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n-dimmensionale Räume

geschrieben von Satyr 
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Satyr
n-dimmensionale Räume
09. February 2005 08:34
Hallo Leute!
Ich habe in einem anderen Forum einen interessanten Beitrag gelesen.
Zitat:
Oberfläche S und Volumen V einer n-dimensionalen Kugel mit dem Radius r=1:
----------------------------
n.........S.............V.......
----------------------------
02.......6,283.....3,142
03....12,566....4,189
04.....19,739.....4,935
05.....26,319.....5,264*
06.....31,006.....5,168
07.....33,073*...4,725
08.....32,470.....4,059
09.....29,687.....3,299
10.....25,502.....2,550
11.....20,725.....1,884
12.....16,023.....1,335
13.....11,838.....0,910
14.......8,390.....0,599
15.......5,722.....0,381
----------------------------
* Das Volumen wird für n=5 maximal (die Oberfläche für n=7).
Für n->oo konvergieren S und V gegen 0.

Eine zB 12-dimensionale Kugel fasst somit nur etwa ein Drittel des Raums einer Dreidimensionalen. Wäre die Dimension hoch genug, könnte das gesamte Universum wohl tatsächlich in einer Nussschale Platz haben?


Frage...

1. Warum ist das so? Wie kann es sein, dass sich die Ausdehnung (Oberfläche, Volumen) höherdimensionaler Objekte/Räume verringert?

2. Wie verändert sich der Begriff der Masse mit der Dimension? Eine (hypothetische) 12-dimensionale Erde müsste ihre Masse auf einem Drittel des Raumes 'unterbringen'...

3. Hier wurde einmal die Hypothese eines unendlich-dimensionalen Universums erwähnt. Wie könnte dieses existieren, wenn es dann doch keinerlei Ausdehnung mehr haben dürfte?

4. Oder sind die unserer dreidimensionalen Vorstellungswelt entsprungenen Begriffe "Oberfläche" und "Volumen" für hochdimensionale Objekte unzureichend taugliche Beschreibungsgrößen? Gibt es evtl. adäquatere Beschreibungsgrößen für Hyperräume/-objekte?

5. Warum ändert sich die gravitative Wirkung im n-dimensionalen Raum nur mit der (n-1). Potenz? Ist die quadratische Abnahme von Feldgrößen der einzige Hinweis auf die Dreidimensionalität unseres Universums?

6. Könnte ein Universum oder ein physischer Raum auch eine gebrochene Dimension besitzen (fraktal)?

7. Kann es in einem n-dimensionalen Raum überhaupt Objekte der Dimension m<>n geben?

Tja-das ist wohl was für den Mathefreak Richy ;-))
Aber zu Punkt 6!
Was ist eine gebrochene Dimension und was hat diese mit einem Fraktal zu tun?
Und noch etwas würde mich interessieren...
Mehrdimensionale Körper kann ich mir in sich selbst gekrümmt "vorstellen", aber eine 2-dimensionale Kugel??? :-()
Grüße aus Wien
Satyr
Fragender
Re: n-dimmensionale Räume
09. February 2005 11:12
Die verschiedendimensionalen Volumen und Oberflächen sind nicht direkt miteinander vergleichbar.
Oder sind 4,19 LITER (Volumen der 3D Kugel) wirklich mehr als 3,14 QUADRATDEZIMETER ("Volumen" der 2D Kugel). *


1. sollte damit erledigt sein

2. Kommt darauf an, wie Du Deinen verallgemeinerten Massenbegriff definierst - um Aussagen wie oben zu treffen, muss er in 12D und 3D dieselbe Einheit haben.

3. Ein 2D Kreis bleibt ein Kreis auch im 3D Raum -> das Hinzufügen von weiteren Dimensionen stört den Kreis nicht. Auch im hundertdimensionalen Raum sieht die Projektion der Einheitskugel in den 3D Raum aus wie eine herkömmliche 3D Einheitskugel - sie ist keinesfalls kleiner.

4. "Oberfläche" und "Volumen" sind wohldefinierte mathematische Begriffe. Falsch ist Deine Vorstellung, dass man verschiedendimensionale Volumen und Oberflächen miteinander vergleichen kann.

5. Die anderen Dimensionen sind zumindest nicht an der Schwerkraft beteiligt....

6. Gute Frage.

7. >n: nein.
<n: natürlich, z.B. die Oberfläche

* ach ja: eine "2D Kugel" ist ein Kreis, die "Oberfläche" der 2D Kugel ist der Umfang und das "Volumen" der Flächeninhalt
markus
Re: n-dimmensionale Räume
09. February 2005 11:52
zu punkt 6:

