswert zu ermitteln und zwar auf graphischem Weg.
Was machen wir denn eigentlich, wenn wir diese Verhulst Iteration
durchfuehren ? Wir wenden fuer irgendeinen Wert eine Funktion an und
ermitteln den Funktonswert. Bei Verhulst ist die Funktion
p(y)=a*y*(1-y)
Da das ganze iterativ ablaeuft, nehmen wir nun den Funktionswert und
wenden auf diesen wiederum die Abbildungsvorschrift/Funktion an.
Wie sieht das graphisch aus ?
Da ist also zunaechst die Funktion p(y)=a*y*(1-y) die einen von uns gewaehleten Anfangswert in der ersten Iteration abbildet, einem p(y) zuordnet. Dieser Funktionswert soll nun Input fuer die zweite Iteration
sein. Das kann man graphisch realisieren, indem man den Funktionswert
einfach an einer 45 Grad Linie wieder dem Input durch Spiegelung zufuehrt.

Ein iterativer Prozess laeuft graphisch also wie folgt ab:
-Nimm einen Wert y0 und bilde diesen durch deine iteratve Vorschrift ab.
-Du erhaeltst einen Wert p(y0).
- ITERATIVER CHARAKTER
Spiegele nun diesen Wert an einer 45 Grad Linie (p(y)=y) um den Wert
wieder als Input zur Verfuegung zu stellen.

Das ist ein total simpler Zusammehang. Glaube aber fast ich habs schlecht
erklaert.
Fuer die die es verstanden haben, ist aber wohl nun klar, dass die Verhulst Funktion die 45 Grad Line gerade im Punkt y0i scheidet.
Also bei unserem resistenten invarianten Freund.
Genau an diesem Punkt wird der Anfangswert wieder auf sich selbst
abgebildet. Mit der Graphik im Anhang wir das sicherlich verstaedlich :-)
Die Graphik zeigt die Verhaeltnisse fuer a=3.3.
Dargestellt ist die Verhulst Funktion, die 45 Grad Linie sowie (3.3-1)/3.3
Alle 3 Funktionen schneiden sich natuerlich im Punkt y0i.
Userem tapferen invarianten Anfangswert.

Im naechsten Beitrag werde ich zeigen wie man dies nun konkret auf
die Periodenverdoppelug anwenden kann.
Liebe Facharbeiter es ist nicht schwer, waere schoen wenn ihr mir folgen koennt Ich denke ihr koennt damit bestimmt 2-3 Punkte dazugewinnen :-)
Blos irgendwelche Periodendiagramme abzupinseln das waere ja oede.
ciao
richy
richy
Re: richy & Konrad for Nobelpreis :-)
21. March 2003 01:28
KOMMT JETZT ENDLICH DIE ERKLAERUNG FUER DIE PERIODENVERDOPPELUNG ?

Ja, aber dazu benoetigen wir noch einen dritten Baustein, der auch nicht
so ganz einfach ist.

Ich habe im letzten Beitrag die Verhulst Abbildug mit p(y) bezeichet.
Das war nicht willkuerlich, denn ich wollte mit dem Namen p(y) darauf
hinweisen, dass die Vehulst - Funktion ein Polynom darstellt.
Die Abbildungsvorschrift
(42) p(y1)=a*y1-a*y1**2
stellt wohl eine quadratische Gleichung dar. Also das einfachste Polynom, eben zweiter Ordnung.
Jetzt machen wir mal was lustiges :-)
Wir berechnen diese Abbildungsvorschrift mal explizit nicht nur fuer eine
sonndern 2 Iterationen !
Das ist schon relativ aufwendig , aber durchaus machbar :-)
Um diese Abbildungsvorschrift zu erhalten muessen wir in Gleichung (42)
y1 durch den Ausdruck y1=a*y*(1-y) substituieren.
Wir erhalten mit Bleistift und Papier:
y(2)=a**2*y[0]*(1-y[0])*(1-a*y[0]*(1-y[0]))

Natuerlich ein Polynom 4 ter Ordnung.
Mal vorweg:
Dieses Polynom wird uns helfen die Periodenverdopplung zu verstehen !
Was drueckt diese Abbildungsvorschrift aus ?
Das sind zwei Verhulst Iterationsschritte die in einem neuen einzigen
Schritt miit einem Polynom 4 ter Ordnung zusammengefasst sind.

