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vorschlag für ein thema

geschrieben von Konrad 
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vorschlag für ein thema
19. March 2003 13:58
Hallo,

Schade, dass man keine Bilder ins Forum stellen kann.
So was kann herauskommen, wenn man den Startwert der Populationsfunktion
mit ins Spiel bringt. Mir gefällt es zwar, aber einen praktischen Nutzen
hats wohl nicht.

Weiterhin viel Spass it uns "Chaoten" wünscht

Konrad

p.s.: vom Administrator reingestellt, da per Mail erhalten (Bilderupload jetzt ja möglich)
Re: vorschlag für ein thema
19. March 2003 16:20
Hallo Konrad
Danke fuer das Bild. Man sieht wie schwer es ist einen kompletten 3D-Koerper und nicht nur dessen Oberflaeche darzustellen :-) Darauf war ich schon mal gespannt. Aber einiges erkennt man ja schon.
Fragen:
Ist das ein Periodendiagramm ?
Ist y(k) oder D=y(k+1)-y(k) dargestellt ?

Im Bereich a=3.0-3.08 oszilliert y(k) zwischen zwei Werten
Dass D dann den Abstand dieser 2 Werte darstellt ist ja klar
Interessat sind aber diese 3 "Rippen"
Da verhaelt sich die Funktion anscheinend chaotisch ? Obwohl das fuer a=3 nicht zu erwarten ist ? Aufgrund spezieller Anfangswerte ?
Hast Du diese 3 Werte ermittelt ? die wuerden mich interessieren.
Was ich gar nicht verstehe ist, dass bis auf diese 3 Rippen alle anderen
Diagramme ploetzlich abbrechen.
Na jetzt werd ich wohl auch mal Bilder von meiem superschnellen Verhulst Juliamengen Generator is Netzt stellen.
ciao
richy
Re: vorschlag für ein thema
20. March 2003 13:03
Hallo

Dargestellt ist y(61) bis y(100) in Abhängigkeit von a und y0. Diese Werte sind nicht alle dargestellt, sondern nur der Bereich 0,63 bis 0,75, deshalb brechen die Diagramme scheinbar ab in Wirklichkeit gehen sie schon weiter, aber dann würden sie interessante Sachen verdecken. Noch mehr von den Rippen, sieht man wenn sich das Bild aufbaut. Aber Videos wollen wir hier nicht einbauen oder?

Ein vertikaler Schnitt von links vorne nach rechts hinten ergibt die übliche 2D Darstellung, die Achse nach rechts hinten ist also a, die Achse nach links hinten ist y0.

Diese drei Rippen kann ich mir leider auch nicht erklären, eine vierte, bei y0 = (a-1)/a hingegen schon. Die Figur ist übrigens zu y0 = 0,5 symmetrisch, es gibt auf der anderen Seite also noch 4 Rippen. Vielleicht gibt es unter y0=0,0001 noch mehr Rippen, sicher aber wieder eine bei y0=0 (und symmetrisch bei y0=1)

Ich weiß nicht ob das Verhalten dieser Rippen chaotisch ist. Tatsache ist, dass es Werte von y0 gibt, welche sehr schnell zu stabilen Zuständen (hierzu zähle ich auch die alternierenden Bereiche) und andere wo diese Iteration sehr zäh verläuft. Gut möglich, dass es keine Rippen mehr gibt, wenn man 1000000 Iterationen Vorlauf macht.

Die Bögen in den Rippen entsprechen Punkten der gleichen Iterationstiefe. Sie werden steiler wenn man mehr Iterationen Vorlauf gibt. Da wo die Bögen weit auseinanderliegen verläuft die Iteration sehr zäh, wo sie eng beisammen liegen hat die Iteration bereits beinahe den Endwert erreicht. Interessant finde ich auch die Kreuzungspunkte dieser Bögen.

Die Rippen und die Kreuzungspunkte zeigen, dass es Kombinationen von y0 und a gibt, die nicht das übliche Verhalten der Funktion in diesem Bereich von a aufweist. Ist das nicht chaotisches Verhalten ?

Die Endwerte (Attraktoren) sind aber auf alle Fälle von y0 abhängig, wenn auch außer im Bereich der Rippen die Unterschiede minimal sind.

