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Verhulstgleichung einmal anders

geschrieben von Konrad 
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Verhulstgleichung einmal anders
07. April 2005 22:52
Hallo,
ich bin wieder einmal bei der Verhulst oder Populationsgleichung gelandet. (Auch als Feigenbaum bekannt)


Mich faszinieren immer wieder die darin sichtbaren Linien, die für unser Auge offensichtlich, für die Mathematik aber nicht existent sind.


Um diesen Linien einen Namen zu geben, nenne ich sie von nun an "seltsame" Linien


Um diese "seltsamen" Linien stärker hervorzuheben, habe ich eine Darstellung gewählt, bei dem nicht einfach jeder gefundene Punkt schwarz eingefärbt wird, sondern erst nach Abschluss aller Iterationen, die Punkte dunkler oder heller eingefärbt werden, je nach dem wie oft sie getroffen wurden.


ACHTUNG: Nicht missverstehen: selbstverständlich wird in den chaotischen Bereichen kein einziger Wert zweimal erreicht. Ansonsten wäre eine nicht chaotische Periode gefunden. Was ich meine, ist das einer der darstellenden Bildpunkte mehrfach getroffen wird.


Weiterhin habe ich eine doppeltlogarythmische, anstatt der sonst üblichen linearen Skalierung verwendet. Dadurch wird der interessante Bereich detaillierter dargestellt.


Als Denkanstoss ist die exakte Lösung der Verhulst Gleichung eingezeichnet. (die hellgrüne Linie). Ich finde es sehr interessant, wo sich diese mit den "seltsamen" Linien schneidet.


Als Orientierung sind links und unten Skalenstriche im Abstand von 0,1 eingezeichnet. Der Wertebereich der Darstellung reicht von y=0 bis y=1 und von a=1,5 bis a=4.0 Die Skalenstriche unten beginnen erst bei a=3,0


Ebenfalls ist oben eine Skalierung der Einfärbung angezeigt. Ganz rechts steht die Einfärbung des am meisten getroffenen Punktes, ganz links diejenige eines Punktes der nur 5% so oft wie der am meisten getroffene Punkt getroffen wurde.



Die Darstellung zeigt Folgendes:

Es ist zwar richtig, dass in den chaotischen Bereichen die Werte für y sich irgendwo im seltsamen Attraktor befinden. Es ist auch richtig, dass keine zwei Werte gleich gross sein dürfen. Es ist aber nicht richtig, dass die Werte gleichmässig verteilt sind. Vielmehr gibt es innerhalb des seltsamen Attraktors "beliebte" und "unbeliebte" Orte. Und die "beliebten" Orte bilden ein Muster, eben die "seltsamen" Linien.


Ich vermute dass diese "seltsamen" Linien irgendwie Verlängerungen der Arme der Bifurkationen sind.


Die "seltsamen" Linien haben vermutlich eine Dimension ungleich 1,0. Anders als bei einer ordentlichen Linie, liegen die Punkte nicht dicht an dicht hintereinander, sondern bilden eine "schnurförmige Wolke". Eben fraktal...


Es gibt einen ungemein interessanten Punkt bei a etwa=3,7 und y etwa=0,7. Der Punkt wird allerdings von keinem Wert je erreicht. Da er auch eine exakte Lösung bildet, würde die Iteration mit Erreichen des Punktes zu Ende sein.


Ich mach hier einfach mal einen Vergleich mit einem grossen Platz mit vielen Menschen:
- Es stehen keine zwei Menschen an genau dem gleichen Ort
- Es gibt Bereiche an denen mehr Menschen stehen. Z.B. bei einem Eisverkäufer.
- Es steht aber kein Mensch genau auf dem Ort wo der Wagen des Eisverkäufers steht.
- Es gibt Bereiche an denen nur wenige Menschen sind. Z.B. in der Mitte des Platzes.


So das wars erst einmal, hoffe auf rege Diskussion.
Konrad
Re: Verhulstgleichung einmal anders
07. April 2005 22:54
Huch, habe doch glatt das Bild vergessen.

