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Zwillings Paradoxon

geschrieben von hempi 
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Zwillings Paradoxon
10. March 2005 16:04
Warum altert der der auf der Erde zurück bleibt schneller als der, der auf die Reise geht? Wenn man es Neutral beobachtet, vergeht doch bei beiden die gleiche Zeit (muss ja nicht Uhrzeit sein).
Raffnix
Re: Zwillings Paradoxon
10. March 2005 17:31
Naja also die Lichtgeschwindigkeit ist für jeden gleichschnell! (Einsteins Postulat, mehrfach bewiesen) So wenn nun aber ein Zwilling schneller ( VIEL schneller ) als der andere unterwegs ist dann nimmt er das Licht ja als langsamer wahr als sein (relativ) ruhender Zwilling. Da er zum beispiel mit 0,8c unterwgs sein könnte und dann das Licht an seinem Hi-Tech raumschiff anmacht und es sich dann nurnoch mit 0,2c von ihm entfernt??? Das wäre ein Verstoß gegen das Postulat.
Nun lößt die Natur dieses Problem so, das sich die Zeiz von unserem wahnsinnig schnellen Zwilliung so verlangsamt, das er das Licht wieder als konstant c wahrnimmt.. wie übrigens sein ruhender Zwillingsbruder auf der Erde.

Schau dir mal die "Lorenz-Transforamtionen" an das sind die Gleichungen, die dieses Verhalten beschreiben.

Es verzerrt sich übringens nicht nur die zeit sondern auch der Raum und die Masse

jaja.. das nie endende Problem mit Einstein...
Fragender
Re: Zwillings Paradoxon
12. March 2005 11:40
Hi Richy,

Stimmt. Für den Erdbruder ist bei der Beobachtung der Schwester vollkommen unrelevant, ob sie beschleunigt wird oder nicht. Lediglich die Relativgeschwindigkeit ist entscheidend. Da sich die Zwillinge am Ende wieder auf der Erde treffen ist das Intertialsystem des Bruders ausgezeichnet - als das Intertialsystem, in dem die Messung vorgenommen wird. Was im System der Schwester passiert, kann man mit der speziellen Relativitätstheorie nicht sagen - auf jeden Fall sind die Bezugssysteme nicht symmetrisch.
Also das Zwillingsparadoxon funktioniert doch...
Stefan
Re: Zwillings Paradoxon
16. March 2005 21:51
Die Zeitdilation beschreibt ein aus der Speziellen Relativitätstheorie resultierendes Phänomen. Dieses Phänomen beschäftigt sich mit der Relativität der Zeit.

Nach der Speziellen Relativitätstheorie ist unsere alltägliche Anschauung der Zeit falsch. Unter alltäglich ist hier die Vorstellung zu verstehen, das die Zeit absolut ist und für jeden und in jeder Situation gleich verläuft. Diese Anschauung welche der Zeit, wie wir sie alltäglich erleben, gerecht wird, stimmt nur in Inertialsystemen mit einer relativ geringen Geschwindigkeit zueinander3.

Der Speziellen Relativitätstheorie zufolge gibt es zum Beispiel keine absolute Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse und die Zeit verläuft in relativ zueinander bewegten Inertialsystemen verschieden schnell.

Herleitung der Zeitdilation

Die Grundannahme für die Überlegungen, die zur Zeitdilation führen, ist das das Licht sich in jedem Inertialsystem mit der gleichen Geschwindigkeit (c = c' ≈ 299792 km/s) bewegt. Sich die Geschwindigkeit des Lichtes also nicht mit der Geschwindigkeit des Inertialsystemes addiert (c' ≠ c + v), wenn sich das inertialsystem in einem anderen mit der Geschwindigkeit v bewegt. Da sich eine Geschwindigkeit aber aus Weg durch Zeit zusammensetzt, müssen Raum (Weg) oder Zeit in einem beschleunigten Inertialsystem anders verlaufen.

Hierzu überlege man sich nun folgendes Gedankenexperiment.
Man baut eine so genannte Lichtuhr, diese besteht aus zwei sich parallel gegenüberliegenden Spiegeln zwischen denen ein Lichtstrahl immer wieder reflektiert wird. Jedes mal, wenn der Lichtstrahl an einem der beiden Spiegel ankommt, tickt die Uhr4. Nun setzt man diese Lichtuhr in ein bewegtes Inertialsystem, das sich wiederum in einem ruhenden Inertialsystem befindet.
Ein Beobachter, der sich nun im bewegten Inertialsystem befindet würde beobachten, dass das licht eine bestimmte Zeit (t') braucht um von einem Spiegel zum anderen zu gelangen diese Zeit könnte er berechnen mit t' = L / c (Formel 1). L entspricht hier der Strecke zwischen den beiden Spiegeln.

