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Dämpfungseigenschaft chaotischer Schwingungen mit Lyapunov Exponenten ermitteln?

geschrieben von pajofego 
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Hallo,

ich hätte da mal eine Frage:

Ich habe mehrere gemessene nicht periodische schwingende Zeitsignale eines Systems. Nun möchte ich herausfinden welche Systemkonfiguration die beste Dämpfung hat...dazu habe ich den größten Lyapunov Exponenten der einzelnen Zeitreihen ermittelt. Grundsätzlich sind alle L-Exponenten > 0. Kann ich diese jetzt miteinander vergleichen und z.B. sagen, dass mit steigendem L-Exponent, die Dämpfung des Systems niedriger ist?

Ist diese Annahme soweit in Ordnung oder ggf. komplett falsch oder fatal?

Danke,

und beste Grüße

pajofego
Re: Dämpfungseigenschaft chaotischer Schwingungen mit Lyapunov Exponenten ermitteln?
20. April 2005 04:58
Hi
Wie hast du denn den Ljapunov Exponenten bestimmt ?
Dies ist anhand der Daten eines Experiments nur dann in der bekannten Form moeglich, wenn der Prozess einer Differenzengleichung 1.ter Ordung
gehorcht. Ansonsten misst du Mist :-)
Auf meiner HP kanns Du einen Algo finden, um den LE fuer diesen Fall
aus Messwerten zu bestimmen.

[url=http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/le3.htm]LE numerisch[/url]



Auch in Fall, dass die Messwerte eine DGL 1 ter Ordung gehorchen,
muss einiges beachtet werden.
VIelleicht sollte man das erstmal klaeren.
ciao



Beitrag bearbeitet (20.04.05 05:00)
Hallo richy,

ich habe den LE mit dem Programmpaket Tisean von H. Kantz und T. Schreiber berechnet.

Wie finde ich denn heraus, ob meine gemessenen Daten eine DiffGl. 1. Ordnung gehorcht und ist meine o.g. Annahme denn dann in diesem Fall in Ordnung, d.h. größerer LE -> kleinere Dämpfung?

Gibt es evt. noch andere Kennziffer, die mir eine Aussage über die Dissipativität eines nichtlinearen Systems geben können.

Danke,

beste Grüße

pajofego
Re: Dämpfungseigenschaft chaotischer Schwingungen mit Lyapunov Exponenten ermitteln?
21. April 2005 11:54
Hi pajofego
Dieses Programmpaket kenne ich leider nicht. Im Moment kann ich zu deiner Frage auch blos Vermutungen angeben.

Eine einfache graphische Moeglichkeit um zu ueberpruefen ob die Zeitreihe aus einer Differenzengleichung erster Ordnung hervorgeht:
Stelle einfach mal Wertepaare (x=z(n),y=z(n+1)) graphisch dar.

Gilt die Abhaengigkeit z(n+1)=f( z(n) ) wird dann die Funktion f(z(n))
abgebildet. Jedenfalls den Teil der Funktion den z(n) durchlaeuft.
Eigentlich muesste dieses Programmpaket ja schon in irgendweinerform
solch einen Test durchfuehren.
Numerisch koennte man vielleicht auch die Autokorrelation der Wertereihe verwenden, um dies zu ueberpruefen. Aber das habe ich noch nicht getestet.
Die graphische Methode sollte auf jeden Fall funktionieren.

> größerer LE -> kleinere Dämpfung?

Auch hier kann ich nur raten :-)

Als Beispiel mal die Verhulst Gleichung:

1>a>0:
Fuer den Parameter konvergiert die Reihe gegen Null.
Das System ist quasi verlustbehaftet.

2>a>1:
Hier konvergiert die Reihe gegen (a-1)/a
Das System ist nachdem es den Attraktor erreicht hat daempfungsfrei.

Traegt man den Ljapunovexponent ueber sden Parameter a auf, so sieht man, dass in diesem Bereich scheinbar gilt: LE(1+s)=LE(1-s) s=0..1

Wenigstens fuer LE<=0, also im nichtchaotischen Bereich scheint mir der LE also keine geeignete Groesse um dein Problem zu loesen.


Wahrscheinlich waere es einfacher das ganze klassisch zu untersuchen.
Da das Signal chaotisch ist, sind wohl stochastische Kennwerte noetig.
Waere auch nicht schlecht, das Signal erstmal zu klassifizieren.
http://et.ti.uni-mannheim.de/content/lehre/et1/skript/et03.pdf
Es muss z.B. zwischen Energie und Leistungssignalen unterschieden
werden.
Ist dein System aktiv oder passiv? Ein Filter oder ein Generator ?
Gibt es eine Anregungsfunktion ?

Abschaetzung:
Man koennte die Energie des Signals fuer z.B. 10 Abtastwerte bestimmen, indem man summe( |signal**2, n+10)) bestimmt.
In diesen Intervallen die Energie(n) betrachten.
Aber sicherlich gibt es da besser und offiziellere Methoden.
Vielleicht stellt sogar die Autokorrelation schon die Loesung dar.
Die Energiedichte eines Signals ist die Autokorrelationsfunktion
der Fouriertransformierten des Signals. (FFT ALGOS gibts ueberall)
Die Gesammtenergie ist das Integral ueber die Frequenzen im Frequentbereich. hmm nach dem Theorem von Parseval ist das dann gleich dem Betragsquadrat des Signals im Frequenzbereich. Dachte das steht aber fuer eine Leistung ?
*kratz *kratz

Sag bitte bescheid ob du das Prob loesen konntest.Ist interessant.
ciao, viele Gruesse
richy



Beitrag bearbeitet (21.04.05 17:56)