Unter einer Approximation einer Ableitung kann ich mir schon was vorstellen, Ich tue mir und diesem Forum aber einen Gefallen, wenn ich dies nicht weiter vertiefe, sondern einfach die quadratische Gleichung D=y(k+1)-y(k) = (a-1)y0 – a*y0**2 auflöse. Die Ergebnisse für y0 sind 0 und (a-1)/a. Für diese Werte und für Ihre Gegenstücke 1-y0 ist nach nur einer Iteration der Endwert gefunden, auch in Bereichen, wo mit anderen Startwerten kein eindeutiger Endwert gefunden werden kann. Also Ordnung inmitten des Chaos. Dies erklärt wie gesagt ein paar Rippen, aber eben nicht die in dem Bild.

Puh, viel Zeugs

Konrad
Re: vorschlag für ein thema
20. March 2003 17:11
Hallo Konrad
Na das ist vielleicht lustig !!!
Klar fuer D=0, also y0=(a-1)/a bleibt der Startwert erhalten.
Und induktiv kann man sich ueberlegen, dass er dann fuer alle Iterationen
erhalten bleibt. Wollte das erst gar nicht ausprobieren, weil es ja klar ist.
Aber jetzt kommen wieder unsere perfekte Recher ins Spiel, (gell ccm*g),
praktisch schlagen dann die Fliesskommafehler, zumindestens bei meinem Compi durch. Nur Integer a=3 a=4 erhalte ich ne Konstante. Ich habe im Forum mal nen Link zu der Gleichung angegeben, in der diese auch schoen
anhand der 45 Grad Spiegelung erklaert wird und mit deren Schnittpunkt
der Polyome hoeherer Ordnug, also dass man mehrere Iterationen
explizit ausrechten. Zum Beispiel

-a p[0] (-1 + p[0])

2 2
-a p[0] (-1 + p[0]) (1 - a p[0] + a p[0] )

Maple schafft locker 7 - 10 Iterationen explizit auszurechen, aber das ist
dann schon ein Polynom 128 ter bzw. 1024 ter Ordnug. Koennte man schwer hier anschreibe :-) Mal sehen ob ich den Link noch finde.
Waere Interessant, dass mit der Methode zu Untersuchen.
BTW !
Einige Facharbeiter hier suchen ein vernuenftiges Programm, auch zur
graphischen Darstellung. Ich habe Maple (sogar mit warez link) und Gnuplot empfohlen. Hat beides aber seine tuecken.
Mit welchem Programm arbeitest Du ?
PS falls sich doch jemand fuer Maple entschieden hat
Zum Ausdruck muss man das Array in eine sequenz umwandeln:

a:=4;y[0]:=(a-1)/a;
for i from 1 to 50 do
y[i]:=a*y[i-1]*(1-y[i-1]):
od:
druck:=seq([i,y[i]],i=0..50):
plot([druck]);

Schick doch bitte die drei magischen y0 Werte, bin zu Faul zum programmieren !

ciao
richy
richy
Re: vorschlag für ein thema
20. March 2003 19:13
Klaro !
Ich habe mir die Frage ja schon selbst beantwortet.
Der Schittpunkt von f(y)=a*y-a*y**2 mit der 45 Gard Linie also f(y)=y
ist dieser invariante Punkt ! Es gibt aber noch mehr invariante Punkte !
Diese Polynome sind echt klasse. Ich hab in der Anlage fuer a=3.3 mal
4 Polynome hier mitgeschickt.
p(2) schneidet zum Beispiel auch die 45 Grad Linie. Damit muss auch p(4) die Linie scheiden und p(6) ..... D.H alle 2,4,6, Iterationen wird dieser
Punkt auf sich selbst abgebildet. Eroeht man a, dann erhaelt man noch viel mehr Schnittpunkte. Das betrifft jetzt zwar nur einzele Startwerte , aber diese Polynombetrachtung gibt doch eine nette neue Betrachtungsweise.
Ich hab die mit Maple iterativ erzeugt:

> for i from 1 to 5 do
> p[i]:=a*p[i-1]*(1-p[i-1]);
> od:

ciao
richy
Re: vorschlag für ein thema
21. March 2003 16:21
Hallo Richy

das Programm ist selbst gemacht. In Delphi, nichts besonderes und auch nicht sehr ausgereift. Nur gerade für disen Fall gestrickt.

