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Fibonacci- Folge

geschrieben von Raven 
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Fibonacci- Folge
05. November 2005 19:33
Hallo!!!
Ich muss leider dieses Jahr eine Facharbeit schreiben und habe mir das Fach Mathe ausgesucht. Ich habe mir auch schon ein Thema ausgesucht, und zwar wollte ich über die Fibonacci Folge schreiben. Daher wollte ich fragen ob jemand mir Tipps zu dem Thema geben kann und Literatursachen. Ich würde mich sehr freuen!!!
Bis dann!!!
Raven
samuel
Re: Fibonacci- Folge
14. November 2005 20:20
Versuchs mal hiermit:
http://www.mathekiste.de/fibonacci/inhalt.htm
Re: Fibonacci- Folge
15. November 2005 16:26
Hey! Danke. Da ist auf alle Fälle was gutes bei!!!
Re: Fibonacci- Folge
17. November 2005 11:25
Hi
Wollte schon frueher etwas zu diesem Thread schreiben, denn die Fibonacci Zahlen sind einer meiner mathematischen Favoriten.
Musste mich in letzter Zeit aber auch bischen um mein Seelenleben kuemmern :-)

FIBANOCCI ZAHLEN:... wie man hier nachlesen kann
http://de.wikipedia.org/wiki/Fibonacci-Folge
... sind die Fibonacci Zahlen schon seit 1200, also bestens bekannt. Es gibt Unmengen an Informationen darueber im Internet.

Als eine der auffaelligsten Eigenschaften und wohl auch der direkteste Zusammenhang zur Chaostheorie, wuerde ich folgende nennen.

Der Quotient zweier aufeinanderfolgender Fibonacci Zahlen naehert sich fuer grosse Fib-Zahlen dem goldenen Schnitt g=(1+sqrt(5))/2
limit (n gegen infinit, Fib(n)/Fib(n+1) = (1+sqrt(5))/2)
Und der goldene Schnitt ist als irrationalste aller Zahlen, als Anti Periodizitaet, Gegenspieler zu den natuerlichen Zahlen, Chaot , allgegenwaertig in der Chaostheorie und auch in der Natur.

Es gibt sicherlich einige relativ einfache Methoden um diesen Grenzwert herzuleiten, z.B. ueber eine Kettenbruchentwicklung. Vor ein paar Monaten hab ich
mal folgenden Weg gewaehlt, der auch recht interessant ist.
Allerdings benoetigt man dazu etwas mehr als Schulmathematik, naemlich die Z-Integraltransformation, ein beliebtes Hilfsmittel bei den Ingenieuren, sowie Partialbruchzerlegung.
Wen das abschreckt, der kann sich ja auch nur die Loesung anschauen, die im Prinzip der Formel von Binet entspricht. Diese jedoch mal auch in den komplexen Zahlen betrachtet und schliesslich auch eine sehr schoene Grafik fuer die Fib Zahln in der komplexen Zahlenebene liefert.

Grob die Vorgehensweise :
Die Fib Reihe stellt eine lineare ! Differenzengleichung 2 ten Grades dar.

f(k+2)=f(k+1)+f(k); f(0)=f(1)=1;
********************************
Linear ! d.h. diese Differenzengleichung ist analytisch loesbar.
Dies heisst wiederum, dass anstatt der iterativen Gleichung sich ein geschlossener Ausdruck angeben laesst, der die Differenzengleichung loest.
Zuer Loesung habe ich die Z Transformation benuetzt, koennte man auch mit einem
Exponentialansatz loesen.
Es ist einsichtig, dass durch die Loesung schliesslich auch ein Ausdruck vorliegt, der die Fib Zahlen nicht nur auf die natuerliche Zahlen besachraenkt.