Es ist einfach sich zu ueberlegen, dass jede Zusammefassung von i
Iterationsschritten der Verhulst Gleichung zu einem Polynom vom Grad
2**i fuehrt. Darueber sollte man sich im klaren sein ! Fasst man 10
Iterationen der Verhulst Gleichung zusammen so wird dies bereits auf eine
polyominale Gleichug der Ordnung 1024 fueheren. D.H. wir muessen mit
Ausdruecken der Form y(0) hoch 1024 rechnen.
Die Darstellung solch eines Polynoms stellt fuer das Programm Maple
zwar noch keine Schwierigkeit dar. Trotzdem:
Wir begnuegen uns erst einmal mit der Zusamenfassung zweier Iterationsschritte.

Es ist immer gut ubekannten Dingen einen Namen zu geben.
Die Zusammenfassug vom n Iterationsschritten der Verhulst Gleichung moechte ich wie folgt als p(n) bezeichnen.
Darus ergibt sich:
p(0) ist ein Anfangswert
p(1) ist die Funktion der Verhulst Gleichung
p(2) ist die Funktion zweier zusammengefasster Schritte dieser Gleichung.
.... e.t.c

Was bedeutet so eine Zusammenfassung praktisch ? Zum Beispiel
hisichtlich dem Schnitt mit der 45 Grad Iterationsgeraden ?
Ganz einfach:
Schneidet das p(2) Polynom die 45 Grad Linie, so wird der dazugehoerige
Anfangswert nach 2 Iterationen auf sich selbst abgebildet !
Daraus folgt induktiv, dass auch das p(4), p(6), p(8) Polynom in diesem
Punkt die 45 Grad Linie schneiden muss. Und so ist es natuerlich auch :-)
Das ist doch schon mal bemerkenswert oder ?
Dass natuerlich alle p(n) Polynome einen gemeinsamen Schnittpunkt
naemlich y0i beesitzen ist wohl auch ziemlich trivial.

Ok, im naechsten Beitrag werde ich nun konkret versuchen zu beschreiben, wie man mit dieser Methode die Periodenverdopplung
erklaeren, ich sag mal vorest lieber plausibilisieren kann.

ciao
richy
richy
Re: richy & Konrad for Nobelpreis :-)
21. March 2003 02:07
PERIODENVERDOPPLUNG KONKRET

Naja so schwer wars bis hierher ja noch nicht oder ?
Jetzt nutzen wir aber alles ganz schamlos aus, was wir uns bisher
erarbeitet haben.
Ok. da ist noch ein kleines Problem, um die Periodenverdoppelung nun
mit den Hilfsmitteln die ich vorgestellt habe zu verstehen.
Dazu muessen wir den Begriff der Osszillation zwischen zwei Funktionswerten ein bischen anders betrachten :-)
Diese Betractungsweise ist aber sehr einfach und ich stelle diese
nun auch nur mal kurz vor:

Es ist notwendig das Oszillieren zwischen zwei Werten w1, w2 erstmal etwas ungewoehnlich zu beschreiben.
w1 w2 w1 w2 w1 ...
Betrachte ich mal w1:
Fuer w1 bedeutet dies, dass dieser Wert w1 alle 2 Iterationsschritte
auf sich selbst wieder abgebildet wird. Besucht mal w2 und kehrt dann
wieder zu w1 zurueck. Klaro, so kann man das beschreiben.
Ebenso verhaelt es sich mit w2.

Das wars auch schon. Anstatt den Begriff Oszillation zwischen den Werten
w1, w2 kann man also auch den Begriff Selbstabbildung von w1, w2
nach jeweils 2 Iterationsschritten verwenden.
Ich koennte das jetzt mathematisch noch praeziser formulieren, hab ich
aber momentan keine Lust drauf, ist ja klar was damit gemeint ist.

OK, das waren die Voraussetzungen, dass ihr meinen naechsten Beitrag
zum Thema Periodenverdopplug nun verstehen koennt.

ciao
richy
richy
Re: richy & Konrad for Nobelpreis :-)
21. March 2003 02:23
SO FUKTIONIERT PERIODENVERDOPPLUNG KONKRET !