Die y0 Werte hatte ich nicht berechnet, sondern in einer Schleife mit 800 Schritten einfach alle ausprobiert

Ich hab auch noch in Deinem Bild rumgemalt. Stell Dir vor Du hast einen Wert der im nächsten Schritt yoi ergibt. Der wert ist 1/a. Stell Dir nun vor Du hast einen Wert der im nächsten Schritt 1/a ergibt. Habs in Formel aber die Zeit drängt, muss meine Liebste vom Bahnhof abholen.

Aber Du kannst mir folgen und die Grafik zeigt es ja auch: Es gibt Startwerte, die auf direktem Wege zum grossen Attraktor yoi führen. Alle anderen Startwerte führen für a> 3 irgendwohin nur nicht zum Attraktor. (Sie beschreiben sozusagen eine Umlaufbahn um den Attraktor)

Bye
Konrad
Re: vorschlag für ein thema
23. March 2003 13:02
Hallo

Mittlerweile ist die Frage nach den Rippen wohl eindeutig beantwortet.

Sie entstehen dadurch dass einzelne Startwerte zu einem konstanten Wert (a-1)/a führen.

Andere Startwerte führen im Bereich 3<a<3,44865 nach unendlich vielen Iterationen zu zwei ebenfalls berechenbaren (Formeln im Thread "Richy und Konrad for Nobelpreis") sich abwechselnden Werten.

Die Iteration verläuft aber nicht immer sehr schnell. Für a sehr nahe an 3 und Startwerten sehr nahe an den speziellen Werten, welche zu einem einzigen Wert führen, verläuft die Iteration so langsam, dass der von mir gewählte Bereich y(61) bis y(100) zu besagten Rippen führt.

Wer noch mehr über das Thema wissen möchte, sei folgender Link empfohlen:
http://jan-wellem.rz.uni-duesseldorf.de/leibniz-gymn/chaos/chaos_e.htm

Konrad
Re: vorschlag für ein thema
26. March 2003 16:44
Hallo

habe gerade Delphi wieder angeschmissen und bin bereit für neue Untaten.

Das Bildchen hier zeigt die Rippen bei einem Vorlauf von 60 Iterationen.

Im nächsten Eintrag gehe ich dann auf 1060 Iterationen Vorlauf.

Eine andere Sache die mich auch stutzig macht: Bei a = 3 müsste mein Ferrari eine spitze Schnauze haben. Hat er aber nicht, was bedeutet, dass auch hier die Iteration noch längst nicht abgeschlossen ist.

Ich kann euch verraten, dass auch bei a<3 immer noch eine obere und eine untere Fläche zu sehen sind, wenn dies auch mathematisch unmöglich ist. Auch hier ist wohl der Endzustand der Iteration noch nicht erreicht.

Und das gibt mir die Idee für mein nächstes Projekt:

Zeichne eine Oberfläche, mit folgenden Achsen:
Startwert y; Variable a; Differenz zwischen der xten Iteration und dem dazu gehörigen mathematisch bestimmten Endzustand.

Fortsetzung folgt
Konrad

PS: Bild folgt, wenn Server wieder ok
Re: vorschlag für ein thema
26. March 2003 18:53
Hallo Konrad
Ich bin auch kei Mathermatiker sondern Ing Elektrolurch *g . Was hast Du denn studiert ? Mathlab ist zwar genial, aber ich habe auch mal angefangen einiges mit Java Applets darzustellen. So kann man es vielleicht mal ins www stellen.
Dass fuer a=3 die Fuktion nur schlecht konvergiert ist mir auch schon
aufgefallen. Selbst nach 5000 Iterationen oszillieren die Werte noch.
Aber die Huellekurve scheint eine streng monoto fallende Funktion zu sein, so dass das Ganze eben doch gegen yoi strebt. Vielleicht nach 1000000 Iterationen. *ausprobier
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/verhulst/verhulst3.htm
(2 Tage spaeter :-) Ja es konvergiert :-)