Ein Beobachter im unbewegen Inertialsystem hingegen würde etwas ganz anderes beobachten. Er würde beobachten, dass sich die Spiegel in der Zeit die das Licht braucht um von einen Spiegel zum anderen zu gelangen mit um die Strecke v * t fortbewegen. Die Strecke, die nun zwischen dem reflektieren des Lichtes an einem Spiegel, bis zum gegenüberliegenden Spiegel liegt ist nun länger. Sie lässt sich mit Hilfe des Pythagoras berechnen. ((v*t)2 + L2)0,5. Wir kennen nun die Formel um eine Geschwindigkeit zu berechnen. Und wissen, das die Geschwindigkeit des Lichtes immer c ist. Nun können wir unsere errechnete Strecke in die Geschwindigkeitsformel einsetzen:
c = ((v * t)2 + L2)0,5 / t => t = ((v * t)2 + L2)0,5 / c (Formel 2). Bis zu

diesem Punkt, haben wir nun bestätigt, dass die Zeit in verschiedenen Inertialsystemen verschieden schnell vergeht. Nun muss man nur noch die beiden Formeln für die beiden Inertialsysteme t' = L / c (Formel 1) und t = ((v * t)2 + L2)0,5 / c (Formel 2) ineinander einsetzen, damit man eine allgemeine Formel erhält, welche die Zeitdilation beschreibt. Hierzu lösen wir Formel 1 nach L auf7: L = c * t', und setzen das Ergebnis in die Formel 2 ein:
t = ((v * t)2 + (c * t')2)0,5 / c und lösen nach t auf:
<=> t2 = (( v * t)2 + (c * t')2 / c2
<=> t2 * c2 = (v * t)2 + (c * t')2
<=> t2 * c2 - v2 * t2 = c2 * t'2
<=> t2 * (c2 - v2) = c2 * t'2
<=> t2 = (c2 * t'2) / (c2 - v2)
<=> t = ((c2 * t'2) / (c2 - v2))0,5

<=> t = t' / (1 – v2 / c2)0,5

Somit haben wir eine Formel um die Zeitdilatation zu berechnen.


Beispiel zur Zeitdilatation

Nun wollen wir diese schöne Formel einmal auf ein konkretes Beispiel anwenden. Ein Raumschiff fliegt mit 90 % der Lichtgeschwindigkeit (0,9c) relativ zur Erde. Für die Astronauten im Raumschiff vergehen 10 Jahre. Wir wollen nun errechnen, wie viel Zeit in der Zwischenzeit auf der Erde vergangen ist. Also v = 0,9c und t' = 10J

Einsetzen in die Formel:
t = 10J / (1 – (0,9c)2 / c2)0,5
t = 10J / (1 – 0,81c2 / c2)0,5
t = 10J / (1 – 0,81)0,5
t &#8776; 22,94J
Während für die Astronauten im Raumschiff also 10 Jahre vergangen sind, sind auf der Erde fast 23 Jahre vergangen.
Stefan
Re: Zwillings Paradoxon
16. March 2005 21:51
Die Zeitdilation beschreibt ein aus der Speziellen Relativitätstheorie resultierendes Phänomen. Dieses Phänomen beschäftigt sich mit der Relativität der Zeit.

Nach der Speziellen Relativitätstheorie ist unsere alltägliche Anschauung der Zeit falsch. Unter alltäglich ist hier die Vorstellung zu verstehen, das die Zeit absolut ist und für jeden und in jeder Situation gleich verläuft. Diese Anschauung welche der Zeit, wie wir sie alltäglich erleben, gerecht wird, stimmt nur in Inertialsystemen mit einer relativ geringen Geschwindigkeit zueinander3.

Der Speziellen Relativitätstheorie zufolge gibt es zum Beispiel keine absolute Gleichzeitigkeit zweier Ereignisse und die Zeit verläuft in relativ zueinander bewegten Inertialsystemen verschieden schnell.

Herleitung der Zeitdilation

Die Grundannahme für die Überlegungen, die zur Zeitdilation führen, ist das das Licht sich in jedem Inertialsystem mit der gleichen Geschwindigkeit (c = c' &#8776; 299792 km/s) bewegt. Sich die Geschwindigkeit des Lichtes also nicht mit der Geschwindigkeit des Inertialsystemes addiert (c' &#8800; c + v), wenn sich das inertialsystem in einem anderen mit der Geschwindigkeit v bewegt. Da sich eine Geschwindigkeit aber aus Weg durch Zeit zusammensetzt, müssen Raum (Weg) oder Zeit in einem beschleunigten Inertialsystem anders verlaufen.

