Mandelbrotmenge ist nur ein Rechenfehler !

Hallo Chaosfreunde

Zwar schon eine Weile her, dass ich mich mit dem Thema beschaeftigt habe. Aber an ein paar wichtige Aspekte, die ich bisher in keinem Lehrbuch gefunden habe, kann ich mich noch erinnern.

Die Mandelbrotmenge ist nur ein Rechenfehler ! ... soll natuerlich etwas provozieren, aber dies zu wiederlegen ist gar nicht so einfach, denke ich.
Also es geht um die Genauigkeit der Digitalrechner. Tippte man in den 80 ern in einen Taschenrecher Wurzel(2) und quadrierte das Ergebnis erhielt man meist 1.999998. Fuehrte man das mehrmals hintereinaner durch,
wurde das Ergebis natuerlich immer ungenauer. Heutige Rechner sind
natuerlich genauer, aber deshalb keinesfalls exakt !

Es gibt zwei Aspekte, warum die Madelbrotmege eigentlich nur ein einziger Rechefehler ist.

1) Die Mandelbrotmenge wird ja iterativ berechnet und in jedem Rechenschritt kummulieren die Rechefehler.
2) Die verwendete Differenzengleichung ist natuerlich nichtlinear und daher sehr "sensibel" gegenueber den Anfangswerten.

Beides zusammen bildet einen netten Sprengstoff :-)
Jeder Iterationsschritt erzeugt ja quasi neue Anfangswerte fuer den naechsten Iteratiosschritt. Und jeder dieser Iterationsschritte ist mit
einer Rechenungenauigkeit behaftet. Da eine nichtlineare Iteration
verwendet wird, fuehrt schon die kleinste Rechenungenauigkeit zu einem voellig "falschen" Ergebnis ! Falsch im Sinne gegenueber einem hypotetischen idealen Digitalrechner, den ich mal "deep thougt" nenne :-)

So was kann ja jeder behaupten ! Klar, aber ich habe mir auch ein einfaches Rechner-Experiment ausgedacht um praktisch zu ueberpruefen
ob diese Rechenungenauigkeit wirklich so signifikant ist.
Das ganze ist total simpel. Ich nehme irgendwelche Anfangswerte P1 in der komplexen Ebene, auf die ich einen Iterationsschritt fuer die Mandelbrotmege berechne. Auf das Ergebnis P2 fuehre
ich den inversen Rechenschritt aus. (wie beim Tascherechnerbeispiel)
Ich waehle zweckmaessig die Loesung, die mich wieder zu meinen
Anfangswerten P1 fuehrt.
Mit "deep thougt" wuerde man logischerweise als Simulationsergebnis
P1 P2 P1 P2 P1 P2 ... fuer alle Ewigkeit erhalten.
Und wie sieht das praktisch aus ? Die Optimisten von Euch werden vielleicht erwarten, dass im Laufe der Simulation die Rechenungenauigkeit dazu fuehrt, dass die Werte irgendwie um P1 P2 "verschmiert" werden.
Noeee so ist es aber praktisch nicht. Da hat Punkt 2) was dagegen.
Schon nach wenigen Iterationsschritten fuehrt die Recheungenauigkeit dazu, dass das Ergebnis wie wild durch die ganze komplexe Ebene huepft. Ganz schoene scheisse gell ? :-)

Fuer die Mandelbrotmenge wird ja ein diskreter Teil der komplexen Ebene
verwendet und das kovergenz/divergenz Verhalten getestet.
Nehmen wir mal an "deep thought" ist nach 500 Iterationsschritten fuer die Anfangswerte 0.1 + i*0.1 bei dem Wert 0.7123 + i*0.521 gelandet.
Welche Zahlenwerte nun Euer Rechner praktisch nach 500 Iterationen
ausspuckt ueberlasse ich Euch. Ich denke Ihr habt da freie Auswahl,
denn der Anfangswert 0.1 + i*0.1 ist da schon laengst in der Rechenungenauigkeit untergegangen !
Daher auch totaler Schwachsinn den Punkt P1=0.1 + i*0.1 nun mit irgedeiner Farbe zu versehen.

