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Übergang ins Chaos beim Feigenbaumszenario

geschrieben von Jan 
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Hallo

Kann mir einer von euch sagen

WIE man im Feigenbaumszenario den Grenzwert für r findet bei dem die Bifurkationen ins Chaos münden.

Auch über Sites auf denen man das findet wäre ich dankbar...


Merci

Jan

Daniel K.
Re: Übergang ins Chaos beim Feigenbaumszenario
20. July 2005 15:25
also,die allgemeine "Populations-formel" ist ja:

Xn+1 = qf * qv * Xn * (G - Xn)

wobei...

Xn=Anzahl der Tiere
qf=Wachstumsfaktor
qv=Sterbefaktor (durch von mir aus Hunger)
G=maximalgröße

Um die folgenden mathematischen Untersuchungen zu vereinfachen, wird die Populationsgröße Xn oft als Bruchteil xn der Maximalgröße G angegeben:

An die Stelle der Maximalgröße G tritt dann die Zahl 1. qf und qv werden zusammengefasst zu der Zahl r

Verhalten in Abhängigkeit zu r
Bei verschiedenen r können die folgenden Verhaltensweisen für große n beobachtet werden. Dabei hängt dieses Verhalten nicht vom Anfangswert ab, sondern nur von r:

Mit r von 0 bis 1 stirbt die Population in jedem Fall.
Mit r zwischen 1 bis 2 stellt sich ein Grenzwert ein. Die Annäherung an den Grenzwert erfolgt monoton.
Mit r zwischen 2 und 3 nähert sich die Population ihrem Grenzwert wellenförmig, d.h die Werte liegen ab einem bestimmten n abwechselnd über und unter dem Grenzwert.
Mit r zwischen 3 und (etwa 3,45) wechselt die Folge zwischen zwei Häufungspunkten.
Mit r zwischen und ungefähr 3,54 wechselt die Folge zwischen vier Häufungspunkten.
Wird r größer als 3,54, stellen sich erst 8, dann 16, 32 usw. Häufungspunkte ein. Die Intervalle mit gleicher Anzahl von Häufigpunkten (Bifurkationsintervalle) werden immer kleiner; das Längenverhältnis zweier aufeinanderfolgender Bifurkationsintervalle nähert sich der Feigenbaumkonstanten. Diese Konstante ist auch in anderen mathematischen Zusammenhängen von Bedeutung. (Zahlenwert: δ ≈ 4.6692016091029906718532038204662016172581...).
Bei r annähernd 3,57 beginnt das Chaos: Perioden sind nicht mehr erkennbar, winzige Änderungen des Anfangswertes resultieren in unterschiedlichsten Folgewerten - eine Eigenschaft des Chaos.
Die meisten Koeffizienten zwischen 3,57 und 4 führen zu chaotischem Verhalten, obwohl für bestimmte r wieder Häufungspunkte vorhanden sind. Beispielsweise existieren in der Nähe von r = 3,82 bei steigendem r erst 3, dann 6, 12 usw. Häufungspunkte. Ebenso gibt es r-Werte mit 5 oder mehr Häufungspunkten - alle Periodendauern tauchen auf.
Für r größer 4 divergiert die Folge für fast alle Anfangswerte und verlässt das Intervall [0;1].

Quellen wikipedia.de (http://de.wikipedia.org/wiki/Feigenbaum-Konstante)
Re: Übergang ins Chaos beim Feigenbaumszenario
20. July 2005 19:18
Hi Daniel
Sehr schoene Erklaerung. Die Frage war ja aber auch WIE man den Feigenbaumpunkt findet. Um allen Illusionen vorzubeugen. Das ist exakt nicht moeglich. Es gibt ein paar Seiten im Netz, die Naeherungsverfahren beschreiben, aber schon auf denen ist die Mathematik sehr abgehoben.
Auch von der Feigenbaumkonstante ist nur sehr wenig bekannt.
Eine einfache Naeherung waere sich mal die Nullstellen des Ljapunov Koeffizienten im Bereich 3.54 anzuschauen.
ciao
richy



Beitrag bearbeitet (20.07.05 20:29)