Von Bio zu Physik

Es gibt ja die Populationsformel:

P1=P0+r*P0*(1-P0)

Wobei P0 die Population des Vorjahres und P1 die Population des neuen Jahres ist. r ist die Änderungsrate.

Jetzt woll tich fragen ob diese Formel irgendwie auf Physik übertragbar ist??

Danke schonmal im Vorraus

mfg bembelimen

Hi
Ohne den daempfenden Term lautete die Differenzen-Gleichung:
P1=P0*r
Die Loesung dieser Gleichung ist eine exponentiell wachsende Funktion.
p0=P0*r**t=P0*exp(ln(r)*t)

Kann dies ein physikalischer Vorgang sein ?
Es gibt keine unbescharaenkte Groesse. Auch unbeschraenktes Wachstum existiert daher real nicht. Man wuerde von einem instabilen Systrem reden. Die komplette Verhulst Gleichung oder Varianten davon stecken damit sicherlich in vielen physikalischen Vorgaengen. Allerdings muessen diese dann diskretisiert sein.
ciao

Eigentlich bräuchte ich nur ein Anwendungsbeispiel damit ich eine Geschichte in meinem Vortrag erzählen kann und danach will ich mit der Formel rechnen

Hat irgendjemand eine Idee??


mfg

Exponentielles Anwachsen taucht in der Physik z.B. auf bei:

- Lawinenabgang
- bei nuklearer Kettenreaktionen (Atombombe)

Da, wie Richy schon sagt, unbegrenztes exponentielles Anwachsen nicht möglich ist (die Lawine wird nicht unendlich groß, die Menge des spaltbaren Materials ist endlich), könnte man einen Dämpfungsterm ähnlich dem in der Populationsgleichung einfügen. Die oben beschriebenen Systeme dürften aber nicht das chaotische Verhalten der Populationsgleichung zeigen, sondern eher ein wohldefiniertes Anwachsen und danach wieder Abklingen (bei der Kettenreaktion) bzw. konstante Schneemenge pro Zeit (bei der Lawine).

Das chaotische Verhalten der Populationsgleichung könnte ein Resultat der Diskretisierung sein - bin mir aber dessen nicht sicher.

Das klassische Beispiel für chaotisches Verhalten in der Physik ist Turbulenz. Dort taucht aber die Populationsgleichung nicht auf.

heiß das unbeschränktes wachstum auf der erde ist nicht möglich?
(es sei denn mann nutzt "externe" Rohstoffquellen?

Also ich will eigentlich den Schmetterlingseffekt zeigen, der auftritt wenn man mit dieser Formel auf verschiedenen Taschenrechner von versch. Herstellern rechnet...

Nun brauch ich halt etwas was zu Physik passt

Aber wie soll das mit der Lawine funktionieren?

Wenn die ihr Masse vermehrt bis z.b. kein Geröll mehr da ist und sie wieder kleiner wird wie soll sie danach wieder wachsen??

Oder versteh ich da was falsch?

mfg

@roger
wozu gibt es wohl Kriege und Boersenchrash ?

@peter
ist mir auch eingefallen, dass physikalische Systeme stueckweise schon exponentiell wachsen koennen. Eben solange bis abrupt der Prozess abbricht, weil eben die Schneemenge oder Menge an spaltbarem Material nicht unbegrenzt ist. Mein Argument ist also nicht so ganz schluessig.

Mir faellt im Moment leider auch kein PHYSIKALISCHER Prozess ein, bei dem die Verhuslt Gleichung eine Rolle spielt. Die entsprechnden kontinuierlichen Gleichungen, also die "Verhulst Differentialgleichungen", sind dazu noch analytisch loesbar. Koennen damit auch kein chaotisches Verhalten beschreiben.

> Das chaotische Verhalten der Populationsgleichung könnte ein Resultat > der Diskretisierung sein - bin mir aber dessen nicht sicher.

Darueber habe ich mir hier ja auch schon zur Genuege den Kopf zerbrochen, ohne das wohl jemand verstanden hat ueber was :-)
Das Doppelpendel waere ein Beispiel fuer ein kontinuierliches chaotisches System. Aber dessen Gleichungen sind analytisch nicht loesbar.
Und wenn man die Gleichungen simuliert diskretisiert man sie.
Man koennte behaupten Raum und Zeit sind an fuer sich diskret.
Gibts vielleicht doch einen "Beweis" fuer kontinuielrliche Systeme mit
chaotischem Verhalten ?
@bembelimen
Wie gesagt; die kontinuierliche Form der Verhulst Gleichung ist analytisch loesbar. Also kein Kandidat fuer ein Beispiel mit chaotischem Verhalten.
Speziell fuer diese Gleichung muesstest du also einen diskreten Prozess suchen.

ciao



Beitrag bearbeitet (16.06.05 19:26)

Vielleicht mal eine etwas andere Betrachtungsweise:
Die Verhulstgleichung ist eine (relativ) einfache Gleichung, bei der chaotisches Verhalten auftritt. Das Tolle daran ist, dass es ÜBERHAUPT einen Vorgang aus dem täglichen Leben gibt, der sich damit zumindest theoretisch modellieren lässt - nämlich die Story mit der Insektenpopulation. Ich glaube nicht, dass ein Insektologe die Verhulstgleichung verwendet - für den reicht die Erkenntnis, an der auch die Chaosforscher primär interessiert sind, dass ab einer bestimmten Vermehrungsrate die Populationsgröße nicht mehr vorhersagbar ist.