Wo liegt mein Denkfehler ? Als Vorwarnung, ich habe auch etwas von
der Mentalitaet von diesem Juergen. Die Gedanken, die ich mir selbst
erarbeite sind fuer mich wichtiger als irgendwelche Lehrbuchweisheiten.
Zu meiner Studienzeit (80er) war die Chaostheorie ein Schimpfwort.
Warum ? Ganz klar, weil die Herren Professoren da sich noch nicht
eingestehen konnten, dass gewisse Gleichungen analytisch nicht
loesbar sind. Das wurde als kurioser Sonderfall abgetan.
Ausserdem gab es da auch noch keine konkreten Anwendungen und
die Rechnerleistungen waren noch nicht so weit.
Zu der Zeit habe ich mich daher auch so wie eine Art Einzelkaempfer
gefuehlt und mit der Chaostheorie mein Studium ziemlich versaut.

BTW. Julia hat sich mit dem Thema ohne Digitalrecher beschaeftigt.
Wurde im 1 Weltkrieg glaube ich verwundet und hat sich dann im Lazaret
sich so seine mathematischen Gedanken gemacht. Fuer mich unvorstellbar.

Um so mehr freue ich mich natuerlich, dass dieser Aspekt der Mathematik
wohl nun sogar schon in den Schulen beachtung findet.
Das finde ich echt klasse !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Mein Problem mit der Rechenungenauigkeit ist damit allerdings auch
nicht geloest. Waere doch peinlich. Vielleicht wuerde "deep thought"
als Loesung fuer die Madelbrotmenge einen schlichten Kreis liefern.
Und wir Idioten haengen uns einen Kunstdruck vom angeblich
komplexesten mathematische Gebilde ins Zimmer, das lediglich
ein Abbild der Rechenungenauigkeit unserer Digitalrecher ist.
Ich weiss so ist es nicht, aber es koennte so sein und bitte daher
um moeglichst viele neue Aspekte zu diesem Thema :-)
ciao
richy

Ps: Ich hab noch mehr TNT auf Lager :-)

Hallo Richy,

ob die Mandelbrotmenge "lediglich ein Abbild der Rechenungenauigkeit unserer Digitalrechner" ist, ließe sich doch ganz einfach herausfinden, wenn man die Digitalrechner beiseite liesse und die 500 Iterationen mit der Hand durchrechnet, oder nicht?

Ich bin auch gerne bereit, die ersten zehn, zwanzig oder auch fünfzig Iterationen durchzurechnen, aber da ich in keiner Weise vom Fach bin (ich bin fertiger Jurist mit Schwerpunkt Wirtschaftrecht und abgebrochener - naja, sagen wir: pausierender - Philosophiestudent), bräuchte ich eine genaue Anleitung. Also schreib doch mal auf, wie man die Mandelbrotmenge mit Papier und Bleistift berechnet, und dann werden wir es diesen Digitalrechnern schon zeigen.

Hat nicht auch Ford Prefect so den Bordcomputer des Raumschiffs mit dem unglaublichen Unwahrscheinlichkeits-Drive (ich komm grad nicht auf den Namen) kleingekriegt?

Grüße

Gregor

P.S.: Wo wir schon beim Austausch biographischer Daten sind: ich bin Jahrgang 1964. Gregor

Hallo Gregor
Ok, dann gehen wirs an :-) Ich schlage vor sich mit einem kleineren Bilchen,
sagen wir mal 100 mal 100 Pixel zu begnuegen. Den Starwert jedes Pixels muesen wir 500 mal iterieren. 10 000 Eizelrechungen mal 500.
Also 5 Millionen Multiplikationen muessen wir schon durchziehen.
Ok fang Du mal mit 0.11 * 0.11 an. Naja us iteressieren ja nur die Ziffern zunaechst.
11 n=(2) k=0
Also 11* 11 =121. Hey das geht ja einfach. n=(3) k=1
121*121 =14641 uuups schon jetzt so viele Ziffern n=(5) k=2
14641*14641 n=(9)
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx ....
Neee so gehts net weiter. Lass uns erstmal ausrechnen wie gross die
Anzahl n(k) der Ziffern bei jedem Schritt k ist.
2,3,5 Bitte ergaenzen sie folgende Zahle Reihe *g (IQ Test sind idiotisch)
Denke n(k+1)=2*n(k)-1 ist ok.
************************** ruhig ueberspringen **************
Bin mal denkfaul und loese das mittels Z-Transformation
z*N(z)-z*n0=2*N(z)-z/(z-1) (immer brav an die eins bei so was denken)
uiiii muss ich Parzialbruchzerlegug machen, also eben das auch noch
....
N(z)=z/(z-2)*(n0-1)+z/(z-1)
wie die Ruecktransformierte z/(z-1) ist ja eins !
Na das haette ich dann aber billiger habe koennen !
BRAVO richy eine mathematische Meisterleistung *lol
******************************************************
Ok also kommt raus n(k)=2**k (n0-1) + 1

Iss ja auch wurscht, war ja klar dass die Anzahl der Ziffern exponentiell
steigt. Fuer jede Ziffer musst Du eine Multiplikation ausfuehren.
Also fuer Dein erstes Pixel musst Du wenn Du exakt rechnen willst
lediglich so um die 2 hoch 501 Multiplikationen durchfuehren.