Ich hab mir mal was recht lustiges einfallen lassen.
Und zwar habe ich mal den Ljapunov Exponent ueber die x0 dargestellt.
Also nicht wie ueblicherweise ueber a. Also L(x0) anstatt L(a).
Man kann sich ueberlegen, dass dies wie bei Feigenbaum auch einen Vorlauf benoetigt. Theoretisch muesste gelten L(x0). In der Simulation
ist das auch fuer "die meisten" a der Fall. Aber es gibt auch Ausnahmen.
Wie solls auch sein:-) Bei a=3 zum Beispiel. Und auch ab a=3.6.
a=1+Sqrt(6) rechnet Maple gerade. uuups und stuerzt gerade ab :-)
( Maple versucht ohne explizite Anweisung immer alles Mitzuschleppen.
Hier also Sqrt(6). Deshalb wohl der Absturz :-) *evalf(sqrt(6)) benuetz
Aha hab ich mirs doch gedacht :-) Auch hier ist fuer =200 der Ljapunov
nicht konstant !
Es ergeben sich ganz seltsame Peak-Funktionen. Amplitude ca 0.01.
Das waere mal eine 2D Darstellung Wert.
Um a=3 z.b 3.01 ist es damit doch so, dass y0i noch einen Einfluss hat.
WOOOOOW habe gerade L(x0) fuer a=3.01 berechnet .
Das ist der OBERHAMMER !!!!!!
Genau so was hatte ich vermutet und gesucht !
L(x0=y0i) ist da positiv !!!!!!!!!
D.h. hier herrscht unerwarteter Weise Chaos !

Damit sind evtl Deine Rippen erklaert *zufrieden zuruecklehn

Hey die Sache wird so langsam so richtig interessant.
Waere eine 2D Dartstellunng Wert. L(x0,a) Denke da an eine farbige
Draufsicht.
ciao
richy
Bilder von L(x0) stelle ich morgen rein.
korrektur
Re: vorschlag für ein thema
26. March 2003 18:56
... Theoretisch muesste gelten L(x0) IST KOSTANT. In der Simulation .....
Re: vorschlag für ein thema
26. March 2003 18:57
Hallo

Meine Uploads misslingen im Moment, hängt vielleicht mit dem Serverabsturz zusammen.

Oder ich komme dem Chaos zu nahe ;-)

Jedenfalls hab ich bereits erste Grafiken mit dem umgebauten Programm. Auch hier zeigen sich wieder Rippen. Wobei ich zugegebenermassen tricksen musste. Differenzen soll - ist, welche nahe an Null sind habe ich einfach nicht dargestellt.

Je länger man iteriert, desto mehr verschwinden die Rippen. Auch das hatte ich schon vermutet.

Nun ist also alles erklärbar. Trotzdem ist dies ein deterministisch chaotisches Verhalten........Richy wir holen uns doch noch den Nobelpreis

Wie komme ich zu dieser Aussage:
die wesentlichen Elemente des deterministischen Chaos sind
- Nachvollziehbar mit Formeln und Rechenautomaten (Kein Zufall)
- kleinste Änderungen in den Ausgangswerten führen zu grossen Unterschieden im Ergebnis. (Schmetterlingseffekt)
- Ein Ergebnis lässt sich darum nicht aufgrund bekannter Ergebnisse ähnlicher Ausgangssituationen schätzen (interpolieren).

Wenn ich nun definiere, dass mich nicht der Wert nach unendlich vielen, sondern der nach genau 60 Iterationen interessiert, so muss ich feststellen, dass sich dieser Wert in den Rippen chaotisch verhält.

Konrad
Re: vorschlag für ein thema
26. March 2003 23:40
Schon interessant Richy, dass wir zur gleichen Zeit Dinge rausfinden und reinschreiben, um danach zu lesen, dass der andere das gleiche getan hat.

Gedankenattraktor oder so.

Aber gut, ich hatte dir Rippe nach 60 Iterationen versprochen
konrad
Re: vorschlag für ein thema
26. March 2003 23:42
Und nun 1000 Iterationen später
Re: vorschlag für ein thema
26. March 2003 23:44
Und noch einmal 4000 Iterationen später, also mit einem Vorlauf von 5060 Iterationen

Weg, futsch, Schade

Aber wenn man wiederum Werte für a noch viel näher an 3,0 nimmt findet man sie wieder.

Konrad
Re: vorschlag für ein thema
27. March 2003 00:11
Hallo

vorher hatte ich doch glatt noch vergessen, die drei Bilder zeigen immer den gleichen Ausschnitt. Dass die obere und die untere Fläche immer mehr zusammenrücken ist also auch eine Folge der fortschreitenden Iteration.

Nun aber zu diesem Bild: Ein Frontspoiler eines Formel1 Autos? Nein, auch wenn auch hier Ferrari eine gute Assoziation wäre.

