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gesucht: "chaotische" zweidimensionale DGL und Diskretisierung

geschrieben von Ernst Baumann 
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Mein Ziel ist eigentlich folgendes:
1) Ich will eine "chaotische" DGL durch eine diskrete Folge annähern und diese dann in einem selbstgeschriebenen Computerprogramm visualisieren (in der Ebene; im Raum, also 3D auf dem Bildschirm ist mir zu kompliziert). D.h. in dem Programm kann ich dann einen Parameter so lange ändern (z.B. durch einen Schieber oder über ein Eingabefenster), bis die Lösung "chaotisch" wird.
Welche 2-dimensionale Differentialgleichung mit einfachheitshalber nur _einem_ Parameter kann man mir empfehlen ?

2)
Die Diskretisierung einer DGL benutzt man doch, um diese numerisch lösen zu können. Für mich ist dazu interessant, unter welchen Bedingungen ist mein Diskretisierungsansatz
(y' wird angenähert durch (y(n+1)-y(n)/dt) eine "gute" Annäherung an die exakte (aber wahrscheinlich nicht explizt darstellbare) Lösung.

3)
Unter einer "chaotischen" Folge kann ich mir etwas vorstellen (Periodenverdopplung, determinertes Chaos). Was versteht man aber zu dem Gegenstück, nämlich einer "chaotischen" DGL?

Ich habe folgendes gelesen (Das populärwissenschaftliche Buch "Die Entstehung des Chaos" von Briggs bzw. Peat):
Ein Attraktor ist das Verhalten der Lösung einer DGL für t --> unendlich.
Ein Attraktor kann so aussehen:
a1) Attraktor ist ein Punkt
a2) Attraktor ist ein Grenzzyklus (geschlossene Linie in der Ebene)
a3) Attraktor ist eine Linie auf einem 3-dimensinalen Torus
a4) Attraktor ist eine Linie auf einem 4-dimensinalen (allgemein
n-dimensionalen) Torus
a5) Attraktor ist fraktal

Wenn man einen Parameter im System verändert, kann sich z.B. der Attraktor ändern, z.B. vom Punktattaktor zum Grenzzykelattraktor werden also aus a1) kann a2) dann a3) usw. werden.

Wie sieht ein Attraktor im zweidimenionalen Raum aus ?
Was ist das "Chaos" in dieser "chaotische Lösung":
Der Übergang eines Attraktors in einen anderen beim Verändern eines Parameters oder ist das "Chaos" ein frataler Attraktor ?
Diese ganzen grundlegenden Begriffe und Zusammenhänge müsste man erst einmal anschaulich klären.
Wer kann mir da helfen ?


mfg
Ernst
Re: gesucht: "chaotische" zweidimensionale DGL und Diskretisierung
03. July 2005 17:49
Hi
Kniffelige Fragen

zu 1-3)
Differenzen und Differentialgleichungen weisen unterschiedliche Eigenschaften auf. Eine nichtlineare Differenzengleichung 1.ter Ordnung
kann bereits chaotisches Verhalten aufweisen. Bei einer Differentialgleichung ist dies nicht ausreichend. Sie muss insbesonders drei Freiheitsgrade aufweisen. (3 Koerper Problem). Ein Differentialgleichungssystem zu verwenden ist daher keine schlechte Idee :-) Das Doppelpendel ist hier das Standardbeispiel.
Ein chaotisches DGL System beschreibt einen physikalischen Vorgang in dem chaotisches Verhalten auftritt. So wuerde ich das ausdruecken.

