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Verhulstgleichung einmal anders

geschrieben von Konrad 
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Mein Startwert beträgt 0,8 und ich habe jeweils 10000 Iterationsschritte laufen lassen. Grund: Ich wusste nicht, dass man standardmäßig 0,5 nimmt :D

Konrad hat geschrieben:
"Im Feigenbaumdiagramm ergeben die ersten Iterationen für 0,5 die hellgrünen Linien in Martins Darstellung. Es ist auch richtig, dass mit diesen Linien die "seltsamen" Häufungslinien genau beschrieben werden."

-> Wie das denn, ich erkenne da nicht so recht den Zusammenhang..
Re: Verhulstgleichung einmal anders
07. June 2005 10:12
Eigentlich ganz einfach:

Ein Startwert von 0,5 trifft auf den Scheitelpunkt der Parabel.

Ein von diesem Startwert etwas verschiedener Wert, wird nach der ersten Iteration ein Ergebnis geben, dass näher beim Ergebnis des Startwertes leigen wird. Weil die Parabel im Scheitel gar nicht und daneben nur wenig geneigt ist.

Ursprünglich gleichmässige verteilte Werte häufen sich also um den Scheitelpunkt, also um das Resultat eines Wertes von 0,5

in der nächsten Iteration trifft diese Häufung bei a>3 auf die steile Flanke der Parabel und wird wieder etwas zerrissen. Dafür treffen andere Werte nun auf den Scheitel der zweiten Parabel und häufen sich wiederum um einen Eingangswert von 0,5.
Re: Verhulstgleichung einmal anders
07. June 2005 10:40
Noch ein Bild.

Historp habe ich nun modifiziert. Es werden insgesamt 4 Startwerte 0,5 eingezeichnet.

Hier im Bild mit jeweils einer Iteration, ist oben rechts das Ergebnis nach 4 Iterationen zu sehen.

Die roten Linien im Bild rechts oben stellen also die Ergebnisse der 1., 2., 3., und 4. Iteration von 0,5 dar. Also das was man machen soll um die seltsamen Linien zu finden. Und tatsächlich, bei den roten Linien liegen Häufungen.
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Öffnen | Download - historp6.gif (68.7 KB)
Re: Verhulstgleichung einmal anders
07. June 2005 12:57
Ich hab nun auch mal einen Startwert von 0,8 eingesetzt (die rosa Linien)

Eine Übereinstimmung mit den Häufungen kann ich hier nicht erkennen.

Noch interessantere Linien ergibt ein Startwert von 0,9. Vielleicht suche ich mir mal eine Formel, die anders als die Verhulst Gleichung ein Maximum bei 0,9 hat...
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Öffnen | Download - historp7.gif (106.4 KB)
Re: Verhulstgleichung einmal anders
07. June 2005 13:30
Hier für die kubische Gleichung

y = a(y-y*y*y)

mit 0<a<2,60

und einem Startwert von 0,57735 (Wurzel (1/3)

Wie sich die Bilder doch gleichen...
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Öffnen | Download - FBAUM3.gif (24.8 KB)
Vielen Dank. Ich habe nun auf deine Ausführungen hin mal wieder selber ein wenig rumexperimentiert, da noch keine völlige Klarheit herrschte. Dabei habe ich Erlösung in relativ niedrigen Abweichungen vom Startwert 0,5 gefunden. *grins* Und so sind dann Bilder wie dieses hier entstanden, dieses ist für den Startwert 0,55. Das zeigt wie ich finde sehr schön den Zusammenhang zwischen den eigentlichen seltsamen Linien und meinen Linien der ersten Iterationen.
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Öffnen | Download - bifurkation4_0.55.gif (232.6 KB)
Ich habe jetzt mal mein Programm so erweitert, dass man über einen Schieberegler den Startwert von 0-1 in 0.01er-Schritten angeben kann (schrittweise über Mausrad) und sich in Abhängigkeit davon die Linien der ersten Iterationen anzeigen lassen kann. Das erklärt dann z.b. auch den "interessanten" Verlauf dieser Linien für Startwerte > 0,8.

Das Programm hab ich mal hochgeladen für alle die, die selbst damit rumspielen wollen:
http://www.mkl-soft.de/stuff/chaos.zip
Re: Verhulstgleichung einmal anders
08. June 2005 09:36
Hier haben wir das Bild dazu (fehlt leider im archivierten Thread)

Die Achse von vorne nach rechts ist a
Die Achse von vorne nach links ist der Startwert.

Wenn man bei Martins Programm den Startwert mittels Schieber verstellt, bewegt man sich in meinem Diagramm entlang der Achse vin der Mitte nach links.

