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Chaos-Facharbeit => Chaos bei mir!

geschrieben von Katharina 
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Hallo erstmal!

Nein, so schlimm wie im Betreff angegeben, ist es nun doch wieder nicht...
:-)

Wie ja auch schon einige, die vor mir einen Beitrag in diese Richtung geleistet haben, muss ich eine Facharbeit im Mathe-LK Klasse 12 verfassen. Sie soll vom Unfang her auf ca 15 Seiten + Anhang kommen.
Ich hab mich gleich von Anfang an für das Thema Chaos-Theorie interessiert und habe nun folgende konkrete Aufgabenstellung bekommen:

Von der Ordnung ins Chaos

Darstellung des quadratischen Iterators - Feigenbaumdiagramm
Beispiele für chaotisches Verhalten dynamischer Systeme

Material habe ich genug gesammelt (habe ich jedenfalls das Gefühl), den für mich relevanten Teil von "Die Entdeckung des Chaos - Eine Reise durch die Chaostheorie" auch schon durchgelesen.

Meine Frage ist nun, d.h. eigentlich suche ich eher Anregungen, wie ich die Gliederung gestalten kann. Also was darf bei diesem Thema auf keinen Fall unterschlagen werden und was sprengt eher den Rahmen?
Ist mit dem Feigenbaumdiagramm eigentlich das Periodenverdopplungsdiagramm gemeint?
Kennt ihr irgendwelche spektakuläre dynamische Systeme mit Chaos? (Sorry wegen der Formulierung ;-) )

Außerdem ist uns zur Auflage gemacht worden, dass unser Taschenrechner, der TI-89, nicht zu kurz kommen soll, da wir auch im Unterricht mit ihm arbeiten. Kennt sich vielleicht jemand mit der Anwendung aus und kann mir ein paar Tipps geben? An welchen Stellen könnte ich ihn denn einsetzen (Außer bei der quadratischen Iteration und damit dem Periodenverdopplungsdiagramm)?

So, das war's erstmal!
Würde mich wirklich sehr über Vorschläge freuen!!

Liebe Grüße,
Katharina
Hallo Katharina,


endlich mal eine etwas ausführlichere Vorstellung des eigenen Themas :) Mich würde aber noch einmal interessieren, ob Du wirklich "nur" über die Chaostheorie im Allgemeinen oder doch eher über ein spezielles Gebiet aus ihr berichten sollst? In Deinem Fall denke ich da an mathematische Phänomene.

Den TI-89 kenne ich, glaube ich, noch. Ich habe auf meinem Casio zu Schulzeiten ein Sierpinski-Dreieck programmiert - eines der einfachsten Fraktale. Das solltest Du auch recht einfach hinkriegen. Spannend wäre natürlich eine Bifurkationskurve oder gar ein Apfelmännchen. Ich nehme an, der TI-89 kann mit komplexen Zahlen umgehen?


Gryße,


ccm :o)
Ja, ich denke mal, ich werde eher auf mathematische Phänomene eingehen, da ich mit 15 Seiten Umfang ja auch nur seeeeeehr begrenzt Platz zur Verfügung habe.
Fraktale werd ich wohl auch ganz rauslassen (müssen) und mich eben speziell auf quadratische Iteration konzentrieren. Aber wie kann ich denn z.B. das Periodenverdopplungsdiagramm in den TI einprogrammieren?

LG, Katharina
hallo
kenne den ti 89 nicht.
Wahrscheinlich wrst du die logistische Abbildung (verhulst)
y(k+1)=a*y(k)*(1-y(k)) verwenden.
Fuer dieses Periodendiagramm musst du die "Atraktoren" fuer einige a Werte ermitteln. Du benoetigst also eine Schleife ueber de Parameter a.
Wichtig ist !
Die Iteration benoetigt eine gewisse Zeit um sich an die Attraktoren einzupendeln. D.h. so etwa 100 bis 200 Iterationen rechnest du ohne
etwas ausdrudrucken, Dann druckst du die Iteratioswerte einfach aus

Beispiel in allg Sprache


for a=1 bis 4 step 0.05 ....... FUER EINIGE PARAMETER a

y=0.123 ............................... IRGENDEIN Beliebiger STARWERT
..............................................(y*a) darf nicht 1 sein

for i=1 bis 200...................... SCHLEIFE ZUM EINSCHWINGEN
y=a*y*(1-y) ........................ Iteration zum Einschwingen
end of i ........................ Ende dieser Schleife