zu 2)
(y' wird angenähert durch (y(n+1)-y(n)/dt)
Eine Approximation 1 ter Ordnung fuer die Differentation ist sehr ungenau.
(Milde ausgedrueckt :-)
Mit solch einem Ansatz wirst du keine brauchbare Simulation eines physikalischen Vorgangs erreichen. Fuer hyperbolische Systeme
(Wellenausbreitung z.B) ist dies auf jeden Fall so. (Hab mich nur mit solchen beschaeftigt) Z.B. ist die numerische Daempfung und Dispersion so hoch, dass simulierten Groessen sehr bald vollstaendig verschmiert und weggedaempft werden.
Experimentiere mal mit der einfachen Transportgleichung.
df/dt+c*df/dx=0
Bei der Simulation mit Operatoren 1 ter Ordnung wird sehr schnell deutlich, dass diese ungeeignet sind.
(y(k+1,x)-y(k,x)/dt=y(k,x+1)-y(k,x)/dx
y(k+1,x)=y(k,x)+dt/dx*(y(k,x+1)-y(k,x)) .... gibt nichts brauchbares

Die Qualitaet eines numerischen Differenzierers kannst du auch bequem ueber dessen Fouriertransformierte einschaetzen. Ein idealer Differenzierer
weist den Frequenzgang j*w auf. Der Differenzierer 1 ter Ordnung stellt dagegen eine Sinusfunktion dar und noch schlimmer, da dein Ansatz einseitig ist weist er auch noch einen Realteil auf. (siehe RECHNUNG)
Eine einfache Verbesserung liefert schon der Mittelwert von links- und rechts-seitigem Operator.
(y(n+1)-y(n)+y(n)-y(n-1))/2=(y(n+1)-y(n-1))/2
Immerhin schon 2 te Ordnung und kein Realteil in der Fouriertransformierten.

Moderene Verfahren benutzen Operatoren 4 ter Ordnung. Z.B Runge Kutta oder Adams Bashford Verfahren fuer Integration. Fuer numerische Differentation ist die Naeherung mittels Tayloransatz 4 ter Ordnung schon recht genau:
dy(x)/dx ist etwa (y[k-2]-8*y[k-1]+8*[k+1]-y[k+1])/12

Falls Du keinen realen Prozess simulieren willst ist die Genauigkeit natuerlich nicht so wichtig.
Ansonsten wird so eine Simulation nicht gerade einfach.
Besonders die Randbedingungen koennen eine kniffelige Aufgabe darstellen.Gerade bei nichtlinearen Systemen.
Vielleicht als Zusatzgedanke. Die Mandelbrotmenge kann man schon aufgrund der verwendeten Operatoren nicht als Simulation irgendeines realen Prozesses interpretieren.
Hmm zu deiner letzten Frage sollen mal andere schreiben :-)

ciao richy

RECHNUNG
FOURIER(dy(t)/dt)=jw*Y(w)
**********************
FOURIER(y(t+1)-y(t))=(exp(jw)-1)*Y(w)
Realteil: cos(w)-1
Die Auswirkungen dieses Fehlers sind abhaengig von den verwendeten
Gleichungen. Bei hyperbolischen Systemen z.B. numerische Daempfung.
Imaginaerteil: sin(w)
Exakt waere w. Bei hyperbolischen Systemen, kann man zeigen, dass die Ableitung des Imaginaerteils der Gruppengeschwindigkeit entspricht.
Dieser Fehler wird die simulierte Groesse verschmieren.
***********************
FOURIER(y(t+1)-y(t-1))/2=(exp(jw)-exp(-jw))/2*Y(w)=
(cos(w)+jsin(w)-cos(w)+jsin(w))/2
Realteil: NULL !
Imaginaerteil: sin(w) (auch nicht genauer :-)

Falls du Interesse an einem sehr genauen Algo 4.Ordnung fuer hyperbolische Systeme hast, der auch bei nichtlineare DGLs funktioniert,
schicke ich dir gerne zu.