Was wäre eigentlich aus diesem Thread geworden wenn ich statt rot grün genommen hätte. Richtig, ein Jaguar.

dargestellt ist nach links wieder der Startwert y0 , nach rechts a

Die y Werte sind folgendermassen berechnet:

1. Führe Anzahl in Vorlauf genannte Iterationen durch. Ergebnis y(k)
2. Berechne y(k+1) und bilde die Differenz Istdiff = ABS [ y(k+1) - y(k) ]
3. Berechne die Differenz der Attraktoren. Bis und mit 3 gibt es nur einen, also ist Solldiff = 0. für a>3 bis zu ca. 3,44 ist Solldiff = Wurzel [a*a - 2*a - 3] / a
4. y = 0,5 + solldiff - istdiff (sorry, hatte keine Lust die Anzeige umzuprogrammieren)
5. Stelle alle y Werte dar mit Ausnahme von y>ymax odder y<ymin oder 0,499<y<0,501 (Damit blende ich die Darstellung der schnelliterierenden Werte aus)

Klar auch diese Rippen verschwinden wenn man länger iteriert.

Konrad
richy
Re: vorschlag für ein thema
27. March 2003 04:50
Hallo Konrad
Klar, die Anspielung an Ferrari hatte ich schon verstanden. Das gruene Bild verstehe ich nocht nicht so ganz. Muss ich noch bischen ueberlegen. Wenn Du den ln aus Deiner Differez ziehen wuerdest und alles aufsummieren, dann waere das geteilt durch Anzahl Iterationen der Ljapunov Exponent.
Wie gesagt L<0 Ordnung L=0 Birfukation L>0 Chaos. Das mehrere Rippen aufreten und auch deren Stelle wundert mich. (y0=0.1 ...0.5 ?)
Kannst Du die konkreten y0 Werte ermitteln ?
Graphik hab ich bisher immer in C programmiert. Muss also erst mal etwas
fuer JAVA zusammenbasteln. (Maple ist zu langsam)
Koenntest Du mal den Ljapunov anstatt y(k+1)-y(k) mit deinem Programm darstellen ? Ich schicke Die mal den kommentierten Maple Quellcode
fuer ein festes a.
( Bei Maple muss man leider alle Werte zum Drucken speichern)

> Ni:=100;Nj:=100; # Ni=Anzahl der Parameter, Nj Testitertionen
> a:=3.1; # festes a in a*s(1-s)

> for i from 0 to Ni do # Parameterschleife ueber die s0
> lja:=0: # Ljapunov Summen-Speicher
> s:=0.1+0.8*i/Ni: # Startwerte s0=0.1..0.9
> a:=a : # Parameter berechnen
> count:=0: # Iterationszaehler (um ln(0) auszuschliessen)
> for j from 1 to Nj do # Iterationen zum Einschwingen
> s:=a*s*(1-s);
> od; # end of for
>
> for j from 1 to Nj do # Verhulst Schleife
> s:=a*s*(1-s);
> if ( abs(a*(1-2*s)) <> 0) then # ln(0) nicht definiert
> lja:=lja+ln(abs(a*(1-2*s))); # Summe bilden a(1-2s) ist d(as-as*s)/ds
> count:=count+1; # nur dann count erhoehen
> fi; # end of if
> od; # ed of for
>
> le[i]:=lja/count: # Bei MAPLE muss Wert gespeichert werden
> od: # ennde der Parameter for Schleife

Das ganze fuer a=1..4 und das waers
Wie Du siehst habe ich df(s)/d(s) analytisch berechnet anstatt s(k+1)-s(k).

Doch die Sache wird jetzt wirklich interessant.
Ueber eines sollten wir uns natuerlich im klaren sein. Wir beobachten da
sehr wahrscheinlich Rechenungenauigkeit. Nimm mal y0i und iteriere den fuer veschiedene a. Er muesste auf jeden Fall fuer immer und ewig y0i
bleiben. Bild A zeigt fuer a=3.3 aber etwas ganz anderes.

Bild B zeigt den Ljapunov ueber die x0 fuer a=3.0

Hey schon wieder hab ich ne prima Idee !
Yeah y0i ist klasse ! Moment mal *ueberleg. Nein da muss ein Denkfehler.
vorliegen. Die Annahme dass der Ljapunov fuer alle x0 constant sein muss
muss im chaotischen Fall falsch sein ! Ich hoffe Du kanst mir im Folgenden
folgen :-) (Die Ideen ueberschlagen sich bei mir gerade )

Eines ist klar: Unser invarianter Freund y0i kaempft theoretisch fuer alle
a gegen jedliche Iteration an.
Seltsamerweise ist er gerade im Chaos recht stabil gegen die Rechenungenauigkeit. Probiere y0i mal fuer a=3.9. Wow selbst nach
10000 Iterationen bleibt er da konstant.
Theoretisch bleibt er immer konstant.