********************************************
Z TRANSFORMATION, SCHWIERIGER TEIL
********************************************

f(k+2)=f(k+1)+f(k); f(0)=f(1)=1;

Das ist eine lineare Differenzengleichung 2 ter Ordnung.
Diese laesst sich mittels Z-Transformation loesen !
Loesungsskizze:
Verschiebungssatz bei einseitiger Z-Transformation:
Z{x(k+1)}=z**i - summe(j=0..i-1, x(j) * z**(i-j)
In die Summe gehen die Anfangswerte ein.
Wir erhalten im Z-Bereich somit:
z**2*F(z)-z**2*f0-z*f1=z*F(z)-f0*z+F(z)
F(z)=z**2/(z**2-z-1)*f0 + z/(z**2-z-1)*(f1-f0) mit f1-f0=1-1=0
Derjenige der mit dem goldenen Schnitt vertraut ist, sieht jetzt schon in welchem Ausdruck dieser vorkommt:
(z**2-z-1) hat die Nullstellen (1+sqrt(5))/2 sowie (1-sqrt(5))/2
Nennen wir diese g (1.618...) sowie g*(-0.618..)
(z**2-z-1)=(z-g)*(z-g*) (g=Theta+1, g*=-Theta)
Fuer die Ruecktransformation fuehren wir eine Parzialbruchzerlegung durch: Praktischerweise klammert man dazu ein z im Zaehler aus:
z*(z/((z-g)*(z-g*))=z* r0/(z-g) + z*r1/(z-g*)
.... etwas Grenzwertbetrachtung und man erhaelt:
r0=(sqrt(5)+1)/2/sqrt(5) sowie r1=(sqrt(5)-1)/2/sqrt(5)
somit und unter f0=1:
F(z)=r0*z/(z-g) + r1*z/(z-g*)
RUECKTRANSFORMATION : aus Tabelle: Z_invers{z/(z-a)}=a**k

********************************************
ENDE Z TRANSFORMATION
********************************************
LOESUNG: (Formel von Binet)

fib(k)=r0*g**k + r1*(g*)**k
***************************
ausgeschrieben:
Voila das ist die Fibonacci-Funktion :-)

fib(k)=
(sqrt(5)+1)/2/sqrt(5)*((1+sqrt(5))/2)**k +
(sqrt(5)-1)/2/sqrt(5)*((1-sqrt(5))/2)**k
***************************************

Bin gerade dabei die Loesung bissel naeher zu betrachten.
Vor allem die Eigenschaft Theta+1=1/Theta auszunuetzen.
Der zweite Summand oszilliert wegen (-1)**k
***************************************
NAEHERUNG !
***************************************
Fuer grosse Werte strebt er auch gegen Null.
Es bleibt r0*g**k.
Dann ist alles easy. Z.b. auch folgendes leicht zu erklaeren:

Bildet man die Bekannte Form limit k-> infinit fib(k+1)/fib(k)
so erhaelt man
r0*g**(k+1) / r0*g**(k) = g = goldener Schnitt ! :-)
Eigentlich THETA+1

********************************************
FORMEL VON BINET ERZEUGT KOMPLEXE ZAHLEN
********************************************

Noch ne vereinfachte Schreibweise
fib(k')=g/sqrt(5)*g**k'-g*/sqrt(5)*(g*)**k' mit k=k'+1
theta sei 0,681 dann gilt 1/theta=1+theata
fib=1/sqrt(5) * (theta**(-k) - (-1)**k * theta**k

Auch hier sieht man wieder , dass die Fibanocci Zahlen eigentlich nichts weiter sind als Potenzen von Theta.

Eine kleine komplexe Schwingung korrigiert die Theta Potenzen, so dass diese zu ganzen Zahlen werden.
Ing Schreibweise mit Exponentialfunktion:
(gt = theta =0.681 ...)
fib=1/sqrt(5)*( exp(-k*ln(gt)) - exp(k*ln(-gt)) )
*******************************************************
Der ln() aus einer negativer Zahl ist komplexwertig !
*******************************************************
fib=1/sqrt(5)*( exp(-k*ln(gt)) - exp(k*ln(gt)+j*PI) )
.... bischen rechnen

Die Fibonacci Funktion ist komplex !