Jo also dann viel Spass, vielleicht biste schneller fertig als Deep Thought :-)
Wir sehen us dann in 100 000 Jahren *fg
******************************************************

Hmmm dabei hatte ich Deine Idee auch schon im Auge. Weniger von Hand
als eher mit einem Programm, dass alle Ziffern mitschleppt.
Das es so uebel aussieht haette ich jetzt auch nicht gedacht mhhhh
Naja vielleicht gibts noch andere Ideen

BTW
Ich bin BJH 1962 und hab mal E tec Bild und Tonuebertragung studiert.
Sogar mit Abschluss. Momentan arbeite ich als Musiker.
Mit Hut ud so auf der Strasse :-)
Neee schon i geschlossene Raeumen
ciao
Danke fuer die Idee
richy

hi hi also wenn wir uns in 100 000 Jahren wiedersehen, dann bring unbedingt den Wert fuer Dein erstes Pixel mit *hihi
UND WEHE DIR DU KOMMST MIR DANN MIT 42 !!!!!!!!!!!!!!!!!!

Hallo Richy,

ich hatte schon so etwas ähnliches befürchtet; deshalb hatte ich mich ja auch vorsichtshalber nur für die ersten zehn bis fünfzig Iterationen angeboten, nicht gleich für die ersten fünfzig Pixel.
Tja, ich fürchte, jetzt werden wir keinen Dummen führ die restlichen vierhundertfünfzig Iterationen mehr finden.

Da sieht man mal wieder, wie wichtig es ist, etwas von den Sachen zu verstehen, über die man redet.

Aber trotzdem gebe ich nicht so schnell auf; allerdings müßte jetzt zufällig ein Statistiker zuhören.

Wenn wir es nicht schaffen, ein ganzes Bild (100 x 100 Pixel) durchzurechnen, dann müssen wir es eben mit Stichproben versuchen. Hat einer eine Idee, wie viele Pixel durhcgerechnet werden müßten, um einigermaßen sicher ausschließen zu können, daß die Mandelbrotmenge insgesamt auf einem Rechenfehler beruht?

Danach ist die Sache nur noch ein organisatorisches Problem. Die Frage ist, wie vielen Menschen ist es wie wichtig, die Antwort zu erfahren? Dazu sollten wir uns selbstverständlich nicht auf irgendwelche Menschen verlassen; denn erstens müssen sie einigermaßen verläßlich rechnen können, und zum anderen müssen sie die Gewähr bieten, auch irgendwann mit Ergebnissen rüberzukommen.

Wir sollten uns daher auf Schulen und Universitäten als Träger konzentrieren und sicherheitshalber zwei oder drei Teams auf jedes Pixel ansetzen.

Jetzt müssen wir nur noch einen Weg finden, die vielen Nachkommastellen zu handeln. Papier ist ja nur bis zu einer gewissen Blattbreite praktisch; danach müßte man die einzelnen Zahlen zu diskreten Paketen zerlegen, die nacheinander durchgerechnet werden.

Stell Dir nur vor, jede Schule in Deutschland würde zu Beginn jeder Mathestunde gemeinsam sagen wir fünfzig Multiplikationen vornehmen. Zu Beginn der ersten Mathestunde wären dann die ersten sechs Iterationen durchgerechnet, zu Beginn der zweiten vielleicht noch zwei weitere, die neunte zu Beginn der dritten Stunde. Gut, danach geht es vielleicht ein wenig langsamer weiter, aber dafür würden wir im nächsten Pisa-Test absolut super abschneiden. Ob wohl soviel Enthusiasmus in diesem Volke aufzufinden ist?