Jetzt schau mal wie der Ljapunov definiert ist !!! *fg
Als le= limit N gegen infint ( 1/N summe(ln(|df(x(k))/dx(k)|))
x(k) ist dabei der aktuelle Iterationswert. df/dx die Ableitung der Verhulst Parabel also a*(1-2*x).
ui ui ui ich glaube Du wirst gerade Zeuge fuer einen schoenen mathematischen Beweis und viele neue Fragen :-)
Diese Summe dazu noch mit Grenzwert gegen Unendlich scheint ja
uebel zu sein. In enigen Faellen ist diese Summe aber recht einfach.
Dann naehmlich wenn wir auf einem Attraktor gelandet sind.
Was passiert dann ? Eben nichts! *fg x(k) bleibt konstant. Wir fuegen
der Summe daher auch immer den selben Wert ln(|df(x)/dx(k)| x=xattraktor zu. Das ganze Einschwinggeschnoesel duerfen wir
abschneiden, da es ja eine unendliche Summe ist !

Hoffe Du kannst mir noch folgen, denn der Gedankengang ist echt lustig.
Aus dieser unhandlichen Summe ergibt sich in dem Fall dann einfach:
summe(ln(|df(x(k))/dx(k)|))=N*ln(|df(x)/dx| x=xattraktor
Wir fuegen bei jeder Iteration der Summe den selben Wert zu.
Nach N Iterationen eben N mal diesen Wert. hi hi
Damit erledigt sich auch der Grenzuebergang N gegen unendlich !
Denn
le= limit N gegen infint ( 1/N * N * ln(|dfx/dx|) x=xattraktor ) vereinfacht sich dann simple zu ln(|dfx/dx|) x=xattraktor
Dies gilt natuerlich nur fuer einen konstanten also nicht oszillierenden
Attraktor. Also y0i fuer a<3.
(Wow ich bin gerade gut in Form. Ich weiss schon wie ich das auch
fuer den Zweierzyklus berechnen kann :-)

YEAH !!! :-)
richys 1 ter Ljapunov Attraktoren-Satz fuer die Verhulst Gleichung:

FUER EINEN NICHTZYKLISCHEN ATTRAKTOR xa BETRAEGT DER WERT
DES LJAPUNOV EXPONENTEN LE=ln(|dfxa/dxa|)

Wie gesagt ich bin kein Mathematiker sondern Ingenieur ! Ein Mathematiker wuerde das nicht experimentell ueberpruefen.
Als Ingenieur muss ich das natuerlich experimentell ueberpruefen.
Den Attraktor fuer a<3 kennen wir ja, der ist y0i=(a-1)/a.
Der Ljapunov Exponent der Verhulst Gleichung muss also im Bereich
a<3 die Funktion le(a)=ln|a*(1-2x)| x=(a-1)/a sein, also
le(a)=ln|a*(1-2*(a-1)/a)| = ln|a-2*(a-1)| = ln|2-a)| *very easy :-)