wenn du die peano kurve nimmst (http://de.wikipedia.org/wiki/Peano-Kurve) ist der gedanke nicht so abwegig. diese spezielle kurve hat die eigenschaft jeden punkt einer fläche vollständig zu durchlaufen. da eine kurve (eine line) aber nur eine dimension besitzt, steht die klassische geometrie vor einem problem: wie kann eine kurve gleichzeitig eine fläche sein. die mathematik errechnet daraus eine dimension die irgendwo zwischen 1 und 2 liegt (das läßt sich sehr genau berechen). wenn es dieses kuriosum nbun für ein und zweidimensionale geometrien gibt, warum dann nicht auch für 3 dimensionen. deine frage würde ich also mit JA beantworten
Satyr
Re: n-dimmensionale Räume
09. February 2005 18:59
Hi Markus!
Wenn besagte Kurve ALLE Punkte in einer Fläche berührt, sollte sie dann nicht ebenfalls zur Fläche werden?Wenn sie jeden Punkt berühren soll ,muß sie zwangsläufig auch jeden Punkt durchstreifen-dabei würde sich die Linie doch immer wieder berühren und somit keine Linie mehr sein sondern zur Fläche werden?!?!Wenn nicht, wo ist dann noch die Grenze?Wie infinitessimal klein muß dann der Zwischenraum sein?Eigentlich unendlich-denn sonst durchläuft sie ja nicht JEDEN Punkt!
Habe ich was übersehen???
Grüße aus Wien
Satyr

markus
Re: n-dimmensionale Räume
10. February 2005 09:40
hallo satyr!

Wenn besagte Kurve ALLE Punkte in einer Fläche berührt, sollte sie dann nicht ebenfalls zur Fläche werden?

-> da stellt sich die frage, was denn eine fläche ist, wie sich diese definiert? in der mathematik definiert sich die fläche als ein nach länge und breite, zweidimensional ausgedehnter bereich. zwischen länge und breite scheint aber nichts zu sein. der begriff fläche erscheint mir daher eher konstruiert als realitätstauglich (da es ein quantenloses etwas zwischen zwei linien meines wissens nicht gibt). gehen wir davon aus, dass sich die fläche aus infinetisimal vielen punkten zusammensetzt. wenn sich nun also die peano kurve durch jeden punkt einer fläche schlängelt erreicht sie zwar die flächenmäßige ausdehnung des produktes aus länge und breite - ABER - eine linie ist eindimensional. zur fläche kann sie somit nie werden. ihre länge wird zwar gegen unendlich konvergieren - aber die peano kurve ist und bleibt eine kurve (auch in unendlich kleinen dimensionen).

Wenn sie jeden Punkt berühren soll ,muß sie zwangsläufig auch jeden Punkt durchstreifen-dabei würde sich die Linie doch immer wieder berühren und somit keine Linie mehr sein sondern zur Fläche werden?!?!

daz sieh dir am besten den folgenden link an: punkt 5.3
http://www.kairo.at/science/physics/fba_mandelbrot/kap5.php

Eigentlich unendlich-denn sonst durchläuft sie ja nicht JEDEN Punkt!
Habe ich was übersehen???

ja, sie durchläuft JEDEN punkt, was aber nur in der annäherung an die unendlichkeit möglich wird.

lg
markus
Satyr
Re: n-dimmensionale Räume
10. February 2005 18:34
Hi Markus!

Zitat:
Die Peano-Kurve besitzt also wirklich eine Dimension von 2 und füllt eine Fläche vollständig aus, ja sie ist praktisch selbst eine Fläche!

NA GOTT SEI DANK!!Dachte schon ich bin zu blöd!
Also doch Fläche?Oder liegt auch hier ein Dualismus vor, wie bei der Frage nach Teilchen oder Welle?
Kommts auch hier auf den Betrachter an?
Trotzdem sehr interessant!!!
Grüße aus Wien
Satyr
Fragender
Re: n-dimmensionale Räume
11. February 2005 12:22
Komische Sache....
Was ist denn dann überhaupt die Bedeutung der Dimension?

Naiv an die Sache herangegangen, würde ich sagen:
Die Dimension entspricht der Anzahl der Koordinaten, die nötig sind, einen Punkt zu bezeichnen.

Da man aber eine Fläche eineindeutig auf eine Gerade abbilden kann (Peano-Kurve), und das für die anderen Dimensionen wahrscheinlich auch geht, macht diese Definition nicht viel Sinn. Im Prinzip braucht man IMMER nur eine Zahl, um einen Punkt im n-dimensionalen Raum zu bezeichnen.

Weniger naiv:
Die Dimension entspricht der maximalen Anzahl, von Null verschiedenen, linear unabhängigen Vektoren.