Fuer die Periodeverdopplung benoetigen wir lediglich p(2)
Weiterhin ein Konvegenzkriterium, dass alle Anfangswerte gegen
y0i(p(2)) konvergieren. Diesen kann ich momentann leider noch nicht
liefern. Dafuer aber einen praktischen Beweis, dass y0i einen zentralen
Punkt in der Periodenverdoplung darstellt.
Uiiiiii jetzt werde ich aber muede.
Uiiii sehr sehr mude.
Also ich erklaers im naechsten Beitrag, wenn ich wieder etwas fitter bin.
Gewisse Werte habe ich schon ueberprueft, die Sache scheint schluessig zu sein.
ciao
richy
richy
Re: richy & Konrad for Nobelpreis :-)
21. March 2003 11:44
Guten Morgen :-)
Vergesst bitte den letzte Beitrag. Da bin ich schon einen Schritt zu weit gegangen. Ueberhaupt dieses graphische 45 Grad Verfahren gleich auf die Periodenverdopplung loszulassen ist auch nicht gut. Betrachten wir doch erst einmal das Periodendiagramm fuer a<3 und wenden das Verfahren praktisch an. Das Periodendiagramm sagt uns, dass die Verhulst Gleichung hier fur alle Anfangswerte gegen einen konstanten Wert konvergiert.
Warum ist zunaechst egal. Wir nehmen das einfach mal an.
Konrads Idee war dies als D=0 zu beschreiben. Das war praktisch, denn so konnnten wir weigstens einen tapferen invarianten Anfangswert berechnen. y0i=(a-1)/a
Wir koennen das auch so beschreibe, dass dieser Wert y0i immer auf
sich selbst abgebildet wird. Ueberhaupt kann man sagen, dass wenn die
Verhulst Gleichung gegen einen kostanten Wert yc konvergiert, dass dies
nur moeglich ist, wenn yc immer wieder auf sich selbst abgebildet wird.
Einen solchen Wert habe wir ja schon kennengelernt naemlich yoi.

Kann es sein, dass es noch irgendeinen Wert gibt, der staendig
auf sich selbst abgebildet wird ?
JETZT SOLLTE ES EUCH EIGENTLICH WIE SCHUPPEN AUS DEN HAAREN FALLEN !
Die Antwort ist ganz klar NEIN ! Die 45 Grad Linie schneidet die p(1)
Verhulst Funktion nur in einem Punkt naemlich y0i !!!
D.h. wenn die Iteration gegen einen Wert konvergiert so kann dies nur der
Wert yoi sein !!!
Und dieser Wert ist natuerlich unabhaengig vom Anfangswert. (gell Konrad :-) D.h. egal welchen Anfangswert ich waehle. Dieser Anfangswert wird zuaechst abgebildet dann gespiegelt, wieder abgebildet ... Falls
die Iteration gegen einen Wert konvergiert so kann dies nur yoi sein.
yoi zieht gewissermassen alle Punkte an. yoi ist also ein ATTRAKTOR !
(Anziehend, man denke an attraktiv) Der grosse Anzieher :-)
Hey und wir haben yoi in Abhaengigkeit von a, also y0i(a) ja sogar schon berechnet ! Damit kennen wir wenigstens fuer a<3 schon den Attraktor.

Nach all dem Gelabere kommt jetzt also die erste Anwendung !
Wir koennen sofort das Periodendiagramm fuer a<3 ohne eine einzige
Berechnung angeben ! Das Periodendiagramm stell ja die im Computerexperiment ermittelten Attraktoren ueber a dar. Voila haben wir
doch laengst schon berechnet:
******************************************************
IM BEREICH a<3 FOLGT DAS PERIODENDIAGRAMM DER FUNKTION
yoi(a)=(a-1)/a
******************************************************

Dazu ein Bildchen im Anhang !

Das Ganze setzt natuerlich voraus, dass jeder Anfangswert gegen
diesen Attraktor konnvergiert. Das haben wir noch nicht bewiesen.
Aber die Einschwingphase, die wir im Computerexperimet fuer das
Periodendiagramm benoetige koennenn wir uns doch jetzt auch
sehr schoen erklaere.
Wer diesen Beitrag hier nicht verstanden hat , der braucht meine naechsten Beitraege nicht lesen.