*******************************************
Realteil:
1/sqrt(5)*( exp(-k*ln(gt)) - exp(k*ln(gt)*cos(k*PI) ) )
Imaginaerteil:
- 1/sqrt(5)*exp(k*ln(gt)*sin(k*PI) )
*******************************************

********************************************
DARSTELLUNG IN DER KOMPLEXEN EBENE
********************************************

Die Funktion habe ich mal in der komplexen Ebene parametrisch dargestellt. Dreht der Big Boss Schleifchen ? :-)
Wirklich erstaunlich :-)))
http://home.arcor.de/richardon/fibspirale.gif

Von den neg. Zahlen herkommend dreht sich die Funktion an den Nullpunkt. Bemerkenswert wie die 1 1 durch ein Schleifchen generiert wird :-) Die Spirale entsteht durch eine Phasenschiebung zwischen Real und Imaginaerteil. Im pos Bereich nimmt die Frequenz des Realteils dann natuerlich kontinuierlich ab.

Einen Teil der Rechnerei kann man sich natuerlich auch sparen, indem man einfach die Formel von Binet in die Differenzengleichung einsetzt um zu zeigen dass diese eine Loesung darstellt. Waere vielleicht recht Interessante Sache fuer die Schule.

Ciao
richy




36-mal bearbeitet. Zuletzt am 30.11.05 12:34.
Re: Fibonacci- Folge
29. November 2005 18:25
Hey!!!
Wow da muss ich mich erst noch etwas reinarbeiten. Da hab ich noch nicht wirklich viel verstanden! Trotzdem Danke!!!
Liebe Grüße
Raven
Re: Fibonacci- Folge
29. November 2005 20:12
hi Raven
Mein letzter Thread stellt die Herleitung der Formel von Binet mittels Z-Transformation dar. Das ist keine Schulmathematik mehr, also auch nicht so einfach nachzuvollziehen. Wuerde ich mir nicht antun :-)
Ich habe die schwierigen Stellen im vorherigen Thread, die man ueberspringen kann, nachtraeglich gekennzeichnet.

(Mit einem Exponentialansatz y(n)=A*exp(a*n)+B*exp(b*n), mit dem man in die Differenzengleichung eingeht erhaelt man evtl. auch die Formel von Binet.
(Einfacher als mittels Z Transformation.)

Was ist die Formel von Binet ?
http://de.wikipedia.org/wiki/Fibonacci-Folge#Formel_von_Binet

Das ist die analytische der Loesung der Differenzengleichung, die die Fibonacci Folge erzeugt. Setzt man ganze Zahlen in die Formel von Binet ein, so erhaelt man als Funktionswert eben die Werte der Fibonacci Folge. Jedoch ist die Formel von Binet nicht nur auf die natuerliche Zahlen beschraenkt. Es lassen sich mit der Formel daher auch Zwischenwerte der Fibonacci Folge ermitteln.

Allerdings wird dir dein Taschenrechner dabei eine Fehlermeldung liefern.
Warum das ?
Im 2 ten Term der Formel von Binet ist die Basis negativ:
(1-Wurzel(5))/2 = -0.618...
Setzt du jetzt als Exponent keine natuerliche Zahl ein, so wird der Ausdruck zunaechst undefiniert. Am Beispiel n=0.5 =1/2 wird dies am deutlichsten:
-0.618 ^ 0.5 = Wurzel(-0.681...)
oder n=1.5= 3/2
-0.618 ^ 1.5 = Wurzel(-0.681^3...)

Der 2 te Term erfordert den Definitionsbereich auf die komplexen Zahlen zu erweitern. Im vorherigen Thread habe ich das mal konsequent durchgerechnet und es ergibt sich diese Spirale fuer die Formel von Binet.

Nun sind die komplexen Zahlen aber auch nicht sooo gelauefig. Obwohl sie eigentlich kein Hexenwerk darstellen. Glaube kein Schulstoff. Der komplexe Term in der Gleichung konvergiert jedoch auch sehr schnell gegen NULL. limit (-1)^n * 0.681..^n, n gegen unendlich = 0
In der "Fibspirale" sieht man dies auch sehr schoen, dass der Imaginaertei fuer n>0 mit zunehmendem n immer kleiner wird.
http://home.arcor.de/richardon/fibspirale.gif
Die Fibonacci Zahlen in der Grafik erhaeltst du dort, wo die Kurve die reelle Achse schneidet.Auch bemerkenswert BTW Das Schleifchen da finde ich lustig. Es erzeugt die doppelte eins. 0 1 1 2 3 ..