Es dürfte schwer sein, einen physikalischen Prozess zu finden, der durch die Verhulstgleichung beschrieben wird. In der Regel sind es andere nichtlinearen Gleichungen, die in der Physik die zum Chaos führen.

@richy

R: Gibts vielleicht doch einen "Beweis" fuer kontinuielrliche Systeme mit
chaotischem Verhalten ?

Hmmm, interessante Frage. Ich glaube nicht, dass "analytisch lösbar" und "chaotisch" unbedingt etwas miteinander zu tun haben müssen. "Chaotisch" heißt ja, kleine Abweichung -> große Wirkung. Um das zu testen könnte man eine kleine Störung epsilon addieren und danach Taylorentwickeln.... Was aber sind die notwendigen und hinreichenden Kriterien für Chaos?

@peter
> Ich glaube nicht, dass "analytisch lösbar" und "chaotisch"
>unbedingt etwas miteinander zu tun haben müssen.

Ich meine eben dass "analytisch lösbar" eine chaotische Lösung ausschliesst. (Reine Vermutung)
Alleine von der praktischen Vorstellung. Als Ergebnis einer analytischen Loesung erhalte ich eine Funktion. Wie sollte die dann im chaotischen Fall aussehen? Ich kenne keine Funktion die expizit eine Art Rauschen erzeugt.
Nehmen wir mal an, die Loesung waeren irgendwelche abgefahrenen Funktionen.Trotzdem waere anhand dieser eine Vorhersage des Prozesses moeglich. Solch eine Voerhersage schliesst ein chaotischer Prozess doch aber aus ? Stimmt, da muesste man erstmal nachschauen wie der Bergriff "chaotisch" ueblicherweise definiert ist.
Der Ljapunov wird hierfuer gerne verwendet. Wenn man dessen Herleitung bischen naeher anschaut ist dessen Ansatz in der Tat die Aenderung der Loesung bei kleinen Aenderung der Anfangsbedingungen.

> Was aber sind die notwendigen und hinreichenden Kriterien für Chaos?

Auch das schon scheint mir eine schwierige Frage.

Notwendigen: Nichtlineares System.
quantisiert oder kontinuierlich ?
Welche Rolle spielt dabei das Doppelpendel ?
Dazu muesste man nach meiner Meinung zuerst entscheiden ob der Raum quantisiert ist oder kontinuierlich.
Haette eine quantisierung auf atomarer Ebene ueberhaupt eine Auswirkung ?
Rechner Simulation und reales Experiment waeren im Grunde nur fuer diesen Fall vergleichbar. Hm da gibts aber noch den Satz von Lax Wendroff ueber die Konvergenz diskreter Systeme.
Ideal waere es die Differenzialgleichungen des Doppelpendels loesen zu koennen. Sorry ich drehe mich da immer im Kreis.

hinreichend ? Vielleicht die Periodenverdopplung ein Ansatz. Oder irrationale Verhaeltnisse ?

ciao
richy



Beitrag bearbeitet (17.06.05 13:51)

Nunja mein Referat soll eigentlich nur max 20 min gehen ;-)

Könnt ihr mir ein paar einfache nichtlineare Gleichungen in der Physik sagen und mir die Anwendungsbereiche nennen wäre echt nett

Danke

mfg

Man kann sich auch noch eine recht abgefahrene Interpretation der Gleichung ausdenken. Dazu setzt man fuer x(n) den Wahrheitsgehalt w(n)von etwas.
w(n)=1 etwas ist wahr
w(n)=0 etwas ist falsch

Beispiel:
DIESER SATZ IST FALSCH

Anfangswert des Wahrheitsgehaltes des Satzes liefert der Satz ja selbst.
Der Satz behauptet von sich er sei falsch,
also w(0)=0
wenn der Satz aber falsch ist, dann muss das Gegenteil seiner Aussage angenommen.
also w(1)=1
... na dann ist er ja doch falsch :-)
also w(2)=0

Diese logische Falle ist natuerlich altbekannt vielleicht neu, dass man diese auch als Differenzengleichung schreiben kann:
w(k+1)=nicht(w(k))=(1-w(k))

Die Verhulst Gleichung waere dann in solch einer Schreibweise:
w(k+1)=r UND w(k) UND nicht(w(k))

oder als Satz hmmm wie geht das mit Fuzzy Logig besser ? :-)
DIESER SATZ IST FAST WAHR
DER WAHRHEITSGEHALT DIESES SATZES IST SO WIE DER DES VORHERIGEN UND DAS STIMMT NICHT ! UND r :-)

... also das blos mal zum Spass
hat jemand ne bessere Idee wie man das formulieren koennte ?