Also nochmal:

Es gibt fuer a<3 lediglich einen Anfangswert, der staendig auf sich selbst abgebildet wird. Staendig auf sich selbst abgebildet bedeutet der Wert
bleibt konstant. Graphisch bedeutet dies, dass sich hier die Funktion
p(y)=a*y*(1-y**2) und die 45 Grad Linie f(y)=y schneiden.

y0i(a) kann man also auch aus f(y)=p(y) berechen. Diese Gleichung hat
nur eine Loesung ! Es gibt nur einen Schnittpunkt. => Es gibt nur einen
"konstanten" nichtperiodischen Attraktor. FALLS die Anfangswerte gegen
einen konstanten Wert konvergieren wie im Fall a<3 so koennen sie nur
gegen diesen einzigen ATTRAKTOR yoi(a)=(a-1)/a konvergieren.
Dieser Attraktor ist unabhaengig vom Anfangswert !!!
Im Fall der Periodenverdopplung existiert dieser sich selbst abbildende Punkt immer noch, aber er stellt keinen Attraktor mehr dar. Die Iteration
der Verhulst Gleichung bevorzugt da nicht mehr gegen yoi zu konvergieren.

JETZT SOLLTE DER BODEN VOLLER SCHUPPE SEIN :-)

ciao
richy
richy
Re: richy & Konrad for Nobelpreis :-)
21. March 2003 15:22
JETZT IN KLEINEN SCHRITTEN ZUR PERIODENVERDOPPLUNG

Wir machen dabei eigentlich nichts neues. Wie man das oszillieren zwischen zwei Werten graphisch ausdrueckt habe ich ja schon beschrieben. Also selbstabbildung nach 2 Iterationen. Anstatt dem
Verhulst Polynom p(1) 2 ter Ordnung muessen wir jetzt das 2 Schritt
Polynom p(2) 4.ter Ordnung verwenden
Bild 1 stellt diese zur Veranschaulichug fuer a=3.4 dar
Die blau markierten Schittpunkte sind die "echten" periodischen
Attraktoren. Es gibt noch 2 weitere Schittpunkte y=0 und y=y0i.
Logisch. Der konstante Attraktor bildet sich natuerlich auch nach jeweils
2 Schritten auf sich selbst ab. (Alle Polynome werden sich bei yoi schneiden !) Dass wir diese 2 Schnittpunkte bereits kene wird noch sehr nuetlich sei. Denn

JETZT BERECHEN WIR DIE 2 PERIODISCHEN ATTRAKTOREN.
( AM BESTEN MIT MAPLE !!!!)
Das ist formal einfach p(2)=p(0) oder p(2)-p(0)=0
Ich schreib statt p(0) nun doch lieber wieder y, zwecks Verstaednis
a**2*y*(1-y)*(1-a*y*(1-y))-y = 0
Hoppela da muessen wir die Nullstelle von einem Polynom 4 ter Ordnung
bestimmen !
Aber 2 Nullstellen kennen wir ja schon. Also machen wir eine Polynomdivision und reduzieren das Prob auf 2te Ordnung

(p(2)-p(0)) : y*(y-(a-1)/a) =
y**2 - (a+1)/a* y + (a+1)/a**2=0

Voila 2 te Ordnung mit den Loesungen
y1/2=(1/2*a+1/2+-1/2*(a^2-2*a-3)^(1/2))/a
DAS SIND DIE BERECHETEN ATTRAKTOREN !
In Bild2 hab ich das mal dargestellt

WIR KOENNEN JETZT AUCH BERECHNEN WANN DIE PERIODENVERDOPPLUNG FRUEHESTENS EINSETZEN KANN !
Alle 4 LSG existieren nur wenn der Ausdruck in der Wurzel >0 ist.
a**2 - 2*a -3 >0
**************
a>3
**************
Fuer a<3 schneidet p[2] die 45 Grad Linie p[0] nur in den Punkten
y=0 und y=y0i

Man koente das Spielchen jetzt noch weitertreiben, aber reicht erstmal.
Bei Konrads rotem Ferrari stimmt also etwas nicht. Dazu muesste man
die Konvergenzkriterien noch betrachten.
Auf jeden Fall sind auch die periodischen Attraktoren unabhaengig vom Anfangswert !!! Wir habe sie ja sogar explizit berechnet !