Dies nutzt die auch bei Wikepedia angegebene Naeherungsformel aus.
Sie laesst den 2 ten Term einfach weg.
Man kommt nun ohne komplexe Zahlen aus !
http://de.wikipedia.org/wiki/Fibonacci-Folge#N.C3.A4herungsformel_f.C3.BCr_gro.C3.9Fe_n

Und aus ihr kannst du fast unmittelbar ablesen, dass der Quotient zweier aufeinanderfolgender Fib Zahlen fuer n gegen Unendlich gegen den golgenen Schnitt konvergiert.

Und das ist eben auch der Liebling der Chaosforscher :-)

Hoffe mein Thread wird jetzt bischen verstaedndlicher.
ciao
richy




7-mal bearbeitet. Zuletzt am 30.11.05 12:29.
Re: Fibonacci- Folge
17. December 2005 20:09
es gib noch eine sehr interessante Folge:

Die Formel x = Phi^n + (-1/Phi)^n ergibt die folgende Zahlenfolge

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123

Diese Zahlenfolge kann man auch erzeugen, wenn man die beiden ersten beiden Glieder für x (1 und 3) als gemeinsame Anfangsglieder voraussetzt und anschließend addiert. Der neue Wert lautet 4. Das heißt, dass ab dem 3. Glied alle neuen Werte durch Addition beider vorhergehender Glieder entstehen: xn = xn-1 + xn-2 (für n gleich/größer 3). Das Erstaunliche ist jedoch, dass diese Zahlenfolge durch die Potenzen der irrationalen Zahl Phi entsteht, wobei die reziproke Potenz von Phi bei geraden n addiert und bei ungeraden n subtrahiert wird.
Der Sinn dieser Zahlenfolge liegt darin, dass analog der Fibanocci-Seqenz der Quotient von xn/xn-1 sich dem Wert von Phi nähert. In dieser Folge tritt eine schnellere Annäherung an Phi ein als bei der Fibanocci-Sequenz!

Tschüß - Axel
Re: Fibonacci- Folge
19. December 2005 23:56
Hallo Axel

Vielen Dank fuer deine interessante Anregung. Die Funktion:
1) x = Phi^n + (-1/Phi)^n ist ja von sehr aehnlicher Form wie die Fibonacci Reihe:
2) fib(k)=r0*g^k + r1*(g*)^*k

Vergleich der beiden Funktionen:
********************************
Meinst du mit Phi 1.681... oder 0.681 ?
Hab mal paar Funktionswerte fuer Gleichung 1) ermittelt.
Ok, Phi=(1+sqrt(5))/2=1.681 ... Es ensprich also meiner Konstanten g
Meine Konstante g* hat den Zahlenwert (1-sqrt(5))= -0.681 ...
Nun hat Phi die besondere Eigenschaft Phi-1=1/Phi
so dass unsere beiden Gleichungen der selben allgemeinen Form entsprechen:

y(n,r0,r1)=r0*Phi^n + r1*(-1/Phi)^n
mit Phi 1.681..
fuer r0=r1=1 ergibt sich Gleichung 1)
fuer r0=Phi/sqrt(5), r1=1/(Phi+sqrt(5)) ergibt sich 2), die Fibonacci Reihe

Die Konstanten r0 und r1 werden durch die Anfangswerte bestimmt, die in der
Differenzengleichung xn = xn-1 + xn-2 gewaehlt werden.

*****************************************************************************
Deine Folge entspricht also der selben Differenzengleichung wie die Fibonacci Reihe, jedoch mit anderen Anfangswerten.
*****************************************************************************

Gibt es noch andere solcher Folgen ? Klar, fuer jedes Paar von Anfangswerten
x(n=-1),x(n=-2) ergibt sich eine andere geschlossene Loesungsform.
Ok, dann lass uns doch mal die Differenzengleichung xn = xn-1 + xn-2 allgemein
fuer alle moeglichen Anfangswerte x(n=-1)=A1, x(n=-2)=A2 loesen ! :-)
Ist doch ne schoen Aufgabe fuer so nen langen Winterabend in der Adventszeit.