Sorry
Konrad



Beitrag bearbeitet (07.04.05 22:54)
Anhänge:
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Re: Verhulstgleichung einmal anders
07. April 2005 22:55
Zum Vergleich, wie es ohne die Statistik aussehen würde. (Auch nur mit 100 statt 100000 Iterationsschritten

Konrad
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Öffnen | Download - ohne Statistik doppelt logarhytmisch.jpg (211.2 KB)
Re: Verhulstgleichung einmal anders
09. April 2005 14:47
Hi Konrad
Interessante Bilder.
> Linien ... die für unser Auge offensichtlich, für die Mathematik aber nicht
> existent sind ...
meinst Du das, weil es darueber keine Erklaerungen gibt ?

Zum einen ist klar, dass kein Punkt exakt zweimal getroffen werden kann. Es handelt sich ja um einen kontinuierlichen Wertevorrat. So ist auch die Wahrscheinlichkeit, dass z.B. ein Wagenrad exakt an einem Punkt stehen bleibt gleich Null, denn es gibt unendlich viele Punkte auf so einem Wagenrad. Wie in der Wahrscheinlichkeitstheorie muss man dann eben den Wertevorrat in Intervalle einteilen. So hast Du das wohl auch gemacht.

Die seltsamen Linien sind also Bereiche, in denen eine Haeufung bei der Iteration vorkommt.
Ich stelle mir das so vor. Fuer einen Attraktor (auch periodisch) gibt es eine notwendige Bedingung. Das waren die Schnitte der verketteten Uebertragungsfunktion mit der 45 Grad Linie. Die Bedingung ist notwendig aber nicht hinreichen. Es muss noch ein Konvergenzkriterium erfuellt werden, dass den Betrag der Ableitung der Funktion betrifft.
http://home.arcor.de/richardon/richy2001/mathe/chaos/analytic/ana9.htm

Wahrscheinlich bestehen die seltsamen Linien aus Punkten in denen zwar die notwendige Bedingung erfuellt ist, nicht aber das Konvergenzkriterium.
Man sieht auch, dass diese Fortsetzungen der Funktionen der Attraktoren sind.
Seltsamerweise tritt fuer den 2 er Zyklus solch eine Linie nicht auf. Schade, denn diesen kann man ja noch analytisch berechnen.
Wenn man genau hinschaut.
Es gibt ja 2 Bereiche im Feigenbaumdiagramm.
Der chaotische Bereicht beginnt jenseits des Feigenbaumpunktes.
Anscheinend gibt es nur seltsamen Linien fuer "ehemalige" Attraktorenfunktionen aus dem chatischen Bereich.

... Stimmt der Punkt bei a=3,7 stellt wohl eine Besonderheit dar. Sollte man vielleicht mal naeher untersuchen.

Der seltsame Punkt ist der Schnittpunkt zweier Berandungsfunktionen.
Leider auch nicht der 4 er Zyklus, denn auch der hat keine seltsame Linie. Es sieht so aus, als ob diese Berandungen beim Feigenbaumpunkt ihren Ursprung haben.
Das laesst wohl auf keine einfache Erklaerung hoffen.

Vielleicht kann man der Verhulst Gleichung doch noch etwas entlocken .
Yo jetzt aber erstmal wieder ne Hochzeit :-)
ciao
richy

Was haeltst Du von dem Beitrag ? :
http://www.chaostheorie.de/read.php?f=1&i=2214&t=2214



Beitrag bearbeitet (09.04.05 15:09)
Re: Verhulstgleichung einmal anders
09. April 2005 18:22
zu den Intervallen:
540 Punkte in der Höhe, also für den Bereich y=0 bis y=1.

Den 2er Zyklus habe ich hier hellblau markiert. Dank an Richy. Deine gut gemachte Homepage hilft schnell die entsprechenden Formeln zu finden.

In dem Bild habe ich 2 Flächen hellgrau markiert. Die Selbstähnlichkeit, eines der wichtigen Eigenschaften von Fraktalen fällt sofort auf.