Mein Ljapunov Attraktoren-Satz fuer die Verhulst Gleichung sagt
fuer a<3 also aus:
Der Ljapunov Exponent betraegt hier ln|2-a)| !
*ueberpruef
War ja klar !
Bild B zeigt, dass mein 1 ter Ljapunov Attraktoren-Satz auch fuer
den ersten periodischen Fall noch gilt !
Naja umso besser. Ansonsten haette ich die Summe in zwei Teil-
Summen aufgespalten und dann quasi den Mittelwert berechnet.
Moment kann ich aus dem Sachverhalt noch etwas folgern ?
Ja :-)
Es muss gelten :
ln|a*(1-2y1A)| = ln|a*(1-2y1B)|
Uuuups werde schon wieder muede. Schade.
Ich wollte doch noch beweisen, dass fuer a>1+sqrt(6) Der LE ueber
die Anfangswerte nicht konstant sein kann !
Das waere eine Aussage mit ziemlich weitreichenden Folgen.
Bild B zeigt eigentlich schon, dass diese Aussage zutreffend sein muss.
Ich hab mir dazu etwas sehr heimtueckisches mit y0i ausgedacht.
Ok im naechsten Beitrag.
Kurz der Gedankengang.
y0i ist invariant. Damit laesst sich fuer alle a der Ljapunov Exponent
fuer y0i nach meinem 1 ten Ljapunov Attraktoren Satz berechnen.
Der theoretische LE von y0i ist die gruene Kurve in Bild B.
Wenn der LE nun stets unabhaengig von x0 waere. also LE(x0)=constant,
so koennte ich den LE(x0) ganz locker fuer alle a ueber LE(x0i) berechnen.
Der LE(x0,a) waere also ganz einfach die Funktion ln|2-a)|
Und fuer y0i ist der LE theoretisch auch ganz einfach ln|2-a)|.
Aber fuer sehr viele andere, die meisten, Anfangswerte ist der LE eine
ziemlich komplizierte Funktion. Daraus folgt doch unmittelbar, dass der
LE ueber x0 fuer a>1+sqrt(6) keine konstante Funktion sein kann !
Die Bilder C und D zeigen den LE fuer a=3.0 und a=3.01

Noch was zu meiner Person.
Ich sehe leider aus wie ein Idiot.
Hochdeutsch kann ich auch nicht. Ich lebe in Sueddeutschland, in Baden.
Mein englisch ist wohl besser als mein hochdeutsch :-)
Ich habe einige Kumpels, die mich schaetzen, weil ich ein recht guter Musiker bin. Ansonsten weiss ich, dass meine Bekannten, mal
abgesehen von der Musik, mich eher als Idioten einschaetzen.
Ach der richy, super Musiker, aber IQ unter 50.
Das tut mir echt weh. Ich bin kein Idiot. Ich hab auch nen IQ von 100
wie alle anderen normalen Leute.
Vielleicht sogar ein bischen mehr. (habs mal getestet 110 :-)
ciao
richy
korrektur
Re: vorschlag für ein thema
27. March 2003 05:05
statt .... Bild B zeigt den Ljapunov ueber die x0 fuer a=3.0
..............Bild C zeigt den Ljapunov ueber die x0 fuer a=3.0
an der Stelle auch eher uninteressant
richy
Re: vorschlag für ein thema
27. March 2003 16:36
Hallo Konrad
.... noch ne Korrektur
Ich glotze gerade auf Bild B. Die gruene Kurve ist also der LE von y0i.
Oh je ich weiss dass diese Verhust Gleichung einem verrueckt machen kann. Also ein Teil des letzten Beitrags war falsch. Bei der ersten Periodennverdopplung also fuer a>3 stimmen gruene und rote Kurve ja schon nicht ueberein. Ich hab 2 und 3 verwechselt. Mein IQ reicht eben doch nur bis eins plus wurzel sechs :-)
ln|a*(1-2y1A)| = ln|a*(1-2y1B)| muss also nicht gelten.
Ich muss das ganze also noch berechnen.
So ist es ja noch interessanter. Fuer a>3 ist der LE von yoi positiv !
Alle anderen Werte werden durch die Periodenverdoppelung wieder in
die Ordnung gezogen.
HiHi stell Dir vor wir sagen allen Facharbeitern hier, dass sie stets (a-1)/a
als Anfangswert verwenden sollen.
Das gaebe ein Chaos an den Schulen :-)
Hmm tatsaechlich. Auch in der Simulation ergibt Le(y0i) die gruene Kurve.
ciao
richy
richy
Re: vorschlag für ein thema
27. March 2003 19:54
Ljapunov fuer 2 er Zyklus
Ansatz le=0.5*ln|a*(1-2ya)|+0.5*ln|a*(1-2yb)|
ya=(1/2*a+1/2+1/2*(a^2-2*a-3)^(1/2))/a
yb=(1/2*a+1/2-1/2*(a^2-2*a-3)^(1/2))/a

Bild im Anhang
Re: vorschlag für ein thema
28. March 2003 00:02
Je länger ich ier mitmache je angefressener werde ich. Habe mir nun die an andere Stelle empfohlenen Bücher

Chaos - Bausteine der Ordnung
Bausteine des Chaos - Fraktale

besorgt und werde mich erst mal schlau machen.

