Kubikwurzel
01. May 2005 18:02
Hallo ihr !!!

Ich hab ein großes scheinbar unlösbares Problem.
Ich hab eine Funktion :

f(x)= 20x - (x * Kubikwurzl aus x + 10000)

Ich brauche davon die 1. und 2. Ableitung,
sowie Nullstellen und Extrema.
Kann mir jemand helfen?
Re: Kubikwurzel
02. May 2005 00:25
f(x)=20x- x*x**(1/3) - 10000
Hoffe du hast die Klammer richtig geschrieben (** und ^ bedeuten hoch)
Vermute mal fast du hast die Klammer falsch gesetzt,
denn x*x**(1/3) ist einfach x**4/3
f(x)=20x-x**4/3-10000

Beachten:
dx**n/dx= n*x**(n-1)

1.Ableitung:
20-4/3*x ** (4/3-1)=
20-4/3*x**(1/3);
*************

2.Ableitung:
-4/3 * 1/3 * x**(-2/3) =
-4/9*x**(-2/3)
*************

Nullstelle :
Mit der Substitution g=x**(1/3) siehst du, dass die Funktion von der Form
g**4, g**3 ist.
20g**3 - g**4 -10 000 =0;
hier kann man eine NS erraten: g=10
20 000 -10 000 -10 000 =0;

Die Funktion hat also ruecksubstituiert eine reele Nullstelle
bei x=1000
*********
Jetzt kann man den Grad der g-Gleichung mittels Polynomdivison auf 3
reduzieren.
(20g**3 - g**4 -10 000) / (g-10) =
-g^3+10*g^2+100*g+1000
Die Nustellen dieser Gleichung von Hand zu bestimmen ist aufwendig.
aber moeglich. es ergibt sich eine reelle sowie zwei komplexe Nullstellen.
Mittels Maple berechnet und ruecksubstituiert:

Die 2 te reelle Nullstelle lautet:
4000/3+
10*(10/3*(19+3*33^(1/2))^(1/3)+
40/3/(19+3*33^(1/2))^(1/3)+10/3)^2+
1000/3*(19+3*33^(1/2))^(1/3)+
4000/3/(19+3*33^(1/2))^(1/3)

Die 2 te Nullstelle ist etwa
6222.262522
***********

Extrema
df/dx=0
x**(1/3)=15, x=3375

In 2 te Ableitung
-4/9 3375 ** (-2/3) ist kleiner Null

3375 ist also das Maximum der Funktion
********************************
Wann wird die Funktion komplex ?
Eine komplexe Zahl laesst sich mit der Formel von Moivre schreiben als:
z=abs(z)*exp(I*a)
a=arg(z)=arctan(im/re)

Angewendet auf eine n-te Wurzel:
z**(1/n)=abs(z)**1/n*exp(I*a/n)

In der komplexen Zahlenebene bewirkt die n-te Wurzel also neben der
Betragsaenderung eine Division des Winkels a=arg(z) durch n.
Fuer reelle positive Zahlen ist der Winkel gleich 0, dass Ergebnis also
in jedem Fall nicht komplex.
Fuer negative reelle Zahlen ist der Winkel Pi. Zieht man die Wurzel wird der
Winkel Pi/2. Die Wurzel also rein imaginaer.
Bei der Kubikwurzel wird der Winkel Pi/3. Die Kubikwurzel einer neg. Zahl ist also komplex. Die Kubikwurzel einer positiven reellen Zahl bleibt reell.

Die Funktion wird also fuer x<0 komplex. f(x) ist -10000 fuer x=0 .



Beitrag bearbeitet (02.05.05 13:40)
Re: Kubikwurzel
02. May 2005 18:37
Die Kubikwurzel einer negativen Zahl ist nicht immer komplex ,
bei negativen ungraden Zahlen ist sie reell . BSP: -1^(1/3) = - 1
Wieso das mit der Formel so nicht hinkommt weiß ich nicht :)

Ciau Ameise
Re: Kubikwurzel
02. May 2005 19:11
Stimmt gar nicht ! Eine Wurzel ist immer dann reell , wenn der Nenner vom
Exponent ungrade ist . Also sind alle Kubikwurzeln reell . Komplex wird´s
nur bei gradem Nenner . ;)
Peter
Re: Kubikwurzel
03. May 2005 09:19
@Richy

Wie verhaelt sich das mit irrationalen Wurzeln, also z.B.

y^Pi=1.