Die seltsamen Linien (ich kann übrigens 11 sehen und vermute mindestens 16) scheinen ja Wellen zu bilden. Sie entspringen offenbar den Bifurkationsstellen, nur weiss ich noch nicht bei welcher Periodenverdopplung. (Dann könnte man ihre Anzahl bestimmen)

Bei den Wellenbergen und Wellentäler der seltsamen Linien liegen immer Inseln der Ordnung. Natürlich sind die Linien innerhalb der Inseln der Ordnung nicht fraktal. Hier lässt sich die Position der Linien bekanntlich mathematisch festlegen. Das sind übrigens auch die einzelnen dunklen Punkte die man erkennen kann. Da es unendlich viele Inseln der Ordnung gibt, solte es dann auch unendlich viele seltsamen Linien geben.

Kreuzungspunkte von seltsamen Linien scheinen tatsächlich immer auf den Fortsetzung der Attraktoren des nicht-chaotischen Bereichs zu liegen. Zumindest für die hier eingezeichnete genaue Lösung und die erste Bifurkation stimmt das exakt.

Die Sache mit den Primzahlen Iterationen wollte ich umgehend programmieren. Da stellte sich mir aber schon die erste grosse Frage?
Wann genau ist meine 1. Iteration???
Ganz am Anfang? kann eigentlich nicht, denn dann hat das System keine Zeit zum Einschwingen und die Werte sind sehr stark von dem willkürlich gewählten Anfangswert für y abhängig.
Nach 10, 100, 10000 oder etwa 47596 Vorlaufiterationen? Wer kann mir sagen wann es los geht?

Also ich glaube nicht, dass es eine Rolle spielt ob beim n-ten Iterationsschritt n eine Primzahl ist oder nicht. Aber vielleicht täusche ich mich. Die Chaostheorie ist bekanntlich oft überraschend.

Konrad

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Öffnen | Download - Fraktal.jpg (26.1 KB)
Re: Verhulstgleichung einmal anders
09. April 2005 19:11
Hmmmm, Wellen

die Nullstellen der Wellen liegen auf den ehemaligen Attraktoren.

es gibt immer zwei, die zusammengehören, so wie bei der Bifurkation

Die Umhüllenden der Wellen sind selbst wieder Wellen

Vielleicht unendlich viele Wellen, die in Ihrer Gesamtheit die komplette Feigenbaumgrafik enthalten?

Das ist doch was für unseren Meister der Töne.

Eine Idee: Was wäre, wenn man jeden Iterationswert nicht einem grafischen Bildpunkt, sondern einer Tonhöhe zuordnen würde. Wie klingt die Gesamtheit vieler Iterationsschritte (Für einen vorher festgelegten Wert für a) Für ein a im periodischen Bereich? Und für eines im chaotischen Bereich?
Re: Verhulstgleichung einmal anders
10. April 2005 11:13
Hallo,

Bücher sind was Gutes.... Wenn ich sie auch lesen, und nicht nur in den Schrank stellen würde.

"Chaos - Bausteine der Ordnung"

Hier steht ein guter Teil der Auflösung:

Zu der Entstehung der seltsamen Linien.
Diese sind tatsächlich Häufungen. Die Verhulst Gleichung ist bekanntlich eine Parabel. Ihr Scheitelpunkt liegt bei x=0,5
Man sollte sich nun vorstellen für gleichmässig verteilte Werte von x zwischen 0 und 1 jeweils genau eine Iteration durchzuführen.
1. Die Ergebnisse dieser ersten Iteration können nicht grösser sein als der Scheitelpunkt der Parabel.
2. da die Parabel im Scheitelpunkt sehr flach ist, werden die Ergebnisse von x Werten nahe 0,5 sehr nahe beieinander liegen. Also gehäuft vorkommen.
Das gleiche kann man auch mit zwei Iterationsschritten machen. Die Gleichung der Zwei Iterationsschritte ist eine Polynom 4ten Grades mit 3 scheitelpunkten, also 3 Häufungspunkten.

Zu der Bestimmung der seltsamen Linien (siehe auch Grafik)
Es werden, ausgehend von einem Startwert von 0,5 die Ergebnisse der nächsten Iterationen eingezeichnet. Im Bild der Iterationen 1-8.

Es ist nach wie vor klar, dass diese Linien abweisend sind, dass die Iteration also nie wieder dahin zurückkehrt (Mit Ausnahme des Superattraktiven Falls a=2, bei dem 0,5 bereits die Lösung darstellt)

So nun sollte sich der grosse Verschmelzungspunkt und Kreuzungspunkt auch mathematisch festlegen lassen. Er ist soll übrigens das chaotische Spiegelbild der ersten Periodenverdopplung darstellen.