Fraglich ist auch, ob eine manuelle Ausrechung es tatsächlich erfordert, sämtliche Schritte mit der Hand auszurechnen. Da die Iteration eine ziemlich einfache Rechenvorschrift ist, sollte sie ziemlich rasch ähnliche Ergebnisse liefern. Man könnte also ein Computerprogramm einsetzen, welches das Ergebnis der letzen Iteration nach bereits manuell augerechneten Zahlenfolgen durchsucht und das per Hand ausgerechnete Ergebnis zur Verfügung stellt. Menschen müßten dann nur noch den Anschluß an die unähnlichen Bestandteile herstellen und natürlich die Arbeit des Programmes überwachen.

Dennoch ist das Ganze wie gesagt im Prinzip nur eine Frage der Organisation; und wir hätten es nie aus den Ozeanen auf die Bäume (was, wie ich glaube, schon ein Fehler war) und von denen wiederum auf den Boden geschafft, wenn wir vor solchen Kleinigkeiten kapitulieren würden.

Es muß doch noch mehr im Leben geben als die Abende vor dem Fernseher abzuhängen, oder?

Grüße

Gregor

P.S.: Für das Treffen in 100.000 Jahren brauche ich noch eine verläßliche Bank mit attraktiven Guthabenzinsen auch bei kleineren Einlagen (ich dachte da so an einen Cent). Irgendwelche Tipps?

Gregor

Hallo Gregor

Alle Achtung, man merkt Du bist ein Mensch der Praxis. Dazu noch mit Organisationstalent. Es gibt in der Tat schon so ein Projekt, dass Du
da vorschlaegst, bei der Suche nach Aliens.
Aber es gibt auch Programme, die quasi wie von Hand rechnen koennen.
Maple z.B. (Total geil, Studiversion 100 DM.)
20 Iterationen entspricht ca 2 000 000 Multiplikationen / Pixel. Das ist
machbar.
Es gibt aber noch andere Loesungsansaetze.
Stell Dir vor die Ungenauigkeit tritt nur bei den Anfagswerten auf, dass
diese z,b um 0.001 veschoben sind. Jedes Pixel liefert dann natuerlich
einen total falschen Wert gegenueber Deep Thought. Aber letztendlich erhaelt man als Ergebnis eine Madelbrotmenge, ledichlich um 0.001 verschoben.

Anderer Ansatz:
Mein Computerexperiment koennte man kritisieren. Ich hab da immer
quadrieren wurzel quadrieren wurzel .... angewendet.
Die Operation "Wurzel ziehen" kommt bei der Berechug der M-Menge aber gar nicht vor. Und ist sicherlich ungenauer als das Quadrieren.

Sicherlich haben ein paar Mathematiker das Problem auch schon geloest.
Hmmm wie soll man eine Fehlerabschaetzung fuer eine analytisch nicht
loesbare Gleichung machen ? Dein Stichwort "Statistik" ist da gar nicht
schlecht. Aber ich denke, das sollen mal ruhig die Profis loesen.

Was habe Statistik und Relativitaets-Theorie gemeisam ?
Sie waren fuer den Neandertaler nicht ueberlebenswichtig !
Und das merkt man heute noch !
Es gibt da ein paar schoene Beispiele. Ein und dieselbe Aufgabenstellug.
- Logisch formuliert: Einfach zu loesen
- Statistisch formuliert: Schwer zu loesen
Aber damit kennst Du dich als Jurist bestimmt besser aus.

Ich hab schon so ein paar populaerwissennschaftliche Buecher ueber
Statistik gelesen. Da hat sich bei mir u.a. folgende Meinung gebildet
bei der ich nicht weiss ob ich richtig liege.

Ist es bei einem Indizienprozess eigentlich so, dass am Ende schlicht
eine Zahl vorliegt ? Eben die Wahrscheinlichkeit, dass der Angeklagte
die Tat begannen haben koennte ?
Dann habe ich doch folgendes Problem:

Genuegt mir bereits eine geringe Wahrscheinlichkeit einen Angeklagten
zu verurteilen erzeuge ich folgeden Zustand:
usA)
Um sicherzugehen, dass kein Verbrecher frei herumlaeuft, nehme
ich in Kauf, dass auch eine gewisse Anzahl Unschuldiger verurteilt wird.

Benoetige Ich eine hohe Wahrscheinlichkeit einen Angeklagten
zu verurteilen erzeuge ich dagegen:
Brd)
Um sicherzugehen, dass kein Unschuldiger verurteilt wird, nehme ich
in Kauf, dass eine gewisse Anzahl Verbrecher freigesprochen wird.