(In y steht jetzt ein brauchbarer Startwert)

for i=1 bis 200...................... SCHLEIFE ZUM AUSDRUCKEN
y=a*y*(1-y) ........................ Iteration
drucke (a,y) ......................... Also y ueber a (range y=0..1 a=1..4)
end of i ........................ Ende dieser Schleife

end of a

das wars
80 mal 400 = 32000 Iterationen, weiss nicht wie lange der TI da braucht

ciao
richy
Hallo,
möchte Dich auch noch auf den Eintrag hier "Vorschlag für ein Thema" aufmerksam machen. Es geht da um die gleiche Funktion, nur habe ich noch einen dritten Parameter Startwert y0 eingeführt. Der Startwert ist nämlich NICHT egal (Richy schreibt z.B. a*y darf nicht 1 sein. )

Hmh, mein Vorschlag läuft auf eine 3dimensionale Funktion heraus. Ob Dein TI89 das packt?

Ich habe meinem Prog nur 60 Iterationen Vorlauf gegeben. Abhängig von a und vom Startwert reicht dies manchmal zum Einpendeln auf die Attraktoren, manchmal aber auch nicht.

Lässt man a von 1 bis 4 variieren, so bekommt man das ganze Feigenbäumchen, wie es meist in der Literatur auch dargestellt wird. Wie auch beim Mandelbrot ist es aber auch hier interessant Teilbereiche, vor allem im Bereich der Verzweigungen zu vergrössern.

Eines meiner Bilder habe ich gemacht mit a von 3,0 bis 3,08, yo von 0,011 bis 0,135 und dem Darstellungsbereich für y von 0,63 bis 0,75

Gruß
KM
richy
Re: Chaos-Facharbeit => Chaos bei mir!
18. March 2003 18:16
Hallo
Sorry die Angabe war falsch. y0 darf nicht eins sein, Damit auch nicht
y**2-y+1/a nicht 0. Fuer a<4 ist die Wurzel der LSG komplex, dh
jeder Startwert ok. Lediglich fuer a=4 darf y0 nicht 0.5 sein.
D.H. y0=0.123 geht in Ordnung.
@Konrad
Ich habe Deinen Thread gelesen. Aber was hat es mit D=y(k+1)-y(k) auf
sich ? D=0 wenn die Funktion konstant ist und D=const wenn die Funktion
zwische zwei Werten oszilliert. Ist doch nichts weiter als eine schlechte Approximation der Ableitung der Verhulst Gleichung.
Du hast aber recht. Fuer den nichtchaotischen Fall ist die LSG wahrscheinlich von y0 abhaengig. Aber Katharina will ja keine quantitative Aussage machen. Auch hier waere der Ljapuniov Koeffiziet eigentlich sinvoller. Dein 3D Experiment schau ich mir mal an. Klingt interessant.
Allerdings haben sich schon viele Leute an der Gleichung die faehne aufgefiffen :-) Du musst auch dran denke, dass bei solchen Gleichungen die eigentliche Form keine grosse Rolle mehr spielt. Verhulst gehoert wie Madelbrot einfach nur zum quadratischen Dialekt.
ciao
richy
Hallo Katharina,


in was für einer Sprache wird der TI89 denn programmiert? Ich habe ja gelesen, dass man ihn sogar zu Assembler überreden kann...


ccm.
Hallo
ich schreib in meinem Thread eine Antwort für Richy. Katharina haben wir wohl schon genug verwirrt.
Konrad
Das stimmt allerdings... :-(

Also mit Programmieren kenn ich mich ehrlich gesagt wirklich überhaupt nicht aus. D.h. ich weiß nicht mal, was für Sprachen es da überhaupt gibt.

An Richy: Wo muss ich denn das alles hinschreiben? ? ?
(Wahrscheinlich ist das eine der dümmsten Fragen, die ihr je gehört habt... Aber tut mir echt leid, ich bin damit total überfordert!)