Konrad
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Öffnen | Download - mit den exakten kritischen Linien.gif (88.2 KB)
Re: Verhulstgleichung einmal anders
12. April 2005 21:27
.... tatsaechlich ueberdecken sich die seltsamen Linien mit der Einschwingphase fuer den Startwert 0.5. Sind also mit der von Dir beschriebenen Methode recht einfach zu erzeugen.
Allerdings exzeugen auch andere Startwerte solche Wellenlinien.
Jedoch scheinen nur fuer den Startwert 0.5 diese mit den charakteristischen auffaelligen Linien die man im Feigenbaumdiagramm findet uebereinzustimmen.
Warum dem so ist verstehe ich noch nicht so ganz.
Ich habe auch mal folgenden Versuch gemacht:
Die Punkte des Feigenbaumdiagramms ohne Vorlauf abhaengig vom Iterationsschritt eingefaerbt. Man sieht dann, dass die seltsamen Linien nicht nur am Anfang der Iteration erzeugt werden. (Haette ja auch sein koennen)

Zu den Primzahlen. Der ablsolute Iterationsschritt kann hier wohl wirklich keine Rolle spielen. (Hatte das Faelschlicherweise ja auch mal vemutet)
Ein n faches Polynom steht ja vor allem fuer einen n fachen Zyklus.
In den Zyklen spielen die Primzahlen daher eine Rolle.

Zur Koordinatentransformation. mit y*=a*y kann man (a-1)/a linearisieren.
Ergibt aber wenig neue Erkenntnisse.
Ich bastle mal noch bischen rum :-)
ciao
richy
Re: Verhulstgleichung einmal anders
24. April 2005 23:11
Hallo,

in der Zwischenzeit habe ich mal ein bisschen programmiert.

herausgekommen ist ein kleines Programm, mit dem man für beliebiege Werte von a den Ablauf der Iteration ersehen kann.

Die Eingangswerte in die Allererste Iteration sind gleichmässig verteilt.
Der Eingangswert 0,5 wird rot eingefärbt.

Wenn p=1 wird links oben die erste, links unten die zweite, rechts unten die dritte und rechts oben die vierte Iteration dargestellt.

Wenn p=2 sind es die 2. , 4., 6., und 8. Iteration
Wenn p=3 die 3., 6., 9., und 12. Iteration.

Das Bild zeigt a=3,62 und p=1

Man sieht sofort die Häufung der Werte und die wahrscheinliche Ursache:

Nach der 1.Iteration häufen sich die Werte um den Scheitelpunkt der 1. Iteration. Diese Häufung bleibt im weiteren Verlauf bestehen. nach der 2.Iteration häufen sich auch noch Werte um den Scheitelpunkt der 2.Iteration, und auch diese bleiben bestehen. usw.

Der Scheitelpunkt steht aber für einen Eingangswert von 0,5 und somit läuft dieser spezielle Eingangswert immer neben den Häufungen her.

Ich sage bewusst "neben" denn da 0,5 genau den Scheitel trifft, liegen nach der Iteration keine anderen Ergebnisse über dem Ergebniss 0,5 (aber sehr viele direkt darunter). Die 0,5 Linie ist also die Begrenzung der Häufung.

Konrad
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Re: Verhulstgleichung einmal anders
24. April 2005 23:20
Hier noch das Ergebnis für a=3,62 und p=2
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Re: Verhulstgleichung einmal anders
24. April 2005 23:22
Und hier für p=20

Wer selbst mit meinem Programm spielen möchte: E-Mail an mich.

Konrad
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Re: Verhulstgleichung einmal anders
25. April 2005 00:08
Hallo,

wie von Richy gewünscht, eine Darstellung mit linearer, statt logarythmischer Teilung.

Klar, die erste kritische Linie ist eine Gerade.