Ist hier jeder Punkt auf dem Kreis eine Loesung?

Gibt es irrationale Zahlen, die den Kreis nur partiell abdecken (also etwas wie eine gebrochene Dimension)?
Re: Kubikwurzel
03. May 2005 17:40
:-) @Peter
Verstehe schon auf was du mit y^Pi=1 hinaus willst.
Eine Loesung ist natuerlich y=1. Aber wieviele Loesunge gibt es ueberhaupt bei einem Ausdruck y^Pi=1 ?
Ich vermute unendlich viele.
Argumentation:
y**Pi laesst sich um 1 in eine Taylorreihe entwickeln also ein Polynom unendlich hoher Ordnung.


Dazu wuerde ich die Problematik erstmal ganz anders angehen.
Nochmal das Beispiel z=(-1)^(1/3)
Das laesst sich umschreiben indem man auf der rechten Seite exp(ln(....) anwendet :

z=exp(1/3 ln(-1))
Der ln einer negativen Zahl ist mehrdeutig (periodisch) !
Hier stecken dann spaeter die Nebenwerte drin.
( Man muss aufpassen. Einige log Gesetze gelten im Komplexen nicht mehr)

**************************
ln() EINER KOMPLEXEN ZAHL
ln(z) = ln|z| + i*arg(z) + i*2*k*Pi, k=0,1,2,3 ....
**************************

z=exp( 1/3*[ ln(1) + iarg(-1) + i*2*k*Pi] )
... mit arg(-1)=Pi, ln(1)=0
z=exp( 1/3*[ i*Pi + i*2*k*Pi] )
z=exp( i*Pi*(1+2*k)/3 )
*********************
den Index k nun laufen lassen und Moivre rueckwaerts: expi=CiS
k=0 ist der Hauptwert :

k=0: z=exp(i*1*Pi/3)=cos(Pi/3)+i*sin(Pi/3)=1/2+1/2*i*sqrt(3)
k=1: z=exp(i*3*Pi/3)=cos(Pi)+i*sin(Pi)=-1
k=2: z=exp(i*5*Pi/3)=cos(5*Pi/3)+i*sin(5*Pi/3)=1/2-1/2*i*sqrt(3)

Das bestaetigt die Ergebnisse.

Mit der Methode kann an nun versuchen 1=y**Pi anzugehen
Erstmal noch allgemeiner:
z=y**Pi Da wir die Wurzeln suchen: y=z**(1/Pi)

y=exp( 1/Pi*[ ln|z| + iarg(z) + i*2*k*Pi] )

Der Fall z=1, y= 1**(1/Pi)

y=exp( 1/Pi*[ ln|1| + iarg(1) + i*2*k*Pi] )
y=exp( 1/Pi*[ i*2*k*Pi )
y=exp(i*2*k)
Hauptwert k=0:
y=1
***
Nebenwerte:
exp(2*i), exp(4*i), exp(6*i), exp(8*i) ......

Allerdings macht man die Probe, erhaelt man nur fuer exp(2*i)**Pi den Wert 1. Jemand ne Idee ?
ciao



Beitrag bearbeitet (03.05.05 17:47)
Peter
Re: Kubikwurzel
04. May 2005 10:02
@Richy

Ok, ich habs. Man muss die Exponentialdarstellung verwenden.

Erst mal zum ueben: z^3=1
mit z=r*exp(i*phi) heisst das 1=r^3*exp(3i*phi)=r^3*(cos(3*phi)+i*sin(3*phi))

Imaginaerteil: 0=sin(3*phi) -> Loesung 3*phi=k*pi mit k=0,1,2,3....
Realteil: 1=r^3*cos(3*phi); Einsetzen 1=r^3*cos(k*pi)
-> Loesung: fuer k gerade ist der cos 1, r=1
fuer k ungerade ist der cos -1, der Fall entfaellt da r positiv
-> k=0,2,4...; phi=0, 2/3 pi, 4/3 pi und ab hier geht es wieder von vorne los
Es gibt also drei Loesungen, wie es sein muss.