@bembeli
Ein Aufhaenger nach meinem Geschmack fuer das Thema waere also:
Liebe Zuhoerer,
Ich werde ihnen in diesem kleinen Vortrag nur Halbwahrheiten erzaehlen. w(0)=0.5
Und alles was ich ihnen erzaehlen werde wird so wahr sein wie das zuvor gesagte und es wird nicht so wahr sein wie das zuvor gesagte und r !
( Simultan die Verhulst Gleichung anpinseln)
:-)
Allerdings kann sein dass du dann gleich in die Klapse kommst.
Zu meiner Schul- und Studienzeit kam so was leider NICHT gut an.
ciao richy



Beitrag bearbeitet (18.06.05 13:09)

Ich hab mal gestern Nacht noch ein bisschen überlegt und hab nochmal ne blöde frage (für die spötter unter euch sogar noch blöder als die erste *grins*)

Eigentlich hat ja eine Wettersimulation etws mit Physik zutun (wenn man lange genug sucht^^)

Annahme:

eine bestimmte Anzahl von Teilchen (z.B Wasser??!!) verursachen regen.
Diese teilchen bauen sich in der Luft auf und wenn es regnet bauen sie sich wieder ab.
aber es kann auch sein dass es regnet, wenn ganz wenige teilchen in der Luft sind oder ganz viele.
Aber bei 100% der Teilchen regnet es auf jeden fall
Nun zur Verhulst`sche Formel:

P1=P0+r*P0*(1-P0)

Ich hab einen Anfangswert (P0) von 0,1 also mit 10 % Wahrscheinlichkeit regnets.
Die Änderungsrate definier ich mal r=3

OK jetzt setzt ich das alles ein:

P1=0,1+3*0,1*(1-0,1)
=0,37

P2=0,37+3*0,37*(1-0,37)
=1,0693

P3=1,0693+3*1,0693*(1-1,0693)
=0,84699253

P4= nun wirds bei mir ungenau kommt aber ca.1,23578108237 raus

usw.

Nun meine oben erwähnte Frage:

Ist das richtig gedacht oder ist irgendwo ein Denkfehler(passiert mir öfters :-))

mfg bembelimen

Ich muss eigentlich keine Formel nehmen aber halt 20 min halten dann dachte ich mir hy wiso 20 min halten ich kann sie doch 10 min rechnen lassen und da ich gerade "Bausteine des Chaos" las stolperte ich halt über diese FORMEL

Zu dem Entgegenwirken:

Wenn ich bei 100% regenwarscheinlichkeit angelangt bin dan regnet es doch und der Wert sinkt ist das nicht entgegengewirkt???

Und hab ich das richtig verstanden der einzige unterschied zwischen den 2 Formeln ist, dass x max 1 erreichen kan und bei mir (je nach r) jede beliebige zahl??


Edit:

Ich hab nochmal geschaut ich komm auf die Formel indem ich die änderungsrate ausrechne:

r=(P(n+1)-P(n))/P(n)

und nach pn+1 auflöse

Für die begrenzung mach ich dann (1-Pn) drann

Also z.B.


Pn=2 Pn+1=8 einsetzen

r=3



Beitrag bearbeitet (19.06.05 20:32)

Wird die Regenwahrscheinlichkeit geringer wenn es regnet ?
Du denkst wohl eher an die Moeglichkeit die Peter hier auch schon
gezeigt hat. Irgendwann ist die "Wassermenge" in der Luft aufgebraucht.
Das ist eher eine Begrenzung, keine Regelung.

> der einzige unterschied zwischen den 2 Formeln ist, dass x max 1
> erreichen kann und bei mir (je nach r) jede beliebige zahl??

Njein. Man kann die Formel B ja aehnlich wie A anschreiben.
Inwiefern die Grenze (1-1/r) sich auf das sonstige Verhalten auswirkt ?
Wahrscheinlich wenig. Muesstest aber alles neu untersuchen, bevor
Du Ergebnisse der Form A uebernimmt.

Wuerde Dir zu der Form A raten, da sie eben guenstig normiert ist und allgemein ueblich.

Beispiel:
Dein Taschenrechnerexperiment wird nur funktionieren, wenn du r so waehlst, dass die Gleichung chaotisches Verhalten aufweist.
Fuer Formel A gibt es Berechnungen wann der chaotische Bereich anfaengt. Jenseits des Feigenbaumpunktes. r>3.569
Ob dies auch fuer Form B gilt ? Weiss das auch nicht aus dem Stehgreif.
Mit A waehlst du den einfacheren Weg.
ciao richy



Beitrag bearbeitet (21.06.05 00:05)

richy schrieb:

Wird die Regenwahrscheinlichkeit geringer wenn es regnet ?
Du denkst wohl eher an die Moeglichkeit die Peter hier auch schon
gezeigt hat. Irgendwann ist die "Wassermenge" in der Luft aufgebraucht.
Das ist eher eine Begrenzung, keine Regelung.


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Was ist der unterschied??? aber das ist doch wie eine sinuskurfe oder???

Wenn es geregnet hat wird es wahrscheinlich mehrere Tage nichtmehr regnen.

Und dann wenn genug wieder vorrätig ist regnet es wieder