Aha, hier sitzt der Haken:
Wenn man annimmt, dass die 1D Gerade, (die jetzt die Fläche repräsentiert) ein herkömmlicher Euklidscher (Banach-?, Hilbert-?) Raum ist, dann erhält man tatsächlich eine Dimension von 1.
Da aber die 1D Gerade die 2D Fläche repräsentiert, muss auch die Metrik und der ganze Kram so gestaltet sein, dass der Abstand zweier Punkte auf der Gerade dem Abstand der Punkte entspricht, den ihre Repräsentanten auf der Fläche haben. Und dort gibt es wieder maximal zwei linear unabhängige Vektoren. -> die Peanogerade ist in Wirklichkeit 2D
Mr. 0815
Re: n-dimmensionale Räume
25. February 2005 01:01
Gibt es auch eine 3-Dimensionale Peanokurve ?
Satyr
Re: n-dimmensionale Räume
27. February 2005 08:39
Hi Mr. 0815!
Gute Frage!Ich würde mal sagen, daß dies eine logische Schlußfolgerung wäre....Wie siehts mit einer 4-dimmensionalen aus?Die vierte Dimmension wäre dann die Zeit!Das würde aber bedeuten, daß sich die Kurve auch durch die Zeit ziehen würde und somit jeden Zeitpunkt mit den Anderen verbinden würde-oder?
Grüße aus Wien
Satyr

Mr. 0815
Re: n-dimmensionale Räume
27. February 2005 16:33
Wieso denn die Zeit ? ...

Das ist so nicht ganz Korrekt ... Wird aber oftmals so angesehen...
Die vierte Dimension ist imho. genau so eine Raumdimension wie die 3te auch.

Regel ist ja das die Raumdimensionen 90° zueinander stehen und das geht auch mit vier ;)

http://www.mathematische-basteleien.de/hyperkubus.htm

^^ Da ist das Prinzip sehr gut veranschaulicht.

Es gibt auch einige 3D-Applets mit denen du dir die Darstellung noch besser vor Augen führen kannst (mit 3D-Brille) ...

Aber ich wüsste nicht wie n' Peano-Kurve im R3 zu erstellen ist? ;)
Satyr
Re: n-dimmensionale Räume
28. February 2005 18:06
Hi Mr. 0815!
Eigentlich spricht die klassische Physik von der 4-dimmensionalen Raumzeit!
Drei Raumdimmensionen+eine Zeitdimmension.
Eine 4te Raumdimmension ist für mein begrenztes Vorstellungsvermögen etwas zu viel verlangt. Nun-vorstellen in meiner Phantasie kann ich mir vieles, aber auf die Realität bezogen......
Kennst du den Vergleich mit den "Flachländern"? Wird in manchen astronomischen Populationen erwähnt, um höherdimmensionale Räume zu "erklären". Das wird benötigt um Raumkrümmungen besser zu verstehen.
Allerdings frage ich mich des Öfteren, warum die Wissenschaft auf immer abstraktere Modelle der Natur abzielt! Womöglich fehlen uns ein paar Informationen, welche wir bis dato einfach übersehen haben, und schon lassen sich die von uns beobachteten Phänomene in "einfacher" Form verstehen.
Interpretieren wir die Hinweise welche uns die Natur liefert (Naturgesetze) falsch?Haben wir uns in einem unübersehbaren "Teilchenzoo" verirrt?
Wir sind nicht einmal in der Lage zu beurteilen ob Photonen Teilchen oder Wellen sind. Jetzt kommt sicher die Antwort:
Sie sind Beides. Es kommt nur auf die Versuchsanordnung an.
Die Versuchsanordnung definiert lediglich die Erscheinungsform, aber was sind Photonen wirklich? Was ist ihr ureigenstes Wesen?
Vergleich:
Kühlt man Wasser unter 0 Grad gefriert es und ändert seinen Aggregatzustand von flüssig in fest. Erhitzt man es wieder wird es wieder flüssig. Soweit so gut. Ändert man den Versuchsaufbau mittels Temperatur, ändert sich ebenfalls die Erscheinungsform des Wassers. Aber es ist immer H2O!
Zugegeben-ich tendiere zumeist zu "naiven" Vergleichen, dafür sind sie aber nachvollziehbar.
Übrigens-danke für die Links!
Grüße aus Wien
Satyr
Mr. 0815
Re: n-dimmensionale Räume
28. February 2005 23:55
Ja aber sicher kenn ich die Flachmännchen ;)
Und den bösen 3D-Kugelschreiber der ihre Welt zerstört :D

Joa... 4D kann man sich auch nicht vorstellen ... Ich behaupte sogar es kann keiner.

Aber "sehen" kann man es trotzdem - zumindestens das Abbild ;)

Z.B. um eine 3Dimensionalen Würfel Anschauungsmässig zu zeichnen reicht ein Blatt Papier (2D) ... Um einen Hypercube so zu zeichnen, das du dir in etwa Vorstellen kannst wie er in echt aussiehst brauchst du ... na ? ... Jup 3D ;)

Irgendwo gibt es ein paar Applets wo du mit 3D-Brille "siehst" wie so ein Hypercube aussieht (abgebildet in R3) einfach mal nach Googeln ...

Die Zeit ist halt für mich nicht wirklich eine Dimension die im Mathematischen Sinn nach R3 kommt... daher mein Kommentar ;)

Aber natürlich kannst du auch ein Weltbild nehmen, das auf (x,Y,Temperatur,Zeit) aufbaut ... Wären dann z.B. auch 4 Dimensionen...

Das ist halt definitionssache (wie so oft)

Aber du hast schon recht... Unter normalen umständen spricht man von der Zeit, wenn man die 4te Dim. meint.