Jetzt das Interessante: z^pi=1
Analog oben:
Imaginaerteil: 0=sin(pi*phi), ->phi=0,1,2,....
Realteil: r^pi*cos(pi*phi)=1 -> r=1 und wieder entfallen die ungeraden
Also phi=0,2,4,6......

Da sich hier nichts wiederholt, gibt es also undendlich viele Wurzeln, die gleichmaessig auf dem Kreis verteilt sind. Da es nur abzaehlbar unendlich viele sind, bedecken sie den Kreis aber nicht (Lesbeque-Mass ist 0). z^e=1 hat auch unendlich viele Wurzeln und trotzdem nur die 1 gemeinsam mit z^pi=1.

Gruesse,

Peter
Peter
Re: Kubikwurzel
04. May 2005 10:53
@Richy

...habe jetzt erst dein Ergebnis gesehen.

Meiner Meinung nach gibt es kein Problem mit der Probe:
z.B. z=exp(8*i)
z^Pi=exp(8*pi*i)=cos(8*pi)+i*sin(8*pi)=1 -> funktioniert.


Interessant ist noch die Frage, ob man das Zahlensystem so erweitern kann (z.B. um die Menge der irren Zahlen), dass es Loesungen mit vollstaendiger Kreisbedeckung gibt. ;-)

Das muesste tatsaechlich funktionieren, wenn man als Loesung des cos und sin nicht nur die natuerlichen Zahlen, sondern auch die uebernatuerlichen Zahlen zulaesst (diese Zahlen haben unendlich viele Stellen VOR dem Komma - wie immer man sich das auch vorstellen mag.). Dann gibt es ueberabzaehlbar viele Wurzeln und 1=z^e und 1=z^pi haben die selbe Loesungsmenge.
Re: Kubikwurzel
04. May 2005 17:55
Hi Peter
Vielen Dank fuer den Hinweis. Klar, die Probe fuehrt man am Besten auch in der exp Darstellung durch. Dann wirds einfach und exp(2ki) k=1,2,3 ...
sind tatsaechlich die Nebenwerteder Wurzel 1**(1/Pi). Davon gibt es unendlich viele auf dem Einheitskreis. Aber die sind abzaehlbar, weil jedem Nebenwert eine natuerliche Zahl zugeordnet werden kann.
Das mit den irren Zahlen verstehe ich nicht. Willst du den Index k aus dieser Zahlenmenge waehlen ? Wie koennte man dies rechtfertigen ?

Das Thema 1**(1/x) passt eigentlich ganz gut zur Chaostheorie.
fuer x element natuerliche Zahl kann man die Periodizitaet als Resonanz interpretieren. In unserem Sonnensystem waeren solche ganzzahligen Verhaeltnisse fatal. Die Resonanz wuerde zu instabilitaet fuehren.

Schon klar warum du gleich eine irrationale Zahl (Pi) als Exponent genommen hast :-) Eine rationale Zahl koennte man ja als Bruch schreiben. Wieviele Nebenwerte gibt es allgemein in diesem Fall ?
1**(a/b)


Interessant ist auch der Grad der Irrationalitaet einer Zahl. Der goldene Schnitt ist z.B. die Irrationalste aller Zahlen.
[url=http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/golden/index.htm]goldener Schnitt [/url]
Wie wirkt sich dies in unserem Beispiel aus ?
Kommen "weniger" irrationale Zahlen bei ihrer Rundfahrt auf dem Einheitskreis naeher an "gefaehrliche" Stellen an denen die Periodizitaet lauert ? (Es muss nicht immer das Chaos lauern :-)

Konkret kommen Ausdruecke der Form y**x, x element R, auch bei der Betrachtung fraktaler, also ungeradzahliger Ableitungen vor.
Die Foeriertransformierte eines solchen fraktalen Differentialoperators hat dann die Form w**x. Recht interessante Sache so ne drittel Ableitung :-)

Weitere nette Frage:
Was erhalte ich wenn ich 1 unendlich mal mit sich selbst multipliziere ?
Also limit(n=infinity, 1^n)

ciao
richy.