Sehe ich das zu naiv ? Wie ist es dann ?


Schade dass sonst niemad hier mit eigestiegen ist.

ciao
richy

Ein paar Zahlennwerte ( ** bedeutet hoch )

2**008 = 256
2**010 = 1024 also etwa tausend
2**020 = 1 048 576 also etwa eine Million
2**050 damit also etwa tausend Milliarden
2**500 =
3273390607896141870013189696827599152216642046043064789483291368096133796404674554883270092325904157150886684127560071009217256545885393053328527589376

also etwa 3 * (10**150)

Das ist ne grosse Zahl. Sogar eine sehr sehr grosse.
Die 500 Iterationen waren meine dumme Idee.,
Du warst in weiser Voraussicht vorsichtiger :-)
Da diese Zahl nun so exorbitant gross ist (ein Universum/Atom) wuerde
ich sie gerne korrigieren um die Sache anschaulicher zu machen :-)
Ich "begnuege" mich nun mit 260 exakten Iterationen also lediglich
1852673427797059126777135760139006525652319754650249024631321344126610074238976 etwa 1.8 * (10**78) Multiplikationen.

Damit musst Du nun lediglich nur noch so viele Multiplikationen durchfuehren, die in der Groessenordnung der Anzahl von Atomen im Universum liegen :-)))
Fuer jedes Atoemchen eine Multiplikation.
Bei 2**500 reichen die Atome im Universum leider nicht.
Da muesste man sich fuer jedes Atom nochmal glatt ein ganzes
Universum vorstellen. Das ist dann echt ein bischen viel :-)


ciao
richy

Hallo Ihr,


natürlich ist es richtig, dass gerade bei iterativen Berechnungen der Rechenfehler einer CPU mitspielt. Das ist jedoch kein Sprengstoff und weithin bekannt. Dass die Madelbrotmenge nicht ein einziger Rechenfehler sein kann, lässt sich recht einfach nachweisen: Auf verschiedenen Rechnersystemen mit hard- und softwarebedingten verschiedenen Rechenfehlern ist die grafische Darstellung des in Echtzeit gerenderten Apfelmännchens kongruent. Auf alle diese Systeme wirkten Rechenfehler ein, nur scheinbar hat der Rechenfehler hier doch nicht eine solche krasse Auswirkung. Nach richys These jedoch müssten die Darstellungen eklatant von einander abweichen. Es tut mir leid, aber das konnte ich bisher nicht beobachten.

Gryße,


ccm.

Hallo ccm

Dein Einwand ist natuerlich berechtigt. Die "Mandelbrotmengen" sehen ja immer recht aehnlich aus. Es gibt aber zwei Punkte, die gegen Deine Argumentation sprechen.
1) Gerade gestern habe ich eine Seite mit MM-Java Applet besucht. Da bemerkte der Autor, dass die Darstellung je nach verwendeter Virtual Java Machine abweichen kann. Die Sache ist sehr wohl von der Rechenungenauigkeit abhaengig. Wenn Du statt kongruent, also deckungsgleich das Wort "ahnlich" verwendest akzeptiere ich aber Deine Aussage.
2) Wenn alle Rechner ein aehnnliches aber dennoch falsches Ergebnis
liefern, das ist ja auch nicht wuenschenswert.

Mich wundert eher warum TROTZ der Ungenauigkeit die Ergebnisse doch recht aehnlich sind. Und da habe ich eine alten Bekannten wiedergetroffen,
den ich fast schon vergessen habe. Den Ljapunov-Exponent, der einen
Mittelwert (also nach Gregors Statistikvorschlag) fuer die Ungenauigkeit liefert.
Hier wird das sehr schoen erklaert.
http://thies.agentensysteme.de/papers/facharbeit/sensitiv.php
Mal salopp ausgedrueckt erklaere ich mir das jetzt so:
Fuer die Faelle dass das System nur schwach chaotisch ist, also gewissermassen determiniert, besitzt der Rechenfehler keinen so grossen Einfluss. Das passt ja prima! Das Determinierte bleibt in etwa determiniert. Auf der Seite wird auch sehr schoen gezeigt, dass im chaotische Fall die
Ungenauigkeit, wie von mir angenommen, sehr schnell die "exakte" Loesung voellig ueberdeckt. Hey aber das macht ja gar nix ! So eine chaotische Loesug ist ja soundso "unberechenbar :-)" Ein konkreter
Zahlenwert daher unsinnig. Und wieder passt es!
Verstehst Du in etwa, was ich damit meine ? Ich habe wirklich einen Fehler gemacht. Man darf die Madelbrotmenge nicht ueber ihre Zahlewerte betrachten, sondern nur als Anzeigegeraet fuer Chaos und Ordnung.
Wenn die Ungenauigeit auch im schwach chaotischen Fall die Loesung
voellig ueberdecken wuerde waere das ganze wirklich Schwachsinn :-)
Und mit dem L-Exponent habe ich ein Hilfsmittel als Mas fuer das Chaos.
Der ist eigenlich viel sinnnvoller als die MM selbst.
Weisst Du ob und wo es Bilder des L-K der MM im Netzt gibt ?