Ok lets go :-)
**************
Die Differenzengleichung habe ich im obigen Thread schon mittels Z-Transformation
fuer A1=A2=1, also die Fibonacci Folge geloest. Dabei auch angesprochen, dass dies
auch mittels einem einfacheren Hilfsmittel, dem Exponentialansatz moeglich sein sollte. Ok versuchen es wir mal damit:

******************************************************
LOESUNG DER FIBONACCI FOLGE MITTELS EXPONENTIALANSATZ
******************************************************

Die Aufgabenstellung etwas umformuliuert:
3) x(n+2) = x(n+1) + x(n); x(1)=A1, x(0)=A0
Wir suchen eine Loesung dieser Differenzengleichung. Als Hilfsmittel bedienen wir uns einem Exponentialansatz. D.h. wir nehmen einfach einmal an, dass die Loesung allgemein einer Form
4) x(n)=r0*a^n + r1*b^n entspricht.
************************
Also eigentlich ein Potenzansatz.

Unsere Aufgabe waere dann geloest, wenn wir die Parameter r0,r1,a,b so einstellen koennen, dass sie der Differenzengleichung 3) genuegen.
Wir benoetigen dazu 4 linear unabhaengige Gleichungen
Dazu setzten wir die Werte n=0..3 in den Ansatz 4) ein:

n0) n=0: x(0)=r0 +r1 =A0
n1) n=1: x(1)=r0*a +r1*b =A1
n2) n=2: x(2)=r0*a^2+r1*b^2
n3) n=3: x(3)=r0*a^3+r1*b^3

x(2) in Gleichung n2) koennen wir ueber die Differenzengleichung x(2)=x(0)+x(1)
ausdruecken:
n2) n=2: x(2)=r0*a^2+r1*b^2=A0+A1

x(3) in Gleichung n3) koennen wir ueber die Differenzengleichung x(3)=x(1)+x(2)
ausdruecken, wobei wir x(2) wiederum durch x(0)+x1 ersetzen:
x(3)=x(1)+x(0)+x(1)=x(0)+2*x(1)
n3) n=3: x(3)=r0*a^3+r1*b^3 = A0+2*A1

Damit erhalten wir folgendes nichtleares Gleichungssystem:
r0 +r1 = A0
r0*a +r1*b = A1
r0*a^2+r1*b^2 = A0+A1
r0*a^3+r1*b^3 = A0+2*A1

Das ganze tippen wir in ein analytisches Mathematikprogramm ein.
Naja und sehen morgen mal was dabei herauskommt :-)

ciao und gute Nacht
richy




1-mal bearbeitet. Zuletzt am 20.12.05 16:42.
Re: Fibonacci- Folge
20. December 2005 17:18
rehi
**********************************************
Loesung der Gleichung
x(n+2) = x(n+1) + x(n);
fuer beliebige Anfangswerte x(1)=A1, x(0)=A0
**********************************************

Die Loesung des Gleichungssystems meines letzten Threads habe ich dem Mathematikprogramm Maple ueberlassen.
r0 +r1 = A0
r0*a +r1*b = A1
r0*a^2+r1*b^2 = A0+A1
r0*a^3+r1*b^3 = A0+2*A1

Es existieren zwei Loesungssaetze,
da a die Bedingung a^2-a-1=0 erfuellen muss.