Wenn ich noch etwas interessantes finde schreibe ich hier weiter.
Ich hoffe der Thread ist auch fuer die Facharbeit nuetzlich.
ciao
richy
KONVERGENZKRITERIEN

Die Konvergenzkriterien habe ich im Iternet unter
http://www.gus.bb.bw.schule.de/fbaum/fbaum.htm
gefunden. Hey die gehen aehnlich vor wie ich *grr also nix Nobelpreis :-)

Wir nennen einen Fixpunkt x* anziehend, falls | f ´(x*)| < 1
abstoßend, falls | f ´(x*)| > 1
inndifferent, falls | f ´(x*)| = 1

Fuer y0i und die beide ersten periodischen Attraktoren habe ich dazu mal
ein Bild gemacht (im Anhang)
Da ist | f ´(x*)| ueber a dargestellt

Der erste Periodische Attraktor existiert im Bereich 3< a < 1+sqrt(6)
1+sqrt(6)=3.449489743
Am anziehendsten ist er bei 1+sqrt(5)

@KONRAD
Auf der www Seite gibt es auch ein schoenes Bild, das zeigt, wie Anfangswerte die ueber das Ziel hinausschiessen schliesslich vom
Attraktor eingefangen werden. Das Bild im Anhang zeigt Dir, das
theoretisch es nichts zu ruetteln gibt. Lediglich fuer a=3 sind alle
Attraktoren indifferent. Aha und Dein Ferrarie ensteht bei a=3..3.08.
Ich bin mir fast sicher er besteht aus Rechenungenauigkeit. Auf einer
Uniseite habe ich die Anweisung gelesen, dass das Periodendiagramm mindestes mit einer Genauigkeit von 60 Nachkommastellen !!! berechnet
werden soll. Veraender doch mal die Genauigkeit im Delphi Programm.
Statt float double.
Also auch nix Nobelbreis :-)
ciao
richy
Tausche Ferrari gegen Mercedes.

Im Ernst. Deine Ausführungen sind schlüssig. Der Link raubt uns die Illusion von Geld, Ruhm und Ehre. Trotzdem habe ich viel Spass an der Diskussion und auch wenn das Bild vom Ferrari keinen praktischen Nutzen mehr haben sollte, so ist es doch immer noch hübsch anzuschauen.

Parellel zu Deinem Bild1 und Bild2 ist dies Bild entstanden. Es verdeutlicht dem Leser die Wege der Iteration zwischen zwei Werten.

Momentan habe ich Delphi nicht installiert (Format C: war wieder mal nötig, Dank an Bill Gates), aber wenn es wieder drauf ist, probier ich mal folgendes aus:
- Längerer Vorlauf vor dem Beginn der Darstellung
- Höhere Genauigkeit
Die Ergebnissen bringe ich wieder in dieses Forum ein.

Aber auch so bin ich mittlerweile überzeugt: Die Ferrari Figur stellt nicht einen Endzustand dar. Der müsste aus einer oberen und einer unteren, vom Startwert unabhängigen Fläche bestehen. Diese Flächen werden an den von uns gefundenen Werten , welche direkt zu yoi führen, unterbrochen und durch eine Linie durch yoi ersetzt.

Ob die Iteration schnell oder zäh abläuft hängt wohl von Startwert und von a ab. In den Kurvendarstellungen zeichnet sich eine zäh ablaufende Iteration durch einen sehr flachen Kurvendurchgang ab. da haben sich aber auch schon Leute darüber den Kopf zerbrochen (und Schuppen gelassen)

Konrad
Hurra wir haben einen Namen

Von Deinem Link aus Ljupanov und Ferrari habe ich ein bisschen weiter geblättert und den Begriff

"Repulsor"

gefunden. So heisst ein Punkt, der nur für ganz bestimmte Startwerte den Endzustand darstellt, z.B. y0i bei a>3 und y2ia,b bei a >3,45 . Bei allen anderen Werten hingegen tendieren die Werte hin zum Attraktor. Wobei in den chaotischen Bereiche von einem chaotischen Attraktor die Rede ist.

Konrad