Naja so ganz bin ich damit noch nicht zufrieden.
Vielleicht hast Du noch eine Idee !

ciao
richy

Hallo Richy und Gregor

genaues Rechnen ist auch mit Computern möglich .. .. ..

wie?

1. Im Bereich der ganzen Zahlen nimmt man einfach IntegerZahlen. mit diesen rechnet der Computer ganz schnell UND fehlerfrei. mit 4 Byte = 32Bit kann man einen Bereich von -2 147 483 648 ... 2 147 483 647 darstellen. Wenn das noch nicht reicht kann man auf Int64 gehen, Wertebereich ist -2^63 .. 2^63-1. Mit den hoffentlich bald bezahlbaren 64bit Rechnern ist dies sicher auch von der Rechengeschwindigkeit kein Problem.

2. Im Bereich der rationalen Zahlen ist exaktes Rechnen von Hand mit Brüchen kein Problem, wieso sollte der Computer das nicht auch können. Dazu müsste man z.B. einen Variablentyp Bruch definieren, welcher aus Vorzeichen und 3 vorzeichenlosen Integerwerten besteht: Ganzzahliger Wert, Teiler und Zähler. Dazu Prozeduren für die 4 Grundrechenarten und fürs Kürzen programmieren. (Moderner ist, wenn man dies als Klasse mit Methoden deklariert)

Damit kann innerhalb der durch die Integerwerte vorgegebenen Bereiche auch vom Computer fehlerfrei addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden.

Wurzeln, Pi, Winkel- und Logarithmenfunktionen bleiben aber aussen vor, da diese nicht durch Brüche darstellbar sind, diese sind aber auch nicht durch Handrechnung auch nicht in 100 000 Jahren genau darstellbar.

PS: Ich bin ebenfalls Baujahr 1962, Schweizer und habe Bauingenieur studiert.

Konrad

Die mandelbrotmenge ist, wie jeder Attraktor eine Chimäre. Eben deshalb, weil das Ergebnis einer Iteration wiederum eine gerundete Zahl ist. Ändert man die rechengenauigkeit (das geht in allen Computersprachen) so kommt trotzdem immer das gleiche Gebilde heraus. Simuliert man z.B. ein Doppelpendel mit dem rechner, so sind die geplotteten Trajektorien natürlich Chimären. Nimmt man aber ein reales Doppelpendel und ermittelt den Attraktor experimentell, so findet man einen gleich ausshenden Attraktor.

Chimäre
Ein Ungeheuer der griech. Sage, das aus Löwe, Ziege und Drache zusammengesetzt ist. Nach der griechischen Mythologie wurde die Chimäre von dem auf Pegasus reitenden Held Bellerophon getötet. Die Chimäre ist mit und ohne ihren Bezwinger auf einigen antiken Geprägen dargestellt worden, u.a. auf Münzen von Korinth, Leukas und Lykien.
.......
Wohl etwas das aus voellig unterschiedlichen Teilen zusammengesetzt ist ? Verstehe das in dem Zusammenhang nicht.

Deine Annahme, dass unaghaengig von der Rechengenauigkeit die selbe Mandelbrotmenge erzeugt wird ist mit sicherheit falsch. Die erzeugten Mandelbrotmengen werden aber wohl aehnlich sein.
Hmm wird mal Zeit, dass ich meine Behauptung mittels einem Programm
verifiziere.
ciao, viel Spass hier :-)
richy



Nachricht bearbeitet (09.01.04 02:30)

Hallo richy,

Chimäre (griech. 'Ziege'), 1) altgriech. Fabelwesen, aus Löwe, Ziege und Drachen zusammengesetzt; im übertragenen Sinne Bez. für Hirngespinst. - 2) in der Botanik die Vereinigung von Teilen verschiedener Pflanzen zu einem lebensfähigen Ganzen, gebräuchl. ist die Pfropfung zur Veredlung von Zier- und Nutzpflanzen, etwa bei Obstbäumen.