Hierzu überlege man sich nun folgendes Gedankenexperiment.
Man baut eine so genannte Lichtuhr, diese besteht aus zwei sich parallel gegenüberliegenden Spiegeln zwischen denen ein Lichtstrahl immer wieder reflektiert wird. Jedes mal, wenn der Lichtstrahl an einem der beiden Spiegel ankommt, tickt die Uhr4. Nun setzt man diese Lichtuhr in ein bewegtes Inertialsystem, das sich wiederum in einem ruhenden Inertialsystem befindet.
Ein Beobachter, der sich nun im bewegten Inertialsystem befindet würde beobachten, dass das licht eine bestimmte Zeit (t') braucht um von einem Spiegel zum anderen zu gelangen diese Zeit könnte er berechnen mit t' = L / c (Formel 1). L entspricht hier der Strecke zwischen den beiden Spiegeln.

Ein Beobachter im unbewegen Inertialsystem hingegen würde etwas ganz anderes beobachten. Er würde beobachten, dass sich die Spiegel in der Zeit die das Licht braucht um von einen Spiegel zum anderen zu gelangen mit um die Strecke v * t fortbewegen. Die Strecke, die nun zwischen dem reflektieren des Lichtes an einem Spiegel, bis zum gegenüberliegenden Spiegel liegt ist nun länger. Sie lässt sich mit Hilfe des Pythagoras berechnen. ((v*t)2 + L2)0,5. Wir kennen nun die Formel um eine Geschwindigkeit zu berechnen. Und wissen, das die Geschwindigkeit des Lichtes immer c ist. Nun können wir unsere errechnete Strecke in die Geschwindigkeitsformel einsetzen:
c = ((v * t)2 + L2)0,5 / t => t = ((v * t)2 + L2)0,5 / c (Formel 2). Bis zu

diesem Punkt, haben wir nun bestätigt, dass die Zeit in verschiedenen Inertialsystemen verschieden schnell vergeht. Nun muss man nur noch die beiden Formeln für die beiden Inertialsysteme t' = L / c (Formel 1) und t = ((v * t)2 + L2)0,5 / c (Formel 2) ineinander einsetzen, damit man eine allgemeine Formel erhält, welche die Zeitdilation beschreibt. Hierzu lösen wir Formel 1 nach L auf7: L = c * t', und setzen das Ergebnis in die Formel 2 ein:
t = ((v * t)2 + (c * t')2)0,5 / c und lösen nach t auf:
<=> t2 = (( v * t)2 + (c * t')2 / c2
<=> t2 * c2 = (v * t)2 + (c * t')2
<=> t2 * c2 - v2 * t2 = c2 * t'2
<=> t2 * (c2 - v2) = c2 * t'2
<=> t2 = (c2 * t'2) / (c2 - v2)
<=> t = ((c2 * t'2) / (c2 - v2))0,5

<=> t = t' / (1 – v2 / c2)0,5

Somit haben wir eine Formel um die Zeitdilatation zu berechnen.


Beispiel zur Zeitdilatation

Nun wollen wir diese schöne Formel einmal auf ein konkretes Beispiel anwenden. Ein Raumschiff fliegt mit 90 % der Lichtgeschwindigkeit (0,9c) relativ zur Erde. Für die Astronauten im Raumschiff vergehen 10 Jahre. Wir wollen nun errechnen, wie viel Zeit in der Zwischenzeit auf der Erde vergangen ist. Also v = 0,9c und t' = 10J

Einsetzen in die Formel:
t = 10J / (1 – (0,9c)2 / c2)0,5
t = 10J / (1 – 0,81c2 / c2)0,5
t = 10J / (1 – 0,81)0,5
t &#8776; 22,94J
Während für die Astronauten im Raumschiff also 10 Jahre vergangen sind, sind auf der Erde fast 23 Jahre vergangen.

Re: Zwillings Paradoxon
17. March 2005 01:44
Denke das haben wir ja verstanden.
Grundlage der speziellen Relativitaetstheorie ist die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit. Um daraus die Lorenz Transformationen herzuleiten, ist mathematisch tatsaechlich nicht viel mehr notwendig als der Satz von Phytagoras.
Bleibt der Bruder auf der Raumstation und die Schwester reist wie in deiner Rechnung mit 0.9c so altert sie in 23 Raumstationenjahren nur um 10 Raketenjahren.
Genausogut koennte der Bruder aber behaupten, dass er mit 0.9c reist und die Schwester in Ruhe ist. Entscheidbar ist das nicht. Selbst wenn die Schwester umdreht und der Raumstation mit 0.9 c wieder entgegenfliegt, koennte der Bruder behaupten dass er sich bewegt.
Das Paradoxon loest sich scheinbar erst wenn man die komplette Reise der
Schwester betrachtet. Sie reist in zwei Bezugssystemen waerend der Bruder nur in seinem Inertialsystem verbleibt.
Bei Abflug und Umkehr wird sie Beschleunigungskraefte bemerken, so dass die Reise ihr zugeordnet werden muss.
@Stefan
Hast du ne anschaulichere Erklaerung dafuer ?
ciao