Also wie kann ich denn z.B. am einfachsten ein Feigenbaumdiagramm erzeugen?

richy
Re: Chaos-Facharbeit =&gt; Chaos bei mir!
21. March 2003 12:51
Hallo Katharina

Dieser Pseudoprogrammcode war bereits die Anleitung wie man das Perioden/Feigenbaum Diagram erzeugt. Da du in Punkto programmieren
anscheinend Anfaengerin bist, wuerde ich erstmal als Uebung
eine iterative Gleichung zum Beispiel y(k+1)=1.5*y(k) programmieren
/ darzustellen. (Der Ti ist doch Grafikfaehig oder ?)
Du brauchst dafuer 3 Komponenten

1) eine Zaehlerschleife
2) ein bischen mathematische Befehle
3) Befehl zur graphische Ausgabe eines Punktes

Schau erst mal in der Bedienungsanleitung wie diese Befehle beim TI
aussehen und versuche die zu verstehen. Gibt es bestimmt Beispiele.
Wie es dann weiter geht koene Dir andere hier bestimmt besser erklaeren.

uuups dann ist mein Thread richy&konrad for nobelpreis wohl auch nicht
verstaendlich ? :-((((

@KONRAD ( Katharina bitte mal wegsehen :-)
Aber Du verstehst ihn sicherlich. Und ? :-) Der Attraktor ist also doch
voellig Unabhaengig vom Anfangswert !!!! Mit dem naechsten Beitrag
in dem Thread werde ich versuchen auch die Attraktoren fuer den
ersten periodischen Fall analytisch zu berechnen. Das geht gerade noch.
Polynom 4 ter Ordnung kann Maple locker loesen *g

ciao
richy
Hallo,
ja Richy, Du hast recht. Die Analyse beweist: Der eine Attraktor bei a < 0 und bei ganz bestimmten y0 Werten ist unabhängig vom Startwert.

Nach der Verzweigung die beiden alternierenden Werte sind ebenfalls unabhängig vom Startwert. Es sind die Schnittpunkte des Polynoms 4ten Grades welche angibt wie aus einem Wert der übernächste Wert gefunden wird mit der 45grad Linie

Aber gewisse Startwerte iterieren "zäher" als andere. Man muss in unmittelbarer Nähe des Attraktors sehr lange iterieren bis man weg vom Attraktor hin zu den alternierenden Werten kommt.

Darum heisst er ja Attraktor (anziehend). ;-)

Gruss
Konrad
Hallo Katharina,


ich habe mich mal ein wenig für Dich umgeschaut und kann Dir nur sehr [url]http://www.ti-89.org/[/url] empfehlen - hier findest Du ein paar Programme, die man auf dem TI89 laufen lassen kann und unter anderem ist das Sierpinski-Dreieck mit dabei: [url]http://www.ti-89.org/files/sierptri.zip[/url]

Vielleicht hilft Dir dieses Beispiel (das Du ja schon mit einsetzen kannst - auch in abgewandelter Form) dabei, eigene Programme zu schreiben.

Sollte Dir dieses Beispiel nicht helfen, schau Dich einfach mal in der Link-Abteilung auf der Seite um - ich bin mir sicher, Du findest dort etwas, was Dir weiterhilft.

Viel Erfolg und halt uns auf dem laufenden,


ccm .o)
Super, da guck ich mich dann morgen nochmal genauer um!
Danke schonmal!

Mir hat jemand auch noch nen Buchtipp gegeben- wie man speziell mit dem TI nach Chaos forscht. Da versprech ich mir auch einiges von. Mal sehen, wann das Buch ankommt, das kann man nämlich nur über so einen Lehrerversand bestellen...

Naja, dann gute Nacht! :-)
Katharina

Hallo Katharina,


lass uns doch wissen, wie das Buch heißt - vielleicht können wir ja damit jemand anderem irgendwann mal helfen :)


Gryße,

ccm :o)
So, ich meld mich auch mal wieder!

Komm bis jetzt eigentlich ganz gut mit der Facharbeit voran, würde mich aber trotzdem wieder mal über ein paar Tipps freuen...

Hat irgendwer gute Beispiele für chaotisches Verhalten dynamischer Systeme? Was ich am besten einfach auf 2-3 Seiten mit ner netten Abbildung erklären kann?

LG, Katharina
Puuuuhhhhhh....

FERTIG!!! Hab Freitag die Facharbeit abgegeben!
Mann, da is man vielleicht erleichtert.

Hab immer total vergessen, euch den Buchtitel zu nennen:

"Reimund Albers - Chaos erforschen mit dem TI-92/92+/Voyage200"

Das Buch kann ich echt nur jedem empfehlen, der mit dem TI (geht auch mit dem TI-89) arbeitet.
Magst Du uns denn die Facharbeit zum lesen überlassen? :o)