In dem ersten habe ich bereits en Pendant zu unsere Rippen entdeckt. Die Autoren dort machen folgendes Experiment:

gehe alle Startwerte von 1/600 bis 599/600 durch und iteriere so lange, bis dass die Werte den Endwerten sehr nahe gekommen sind.
Trage über der x-Achse = Startwerte die anzahl erfoderlicher Iterationen ein.

Es ergibt sich ein Höhenprofil, dass in der Nähe der Repulsoren (das sind die Stellen, welche direkt zu unserem Freund yoi, anstatt zu den Attraktoren führen) Spitzen aufweist. Genau da wo der Ferrai seine Rippen hat. Logisch, hatte ich mittlerweile schon heraus gefunden, dass an diesen Stellen die Itertion sehr "zäh" verläuft.

In dem Buch fand ich auch den Begriff des Superattraktiven Falls. Nein das ist nichts frauenfeindliches. Einer dieser Fälle liegt bei a=2 und wenn Du auf Deine Lyupanov Kurve schaust, siehst Du , dass genau bei a=2 die Kurve ein Sehr steile Spitze nach unten hat. Das Absolute Gegenteil von Chaos also, ein Fall der so schnell iteriert, dass man das noch mit dem Zählrahmen hinkriegt. Wow.

So nun noch etwas zu Deiner Lyapunov Theorie. Ich tu mich ehrlich etwas schwer (trotz IQ>100) deinen Ausführungen zu folgen.

So wie ich das verstehe, beweist Du, dass in diesen Rippen tatsächlich Chaos herrscht, weil L positiv wird. Hmm. Zu dem Schluss bin ich auf anderem Wege ja auch gekommen. Aber genau wie auch ich revidieren musste, dass das chaotische Verhalten mit der Anzahl der Iterationen abnimmt, so wirst Du das möglicherweise auch für den Lyupanov Exponenten tun müssen.

Lass mich das erklären:
Ich hab nun verstanden, dass für den Mittelwert eine Steigung (erste Ableitung der Funktion) verwendet wird.
Absolutwerte der Steigungen kleiner 1 tragen negativ, solche grösser 1 positiv zu LE bei. Wobei die Steigungen kleiner 1 sehr viel stärker gewichtet werden. (das macht der Logarithmus aus)
Man sucht eigentlich den Wert gegen den LE im Unendlichen strebt, aber mangels Zeit nimmt man einfach eine diskrete Anzahl Iterationen.
Ob in dieser begrenzten Anzahl Iterationen das Verhältnis von Steigungen kleiner 1 und solcher grösser 1 das gleiche ist wie in der unendliche Anzahl ist leider leider nicht bekannt.
Und einige wenige negative Werte versauen eine lange Reihe von Positiven. Positiv bedeutet aber CHAOS. Wenn man also nur eine begrenzte Reihe betrachtet, so könnte man Ordung feststellen, wo langfristig Chaos herrscht.
Da ist was Philosophisches dran. Man könnte sogar so weit gehen zu behaupten, dass jedes System chaotisch wird, wenn man nur lange genug wartet. Unsere Planetenbahnen z.B. sind für die nächsten 100000 Jahre stabil, darüber hinaus lassen sie sich aber nicht mehr voraussagen (chaotisches Verhalten)

aber zurück zu LE und den Rippen. Die Rippen entstehen ja genau dadurch, dass zwei sehr ähnliche Startwerte bei den von mir gewählten 60-100 Iterationen zu sehr unterschiedlichen Ergebnissen führen.
Also MUSS LE für diese Anzal Iterationen positiv werden.
Der Punkt ist, dass nach unendlich vielen Iterationen die Endwerte identisch sind. Also ist der limes des LE letzendlich auch negativ.

Ja und genau damit bin ich in eine Excel Tabelle rein (Ich arbeite mit allen Tricks) und..... Bei a = 3,01 und einem Startwert von 0,333333 ist LE für die ersten 500 Iterationen positiv ! Bei einem Startwert 0,5 ist Le sofort negativ, und bei einem von 0,332226 (das ist beinahe 1/a also ein Repulsor) dauert es sagenhafte 2000 Iterationen bis LE negativ wird. Wobei die ersten 1000 Iterationen LE KONSTANT 1 bleibt, bevor er sich entschliesst nach unten abzubiegen.

Zu meiner Person:
äh nöö, ich muss nicht öffentlich die Hose runterlassen.
Wer mehr von mir wissen will darf gerne per E-Mail Kontakt mit mir aufnehmen.

Gruss
Konrad