Beitrag bearbeitet (17.03.05 16:18)
unklar
Re: Zwillings Paradoxon
07. December 2005 11:50
also, ich versteh das zwillingsparadoxon auch nicht.

und ehrlich gesagt, die erkaerung in www.quantenwelt.de ist in sich nicht logisch.

fuer mich ist das problem komplett symmetrisch, d.h. wie eben von richy geschrieben koennen die beiden zwillinge gar nicht wissen wer nun sich bewegt und wer nicht!

ob die umkehr der rakete als symmetriebruch wirklich reicht, weiss ich nicht. falls ja, dann ist das eine unschoene erklaerung.

ich wuerde das paradoxon verestehen wenn es ein absolutes ruhesysytem geben wuerde. sagen wir die hintergrund strahlung. relativ dazu koennen die zwillinge dann schon entscheiden wer sich wie schnell bewegtund es waere eindeutig.

aber diese erklaerung widerspricht wohl dem relativitaetsprinzip???




Re: Zwillings Paradoxon
08. December 2005 12:46
Hi unklar
In dem Moment in dem die Zwillinge aneinander vorbeifliegen kann man tatsaechlich nicht entscheiden wer ruht oder sich bewegt. Daher auch nicht wer gerade schneller altert. Dazu muessten die beiden Information austauschen, z.b. ueber elektomagnetische Wellen (Funk, Lichtzeichen), die durch die Uebertragung wiederum "verzerrt" wird.

>ob die umkehr der rakete als symmetriebruch wirklich reicht, weiss ich nicht.
> falls ja, dann ist das eine unschoene erklaerung.

Das ist aber die Erklaerung. Nicht der eigentliche Punkt der Umkehr ist entscheidend, sondern der gesasmte Weg der einzelnen durch die Raumzeit. Und warum unschoen ?
Beim Altersvergleich muss sich ergeben, dass beide verschiedene Erfahrungen hinter sich haben. Das ist mit diesere Erklaerung gegeben.

Ganz einfaches Beispiel:
Bruder und Schwester wollen von A nach B laufen. Der Bruder waehlt den direkten Weg und liest auf seinem Kilometerzaehler Betrag(AB)=5 km ab.
Die Schwester besucht dabei noch ihre Cousine bei C. Sie sagt bei B angekommen:
Ich habe um von A nach B zu kommen 7 km zurueckgelegt. Das hat jetzt natuerlich wenig mit der Relativitaetstheorie zu tun. Ihre Bahn war eben nicht geradlinig sondern gekruemmt. Und dies veraendert eine physikalische Groesse. Den zurueckgelegten Weg um von A nach B zu gelangen.

> aber diese erklaerung widerspricht wohl dem relativitaetsprinzip???
> (Aether)

Besser gesagt die Relativitaetstheorie macht diesen Aether ueberfluessig.
ciao
richy




3-mal bearbeitet. Zuletzt am 09.12.05 14:13.
Re: Zwillings Paradoxon
20. December 2005 17:24
Hallo Joachim
Vielen Dank fuer die Links. Deine Seite zum Zwillingsparadoxon finde ich klasse.
Ich hoffe mal mein einfacher Erklaerungsversuch geht in Ordnung.
Ebenfalls viele Gruesse frohe Weihnachten
richy
Joachim
Re: Zwillings Paradoxon
04. January 2006 12:00
Hallo und ein frohes neues Jahr,

ja, richy_2, dein Erklärungsversuch ist richtig. Zumindest mathematisch. Ich glaube zwar nicht, dass die Zeit wirklich eine vierte Dimension ist. Aber sie lässt sich im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie wie eine vierte Dimension beschreiben. Und dann stimmt es: So wie die zurückgelegte Strecke eines Wanderers von dem Pfad über die Ebene abhängt, so hängt die erlebte Zeit von dem Pfad durch die Raumzeit ab.
Oli
Re: Zwillings Paradoxon
06. January 2008 21:07
Hallo,
habe nach zwei Jahren eure Diskussion über Google gefunden.
Habt ihr jetzt geklärt, warum man nicht annehmen kann, dass der Bruder am Anfang vom Raumschiff aus in die Erde steigt, mit dieser wegfliegt, dann in das Bezugssystem "wiederkehrende Erde" umsteigt und schliesslich wieder an der Raumstation ankommt? Dann wäre das doch einfach alles umgedreht und die Schwester, die sich nicht bewegt hat, müsste älter sein...

Danke!