Ich gebrauchte den Begriff im Sinne der Definition 1.
Natürlich hast du recht, daß nicht die selbe Mandelbrotmenge entsteht, wenn man mit unterschiedlichen Genauigkeiten rechnet. Das habe ich auch nicht behauptet. Ich habe vom gleichen Gebilde gesprochen, was heißen sollte, daß das Bild mit dem Auge nicht unterscheidbar ist. Das gilt natürlich nur für hohe Auflösungen. Die Erzeugung der Mandelbrotmenge auf dem Bildschirm verwendet etliche Schwellenwerte für die Codierung der Farben. Zusätzlich hängt das Ergebnis von der gewählten Anzahl an Iterationen ab.
Insofern treten dadurch immer Rundungsartefakte auf. So gesehen ist die Mandelbrotmenge immer eine Chimäre, egal, mit welcher Genauigkeit, mit wieviel Iterationsschritten und farben man arbeitet. Man muß auch bedenken, daß auf den schönen bunten Bildern der rand der Mandelbrotmenge den optischen Reiz ausmacht. Die eigentliche Mandelbrotmenge ist nur der Teil, bei dem die Ergebnisse nach einer beliebigen Zahl von Iterationen kleiner als 2 bleiben. Daraus schließt man, daß der Grenzwert endlich bleibt. Der Rand der mandelbrotmenge strebt aber, wenn die Zahl einmal größer als 2 geworden ist gegen unendlich,allerdings mit unterschiedlicher Geschwindigkeit, was eben durch die Farbgebung dargestellt wird. Das bedeutet, daß die Form der Mandelbrotmenge von 2 Faktoren abhängt, nämlich Rechengenauigkeit und
Anzahl der Iterationen. Hinzu kommt, daß beim Zoom in die Mandelbrotmenge von vornherein eine höhere Genauigkeit erforderlich ist, da schon der jeweilige Startwert viele Nachkommastellen besitzt.
Aber auch bei Startwerten, die nur eine Nachkommastelle besitzen steigt wegen der Quadrierung die anzahl der Nachkommastellen bei jeder Iteration auf das doppelte. D.h. die Anzahl der Nachkommastellen wächst exponentiell an.
Das Problem existiert aber bei jeder irrationalen Zahl und auch bei vielen rationalen Zahlen. Da Irrationale Zahlen und rationale zahlen durch einen Algorithmus erzeugt werden und bei ersteren immer unendlich viele Nachkommastellen entstehen, können wir in der Praxis immer nur gerundete Zahlen verwenden.

ich würde vorschlagen für die berechnung von hand -sollte man arbeitslose beauftragen davon haben wir schließlich genug -und ausreichend zeit haben die auch.
Jeder von ihnen macht 10-20 rechnungen und ruckzuck haben wir bestimmt über 100 mio rechnungen zusammen

Die graphische Darstellung der Mandelbrotmenge ist nicht exakt.

Läßt man sin(1/x) nochmal oszillieren ( -> sin(sin(1/x)) ), dann zeigen die 2 Millionen Flüssigkristallzellen eines LCD - ( oder Plasma - ... ??? )
Monitors jede Menge Selbstähnlichkeit.

Es stimmt aber SICHER die ganze Mathematik nicht :

Ich sprach das Lebesgue-Integral an.
Dieses braucht man nicht, wenn eine Menge ( = Definitonsbereich einer Funktion) gerade eben NICHT meßbar ( google ! ) ist.

Zermelos Axiome 1907 [Bearbeiten]Zermelo formulierte seine sieben Axiome für einen Bereich von Dingen, der die Mengen als Teilbereich enthält. Er definierte nämlich Mengen als elementhaltige Dinge oder die Nullmenge (leere Menge). Das Axiomensystem erlaubt aber als Elemente auch andere elementlose Dinge, die er später Urelemente nannte. Man kann bei ihm also Elemente und Dinge gleichsetzen, aber nicht Mengen und Elemente. In der ursprünglichen Benennung und Nummerierung und im originalen verbalen Wortlaut, der im folgenden nur kommentierende Einschübe mit synonymen Formulierungen weglässt, lauten seine Axiome:

I. Axiom der Bestimmtheit:

Ist jedes Element einer Menge M gleichzeitig ein Element von N und umgekehrt, so ist immer M=N.
II. Axiom der Elementarmengen:

Es gibt eine Menge, die Nullmenge 0, welche gar keine Elemente enthält.
Ist a irgendein Ding des Bereichs, so existiert eine Menge {a}, welche a und nur a als Element enthält.
Sind a, b irgend zwei Dinge des Bereichs, so existiert immer eine Menge {a,b} welche sowohl a als auch b, aber kein von beiden verschiedenes Ding als Element enthält.
III. Axiom der Aussonderung:

Ist die Klassenaussage E(x) definit für alle Elemente einer Menge M, so besitzt M immer eine Untermenge, welche alle diejenigen Elemente x von M, für welche E(x) wahr ist, und nur solche als Elemente enthält.
IV. Axiom der Potenzmenge:

Jeder Menge T entspricht eine zweite Menge UT, welche alle Untermengen von T und nur solche als Elemente enthält.
V. Axiom der Vereinigung:

Jeder Menge T entspricht eine Menge ST, welche alle Elemente der Elemente von T und nur solche als Elemente enthält.
VI. Axiom der Auswahl:

Ist T eine Menge, deren sämtliche Elemente von 0 verschiedene Mengen und untereinander elementfremd sind, so enthält ihre Vereinigung ST mindestens eine Untermenge, welche mit jedem Element von T ein und nur ein Element gemein hat.


VII. Axiom der Unendlichkeit:

Der Bereich enthält mindestens eine Menge Z, welche die Nullmenge als Element enthält und so beschaffen ist, dass jedem ihrer Elemente a ein weiteres Element der Form {a} entspricht.
Dieses Axiomensystem ist geringfügig redundant, denn die Elementarmenge 0 lässt sich durch Aussonderung aus der unendlichen Menge Z mit der Klassenaussage "nicht(x=x)" gewinnen und die Elementarmenge {a} durch die Paarmenge {a,a} definieren. Man benötigt also nur die dritte Elementarmenge {a,b}.


Mit Axiom VII kannst Du ALLE Menschen zu einem Stück Kuchen einladen und dabei UNENDICH VIELE Heizdecken verkaufen ( Siehe Inflation 1928 ), wenn Du EINE Torte gekauft hast !

Na ???


Na also !

Gute These, richy.

Als Akademiker weiß ich aber, daß es Probleme ( = hier: Rechenaufgaben ) gibt, die eine Lösung haben, in irdischer Zeit aber nicht zu berechnen sind.

( Traveller Salesman Problem u.a. )

Ich finde, Chaostheorie ist da ein ZWISCHENDING, weil ........

....... ja weil hier ( zum erstenmal in der Mathematikgeschichte )
Lösungen VISUELL SICHTBAR sind !

Ich hab das 1979 sofort erkannt, mich gleich von der TU in die Uni ( philosophischer ! ) eingeschrieben, und auf das Uni-Anmeldeformular
unter " Name " gleich " Superstar " reingeschrieben.

Zur Zeit bin ich im politischen Händel :

Es geht um die Frage : Wenn ein Klassenbester ( und da kann es nach den Peano-Axiomen nur einen geben ) vom Mitschüler M. vergiftet wird, ist dann M. Klassenbester ?

Was sagt das Grundgesetz dazu ?

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Leider ist das kein Spaß, richy, weil da JEDER erpresst wird !

Stimmts, rich ?

Mein Fraktalcreater auf dem PC macht aus dem Apfelmännchen, wenn ich den Haken bei Julia mache, auch einen Kreis.

Fraktal Ergänzung

Wenn ich bei der Mandelbrot-Menge den Julia Realteil und Imaginärteil auf jeweils Null setze, erhalte ich einen Kreis.

Soviel ich weiß, steht dahinter die Idee, dass auch die Welt nicht analog und absolut exakt ist, so dass diese "Rechenfehler" auch in der Natur entstehen.

Aus der Mandelbrot-Menge kann nur dann ein Kreis entstehen, wenn die Entropie nicht berücksichtigt wird.

Die Idee von richy, dass aus der Mandelbrot-Menge ein Kreis wird, beruht auf einer perfekt mathematischen Annahme.

Auch innerhalb eines evolutionären Algorithmus entstehen mit und ohne Entropie vollkommen andere Ergebnisse.