Konrad
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Re: Verhulstgleichung einmal anders
26. April 2005 18:57
Hi Konrad
Raffinierte Darstellungsform
Klar das Programm bitte einmal per E-mail an mich.
Vielen Dank im Voraus
ciao
richy
Re: Verhulstgleichung einmal anders
26. April 2005 19:03
Eingefaerbt mit dargestelltem Vorlauf sieht das ganze wie im Anhang aus.
Naja man sieht nicht viel. Aber dass die Linien nicht wie der Vorlauf rein gelb sind. D.h. die Linien entstehen nicht nur aus dem Vorlauf sondern sind auch im Verlauf der weiteren Simulation Haeufungspunkte.
ciao



Beitrag bearbeitet (26.04.05 19:04)
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Gast
Re: Verhulstgleichung einmal anders
31. May 2005 17:42
Wie heißt die gewählte Darstellungsform der ersten vier Iterationen?
Historp - oder hat der Name der Grafikdateien nichts damit zu tun???
Re: Verhulstgleichung einmal anders
01. June 2005 01:52
@gast @all
Auf den Grafiken erkennt man leider gar nicht wie raffiniert die Darstellungsform von Konrad ist. Wenn man das Programm benutzt wird das viel klarer. Ist eigentlich selbserklaerend dann. Bischen sollte man wissen um was es geht. Kann das Programm auch den Facharbeitern nur waermstens empfehlen.
ciao
richy
Re: Verhulstgleichung einmal anders
01. June 2005 09:12
Habe ich mir selber ausgedacht.

Histor für History, also Geschichte

p für Polynome

Das Programm habe ich deshalb historp genannt
@Konrad: Könnte ich das Programm bitte auch haben? =)
Re: Verhulstgleichung einmal anders
07. June 2005 09:46
Zuerst eine ketzerische Frage an Martin: Mit welchem Startwert arbeite Dein Programm und warum gerade mit diesem? Die Antwort zum Schluss.


Ich habe zwei Programme gemacht: das eine, das eine Darstellung erzeugt wie Martin nachvollziehen konnte. Das andere, das den Ablauf einiger ausgewählte Iterationsschritte darstellt.

Schwarz eingefärbt: für einen beliebigen Startwert. (Dies könnte genau so gut ein Ergebnis eines x-beliebigen Iterationsschrittes sein) Resultat: die schwarzen Linien häufen sich an bestimmten Stellen.

Rot eingefärbt: für einen Startwert 0,5. Resultat: dieser Wert läuft immer neben einer Häufung her.

Im Feigenbaumdiagramm ergeben die ersten Iterationen für 0,5 die hellgrünen Linien in Martins Darstellung. Es ist auch richtig, dass mit diesen Linien die "seltsamen" Häufungslinien genau beschrieben werden.

Falsch ist diese Linien als temporäre Attraktoren zu bezeichnen. Ein Attraktor zeiht die Iterationswerte an. Hier ist das Gegenteil ist der Fall. Die Iterationswerte bewegen sich immer weg von diesen Werten und erreichen sie (mit Ausnahme des superattraktiven Falls a=2) nie mehr exakt wieder.


Und nun noch zur eingangs gestellten Frage:

Wie ich in diesem Forum schon des Öfteren betont habe, gibt es keinen Zwang den Startwert auf 0,5 festzulegen. Andere Startwerte ergeben in den ersten Iterationen zwar einen anderen Verlauf, nach einigen 1000 Iterationen ergibt sich (mit Ausnahme der Polstellen) aber genau das gleiche Bild wie mit einem Startwert 0,5.

Eine Analyse der ersten Iterationen kann deshalb nur in Zusammenhang mit dem Startwert erfolgen.

Konrad
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Re: Verhulstgleichung einmal anders
07. June 2005 09:55
Hier noch ein Bild, wo man sieht, was nach der 50, der 51, der 52 und der 53 Iteration los ist.

Man kann erkennen, dass nach 50 Iterationen gewisse Bereiche ganz ausgeschlossen sind, und andere bevorzugt werden.

in den folgenden Iterationen werden einzelne Ausreisser an den Scheitelpunkten konzentriert.

Andere Linien überlagern sich mit Häufungen vom anderen Ast der parabel, so dass sich die Häufung noch mehr vergrössert.

Dann treffen aber auch immer wieder Häufungen auf die steile Flanke der Parabel und werden wieder auseinander gerissen.

Konrad
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