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Strecken & Falten

geschrieben von Gast 
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Strecken & Falten
22. February 2005 17:53
Als Metapher für Chaos wird oft das Beispiel von Kneten von Teig gegeben: Man rollt den Teig auf doppelte Länge auseinander (strecken) und klappt dann die eine Hälfte auf die andere; der Vorgang wird wiederholt. Auf diese Weise tritt Chaos auf und Zutaten können sich besonders gut mischen.

Meine konkrete Frag dazu lautet: Wo liegt die Nichtlinearität? Ist es allein das Zurückfalten? Was heißt eigentlich genau nichtlinear bezogen auf das Chaos (denn das steckt ja immerhin in der Definition der Chaostheorie)?

Danke für all eure Bemühungen...
ccm
Re: Strecken & Falten
23. February 2005 00:42
Die Teigmetapher kannte ich noch nicht. Aber noch ein Gedankenspiel dazu:

Vorab: Linear bedeutet populärwissenschaftlich gesagt: ähnliche Ausgangsbedingungen, ähnliche Ergebnisse. Kleine Veränderungen in den Bedingungen wirken sich auch nur minimala aus.

Bei nichtlinearen Vorgängen ist das anders, auch kleinste Änderungen können große Wirkungen haben.

Stell Dir vor, Du machst einen Gewuerzkruemel in den Tag. Knetest eine halbe Stunde mit einer geeichten Maschine und schaust, wo der Kruemel gelandet ist.

Du wiederholst diesen Vorgang, nur platzierst Du den Kruemel ganz wenig versetzt (rein real wird es Dir je eh nicht anders gelingen). Der Krümel wird bei diesem Vorgang zum Schluss ganz woanders sein.

Das Falten des Teiges könnte men vielleicht mit der Iteration, also dem Anwenden einer Formel auf ihr letztes Ergebnis gleichsetzen?

Hilft das?
ccm
Re: Strecken & Falten
23. February 2005 00:43
Ich fuerchte mit Strecken und Falten sind eigentlich nochmal andere mathematische Dinge gemeint...
Re: Strecken & Falten
24. February 2005 20:25
Es gibt sogar eine mathematische Funktion, die auch Bäckertransformation genannt wird. Dahinter steckt die auch als Bernoulli-Shift bekannte Abbildung
f:[0,1) -> [0,1), f(x)=2x(mod 1).
Eine Zahl größer oder gleich Null und (echt) kleiner als Eins wird verdoppelt. Sollte das Ergebnis größer oder gleich Eins sein, wird Eins davon abgezogen, so daß es wieder im ursprünglichen Wertebereich, dem Definitionsbereich, liegt.
Die Nichtlinearität liegt im Exponentiellen Auseinanderstreben zweier Punkte unter Iteration: Bis zu einem gewissen Grad wird sich ihr Abstand mit jedem Iterationsschritt verdoppeln (Bis er zu groß geworden ist, und nur genau einer der beiden Punkte "gefaltet" wird).
Dies ist nur ein ganz einfaches Beispiel für eine solche Funktion. Es gibt eine ganze Menge solcher Abbildungen, etwa alle Flächenerhaltenden Hyperbolische Abbildungen auf dem Torus.

Gruß
Bettina

Re: Strecken & Falten
25. February 2005 14:13
Die Abbildung xn+1=2xn(mod 1) hab ich in diesem Zusammenhang auch gefunden (in Bräuer Kurt: Chaos, Attraktoren und Fraktale). Sie wurde aus der logistischen Gleichung xn+1=axn(1-xn) für a=4 hergeleitet.
Dazu wurde eine Transformation durchgeführt und Umformungen haben dann ergeben:

yn+1=2yn mod 1

Mir ist nur nicht klar wo das mod 1 herkommt!
Die genauen Umformungen hab' ich in den Anhang gepackt; ich wäre froh wenn mir jemand den letzten Umformungsschritt erklären könnte!!!
Anhänge:
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Re: Strecken & Falten
25. February 2005 15:48
...ich hab die Antwort auf mein Problem selbst gefunden (-:
Für der Gleichung :

sin^2(2Pi yn+1)=sin^2(2Pi 2yn)

wird sin^-2 gebildet und durch 2Pi geteilt:

yn+1=2yn

Weil aber für jeden ganzzahlige Anteil von yn gilt:

sin^2(2Pi 2yn)=0

gilt:

yn+1=2yn mod 1 qed.

Ich hoffe meine Argumentation ist richtig!
Nehmt bitte dazu Stellung...
Re: Strecken & Falten
25. February 2005 22:08
Klingt logisch.