PS:

> Ich brauche davon die 1. und 2. Ableitung,

Hat sich an den Schulen eigentlich etwas veraendert ?
Kommt mir hier manchmal so vor als ob Gleichungen wie eine Ware behandelt werden.
Loesungen werden nicht berechnet, sondern es wird Information beschafft.
Versteht ihr was ich meine ?
...
Meine Cheffe hat mir BMW aus Deutschlang geliefert.
Benoetige Schluessel, gefaelschte Papiere, Farbe zum umlackieren :-)



Beitrag bearbeitet (04.05.05 18:38)
Peter
Re: Kubikwurzel
06. May 2005 10:30
Hi Richy,

>Willst du den Index k aus dieser Zahlenmenge waehlen ? Wie koennte man dies rechtfertigen ?

0=sin(k*pi) hat alle natuerlichen und uebernatuerlichen Zahlen als Loesung. Das Wort 'Index' trifft es dann nicht mehr so gut. Ob das sinnvoll ist oder nicht, haengt davon ab, ob du die uebernatuerlichen Zahlen als Zahlen gelten lassen willst. Sie tauchen im Zusammenhang mit Goedels Unvollstaendigkeitssatz auf. Der Beweis funktioniert so aehnlich wie der Unvollstaendigkeitsbeweis fuer rationale Zahlen: Man nummeriert die Zahlen durch und konstruiert eine konvergente Folge, deren Grenzwert sich von allen Zahlen mit Nummer unterscheidet. Goedel nummeriert Saetze durch und konstruiert eine Aussage, die nicht im Satzsystem vorkommt, also weder beweisbar noch widerlegbar ist. Der 'Index' einer solchen Aussage entspricht einer uebernatuerliche Zahl.

>Interessant ist auch der Grad der Irrationalitaet einer Zahl. ...

:-)
Ich habe die Vermutung, dass der Autor die Definition von 'Irrationalitaet' so gewaehlt hat, dass der goldene Schnitt auch wirklich der Gewinner ist.
Meinem intuitiven Irrationalitaetsmass zufolge sind Quadratwurzeln noch sehr nahe an der Grenze zur Rationalitaet - man kann sie ganz einfach durch die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit rationalen Kantenlaengen darstellen. (also 2D-Rationalitaet)
...uebrigens faellt mir gerade wieder die natuerlichste Zahl ein: 263 (2 treffen sich, ......., und am Ende sind es drei)


>Weitere nette Frage:
Was erhalte ich wenn ich 1 unendlich mal mit sich selbst multipliziere ?
Also limit(n=infinity, 1^n)

:-) Gute Frage. Um das Problem zu loesen, wuerde ich die Menge U der Unsichtbaren Zahlen definieren. Eine unsichtbare Zahl ist als 1/uebernatuerliche Zahl definiert, also fast 0 (also unsichtbar). Die perfekte 0 muesste man im Gegenzug natuerlich abschaffen und 1-0.999Periode ist nicht 0, sondern eine wohldefinierte unsichtbare Zahl. Deine Fragestellung in den neuen Formalismus uebersetzt heisst dann:

(1+u)^ue (u...unsichtbare zahl, ue..uebernatuerliche zahl)

Als Loesung kaemen reelle Zahlen, oder auch ueberreelle in Frage. (Schwer zu sagen)

Gruesse,

Peter
;)
Re: Kubikwurzel
01. November 2010 15:49
Kubikwurzel aus einem Bruch
02. January 2012 18:02
Hallo.
Kann mir irgend jemand helfen?
Ich soll die Kubikwurzel aus einem Bruch (27/64) ziehen, und ich habe null Plan.

Die konkrete Aufgabe heisst: Vereinfache durch teilweises Wurzelziehen!