Und die Kreuzungspunkte sind dann die Rippen oder Verstrebungen in meinem "Ferrari"

Und eine andere hier weiter oben gestellte Frage kann ich mir dann auch selber beantworten: Der grosse Kreuzungspunkt bei a=3,7 und y=0,7 lässt sich mit meinem Polstellenalgoryhtmus sicher bestimmen.
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Re: Verhulstgleichung einmal anders
08. June 2005 09:48
So und nun die Iterationsschritte 1-8 für einen ausgewählten Bereich in 3D

Kann schon beinahe als Kunst durchgegehen.
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Öffnen | Download - 1-8 als ferrarifigur.GIF (64.8 KB)
Hab das Programm nun nochmal so verbessert dass es nicht bei jeder Änderung alles komplett neu zeichnet.. das war ja nervig ^^

Und jetzt versuch ich mal hinter deinen roten Ferrari zu steigen..
Re: Verhulstgleichung einmal anders
08. June 2005 15:26
@Martin: Bau mal noch eine Anzeige für den Startwert mit ein. Das Abzählen ist etwas mühsam.

Zu dem Spinnenbild hier:

Der Kreuzungspunkt liegt exakt bei a = 10/3 = 3,333333333...

wie komme ich darauf?

Die exakte Lösung der Verhulst Gleichung lautet: y = 1-1/a

Ist der Startwert mit der exakten Lösung identisch, ergibt die Iteration selbstverständlich immer wieder den gleichen Wert (Auch wenn es ein instabiler Punkt ist)

mit y= 0,7 folgt a = 10/3

Ist der Startwert identisch mit einer Polstelle, so führt eine bestimmte Anzahl Iterationen zur exakten Lösung.

Also erster Schritt der Rückwärtsrechnung:

y= 1/a es folgt a = 10/7 = 1,4286

zweiter Schritt der Rückwärtsrechnung

y = (0,5 - ( 1/4 - 1/a**2 )**0,5) Lösung für y=0,7 a = 2,182
y = (0,5 + ( 1/4 - 1/a**2 )**0,5) keine Lösung für y=0,7
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Öffnen | Download - vollchaotisch2.GIF (23.9 KB)
Konrad hat geschrieben:
"@Martin: Bau mal noch eine Anzeige für den Startwert mit ein. Das Abzählen ist etwas mühsam."

Schon geschehen. =) Einfach die Datei nochmals herunterladen.
Re: Verhulstgleichung einmal anders
11. June 2005 00:09
Hallo,

endlich habe ich mir meinen grossen Wunsch erfüllt und ein umfassendes Feigenbaumtool programmiert.

Es kann:
- Den Feigenbaum natürlich
- Den Feigenbaum mit Wahrscheinlichkeiten
- für beides ist der Startwert und die Iterationstiefe wählbar
- zoomen. Sowohl in a als auch in y Richtung
- Linear oder Logarythmisch darstellen ebenfalls in beide Richtungen
- wahlweise die ersten 16 Iterationen darstellen (rote Linien)
- dieses auch mit unterschiedlichen Startwerten
- die Polstellen mittels Rückwärtsiteration bis in eine Tiefe von 10 (blaue Linien)

Eine Erkenntnis die oben schon mal diskutiert wurde: Die Linien der ersten Iterationen schneiden sich in Polstellen. Man kann nun mit meinem Tool gezielt Iterationen herausziehen. z.B. die fünfte und achte.

Eine weitere, mittlerweile auch schon oft diskutierte Erkenntnis: Die linien der ersten Iterationen mit einem Startwert von 0,5 decken sich mit den seltsamen Häufungslinien.

Eine Sache die mir beim Vergleich der 0,5er Iterationen mit den Polstellen aufgefallen ist: Immer dort wo neue Polstellen entstehen, sind auch Kreuzungen der ersten Iterationen

Und noch eine Sache: Durch die Mitte des großen Flecks (der mit dem 3er Zyklus) laufen die 3. , 6. , 9. etc. Iteration. Die anderen laufen aussenrum.

Genug für heute.

Wer das Prog will: E-Mail an mich.
@Richy: Veröffentlichung auf Deiner HP ist ok.

ABER:
1. ich bin jetzt erst mal 14 Tage weg, also Geduld
2. ich geb den Quellcode nicht raus.. Da steckt mir zu viel Arbeit drin.

konrad
Anhänge:
Öffnen | Download - feigenbaumplus.gif (109.5 KB)
Re: Verhulstgleichung einmal anders
11. June 2005 00:27
Dies zu meiner vorherigen Vermutung.

Die roten Linien kreuzen sich exakt bei dem a wo blaue Linien ihren Anfang haben.

Was ist daran das Besondere?

nun die roten Linien sind Polynome extrem hoher Ordnung. Ihre Kreuzungspunkte mathematisch exakt zu bestimmen ist sicher sehr schwierig. Eine numerische Näherung wäre die klassische Möglichkeit zur Bestimmung.

der Anfang der blauen Linien hingegen ist mit meiner Rückwärtsiteration mathematisch ganz einfach zu bestimmen. Ich hatte dies in diesem Forum bereits einmal lang und mit Bildern erklärt.
Anhänge:
Öffnen | Download - feigenbaumplus2.gif (119.4 KB)