Beitrag bearbeitet (04.07.05 01:47)
>Differenzen und Differentialgleichungen weisen unterschiedliche >Eigenschaften auf. Eine nichtlineare Differenzengleichung 1.ter Ordnung
>kann bereits chaotisches Verhalten aufweisen. Bei einer >Differentialgleichung ist dies nicht ausreichend. Sie muss insbesonders >drei Freiheitsgrade aufweisen. (3 Koerper Problem).
>
Nein, mir wurde gesagt, dass die
Duffinggleichung
x'' + x - x^3 = -ax' + b*sin(t)
"eine 2-dimensionale nichtautonome Gleichung für bestimmte Werte von a und b auch chaotische Attraktoren hat (noch ein Beweis steht aber wohl noch aus!?)". Es genügt also zweidimensional !!
Kannst du mir dazu einen Diskretisierungsansatz (Folge) geben, der die Lösung der Duffinggleichung approximiert?
Kann ich den Vorschlag von dir:
"dy(x)/dx ist etwa (y[k-2]-8*y[k-1]+8*[k+1]-y[k+1])/12"
als Diskretisierungsansatz für die Lösung der Duffinggleichung benutzen ?
>
>Ein Differentialgleichungssystem zu verwenden ist daher keine schlechte >Idee :-) Das Doppelpendel ist hier das Standardbeispiel.
>
ich vermute, dass die zugehörige DGL dreidimensional ist, oder ?

mfg
Enst
Re: gesucht: "chaotische" zweidimensionale DGL und Diskretisierung
05. July 2005 00:31
Hi
Die Aussage mit den 3 Freiheitsgraden habe ich im www mal gefunden.
Leider finde ich den Link nicht mehr. Bekannter ist vielleicht der Ausdruck
"3 Koerperproblem". Und wie ist das beim Doppelpendel ? Da schwingen doch nur 2 Massen. Muss man sich die Aufhaengung des Pendels noch als unendliche Masse hinzudenken ? Vielleicht findet hier jemand noch eine Quelle in der die notwendigen Bedingungen in Form der Ordnung,Anzahl der Variablen der DGL angegeben ist.

Zu der Duffinggleichung
x'' + ax' + x - x^3 = b*sin(t)
Wie verstehst du den Begriff 2 dimensional bei der Gleichung ?
Es wird nur nach t abgeleitet. x(t) ist gesucht.
Es ist also keine partielle sondern "nur" eine gewoehnliche DGL.
Inhomogen, nichtlinear, 2 ter Ornung.

***
Kann ich den Vorschlag von dir:
"dy(x)/dx ist etwa (y[k-2]-8*y[k-1]+8*[k+1]-y[k+1])/12"
als Diskretisierungsansatz für die Lösung der Duffinggleichung benutzen ?
***

JEIN, wenn du den Schreibfehler korrigierst :-)
dy(x)/dx ist etwa (y[k-2]-8*y[k-1]+8*[k+1]-y[k+2])/12

Der Ansatz ist geeignet fuer einen numerischen Differenzierer und funktioniert als solcher recht gut. Fuer die Integration ist der Ansatz
nicht geeignet. Glaube das Runge Kutta Verfahren ist hier der Standard.
Ich hab auch nur Erfahrung mit partiellen Systemen erster Ordnung.
Wie man bei der zweiten Ableitung vorgeht kann ich dir jetzt aus dem Stehgreif auch nicht sagen. Man wird zweimal integrieren muessen.
Also aus der Gleichung ein System machen.
Dachte du willst eine partelle DGL diskretisieren, da waere der Differenzierer sinnvoll gewesen, fuer die Duffinggleichung wohl eher nicht.
Ich schau mal ob ich ueber google etwas dazu finde.
ciao
richy
>Zu der Duffinggleichung
>x'' + ax' + x - x^3 = b*sin(t)
>Wie verstehst du den Begriff 2 dimensional bei der Gleichung ?
>Es wird nur nach t abgeleitet. x(t) ist gesucht.
>Es ist also keine partielle sondern "nur" eine gewoehnliche DGL.
>Inhomogen, nichtlinear, 2 ter Ornung.
>
stimmt.
eigentlich ist die Duffingleichung nicht zweidimensional.
Ich muss dazu noch etwas recherchieren.

mfg
Ernst