Die Loesung a=(1+sqrt(5))/2 fuehrt auf:
****************************************
x(n)=r0*a^n + r1*b^n
mit
a=(1+sqrt(5))/2 = Phi
b:=-(2*A0*5^(1/2)-5*A1+5^(1/2)*A1)/(5*A0+A0*5^(1/2)-2*5^(1/2)*A1) ... =-1/Phi;
r0=1/2*A0-1/10*A0*5^(1/2)+1/5*5^(1/2)*A1;
r1=1/2*A0+1/10*A0*5^(1/2)-1/5*5^(1/2)*A1;

Die Loesung a=(1-sqrt(5))/2 fuehrt auf:
****************************************
x(n)=r0*a^n + r1*b^n
mit
a*=(1-sqrt(5))/2 = -1/Phi
b*=-(2*5^(1/2)*A0+5^(1/2)*A1+5*A1)/(-5*A0-2*5^(1/2)*A1+5^(1/2)*A0) ... = Phi
r0* = 1/2*A0+1/10*5^(1/2)*A0-1/5*5^(1/2)*A1
r1* = 1/2*A0-1/10*5^(1/2)*A0+1/5*5^(1/2)*A1
****************************************

Man sieht, dass gilt: r0=r1* sowie r1=r0*
Damit sind die beiden Loesungen identisch:
******************************
x(n)=r0*Phi^n + r1*(-1/Phi)^n
r0=1/2*A0-1/10*A0*5^(1/2)+1/5*5^(1/2)*A1;
r1=1/2*A0+1/10*A0*5^(1/2)-1/5*5^(1/2)*A1;
Phi=(1+sqrt(5))/2
*****************************************
Ich denke hier gibt es noch weitere interessante Zusammenhaenge
ciao
richy




1-mal bearbeitet. Zuletzt am 20.12.05 20:20.
Re: Fibonacci- Folge
20. December 2005 20:56
rehi
***********************************************************************
Loesung der Fibanocci Gleichung fuer beliebige Anfangswerte A0,A1 mit
vereinfachtem Potenzansatz:
***********************************************************************
Das nichtlineare Gleichungssystem des letzten Threads war nicht einfach zu loesen.
Hier mal ein einfacherer Loesungsansatz:
x(n)=r0*Phi^n + r1*(-1/Phi)^n
Phi=(1+sqrt(5))/2

Es muessen jetzt nur noch r0 und r1 bestimmt werden:

n0) n=0: x(0)=r0 +r1 =A0
n1) n=1: x(1)=r0*Phi-r1/Phi =A1

Das Gleichungssystem laesst sich von Hand z.B. mit der Cramerschen Regel, oder auch durch einsetzen loesen:

********************************
x(n)=r0*Phi^n + r1*(-1/Phi)^n
r0=(a1*Phi+a0)/(Phi^2+1);
r1= Phi*(Phi*a0-a1)/(Phi^2+1);
Phi=(1+sqrt(5))/2
********************************



2-mal bearbeitet. Zuletzt am 20.12.05 22:11.
Re: Fibonacci- Folge
21. December 2005 00:48
Spielereien mit der allgemeinen Fibonacci Funktion
***************************************************

Warum stellt die Fibonacci Folge mit a0=a1=1 eine Sonderstellung dar ?
Dies zeigt die verkettete Uebertragungsfunktion:
f[2] := a1 + a0
f[3] := 2 a1 + a0
f[4] := 3 a1 + 2a0
f[5] := 5 a1 + 3a0
f[6] := 8 a1 + 5a0
f[7] := 13a1 + 8a0
...
f[n] := k1*a1+k0*a0

Die Faktoren k1 und k2 selbst stellen unabhaengig von den Anfangswerten Fibonacci Folgen dar !
k1=fib(n-1) k0=fib(n-2)
f(n) := fib(n-1)*a1 + fib(n-2)*a0

Egal welche Anfangswerte a0 a1 ich waehle. Die resultierende Reihe wird aus der Ueberlagerung zweier verschobener Fibonacci Folgen gebildet, die mit den Faktoren a0 und a1 gewichtet sind !

Beispiel anhand Axels Folge:
n=0 1 2 3 4 5 6
x=1 3 4 7 11 18 29

a0=1,a1=3

x[1] := 1*3 +0*1=3
x[2] := 1*3 +1*1=4
x[3] := 2*3 +1*1=7
x[4] := 3*3 +2*1=11
x[5] := 5*3 +3*1=18
x[6] := 8*3 +5*1=29
...