Unendlich viele Bifurkationsstellen
21. January 2005 14:24
Hallo allerseits,


ich bin bei meinen Recherschen zum Feigenbaumdiagramm auf die Definition der Feigenbaumkonstanten gestoßen.

Ne ganze Menge dazu gibts hier:
http://www.inf.tu-dresden.de/~hs3/pub/stoerr.97beleg.pdf

Mir ist dazu aufgefallen, dass die Definition vorraussetzt, dass es bei dem Feigenbaumdiagramm [Rekursionsgleichung: xn+1=a*xn*(1-xn)] im Intervall [3;3,5699...] unendlich viele Bifurkationsstellen gibt (3,5699... ist der Feigenbaumpunkt).
Die Vorstellung in einem begrenzten Intervall unbegrenzt viele solcher Stellen zu finden, hat mich erst zweifeln lassen; aber mir ist dann klar geworden, dass ein mathematischer (Bifurkations)Punkt die Dimension 0 besitzt und damit keine Ausdehnung hat.
Trozdem möchte ich wissen, ob man beweisen kann, dass auf dem besagten Intervall unendlich viele Bifurkationen existieren.
Wenn möglich würde ich mich auch über den Beweis freuen, sofern er denn existiert und nicht allzu kompliziert ist (Niveau der Klasse 13).

Danke für Links und Ideen schon mal im Vorraus...


Gruß Ingo
Re: Unendlich viele Bifurkationsstellen
22. January 2005 04:53
Hi
Ich habe mich bisher nur wenig mit der Feigenbaumkonstante beschaeftigt.
Die ersten 2 bzw 3 Birfurkationspunke (a=1 kann man ja auch als solchen auffassen) erstmal einfach analytisch berechnet. Also das waeren 1, 3 , 1+sqrt(6).
( Ab da kann man die Punkte nur noch numerisch bestimmen !)

FORMEL 1)
Die Definition der Feigenbaumkonstante lautet z.B:
Feigenbaumkonstante fc=limit k->00 (a(k+1)-a(k)) / (a(k+2)-a(k+1))

Setze ich 1,3,1+sqrt(6) hier ein erhalte ich fc(0)=4.44948974
Das ist natuerlich ein sehr ungenauer Wert, aber ich wollte blos mal schauen wie weit man im ersten Schritt eigentlich daneben liegt.

Wenn ich nun in die Formel a(k+1)=1+sqrt(6) sowie a(k)=3 einsetze sowie eine Naeherung der Feigenbaumkonstante ud das ganze nach a[k+2] aufloese, so lande ich etwa bei a[k+2]=3.54.
Ich habe gerade kein genaues Feigenbaumdiagramm zur Hand. Aber etwa an der Stelle liegt die naechste Birfurkation.

Dann lande ich im Bereich 3.57 ....
In meinem groben Feigenbaumdiagramm beginnt hier das Chaos.

Wie gesagt hab mir das heute zum ersten Mal angeschaut. Klar in jedes Intervall passen unendlich viele Punkte. Mehr kann ich zu Deiner Frage aber bisher auch nicht sagen. Hab eher an Dich eine Frage:
Konvergieren diese Verzweigungspunkte gegen den Feigenbaumpunkt ?
Ist das eine Schranke ?
Das waere die Voraussetzung fuer einen Beweis.
Alle Punkte liegen dann in dem Intervall und das sind unendlich viele,
wenn sie den Punkt erst beim Grenzuebergang erreichen.
Also asymthodisch. (Schreibt man das so ? :-)
Eben wie bei der Funktion 1-exp(-x) x=0 ... 00
Da liegen auch unendlich viele Funktionswerte im Intervall y=0..1.


Ich glaube aber fast ein Beweis ist nicht moeglich :
Alle Groessen in der Formel 1) sind nur numerisch bestimmt. Auch die
Feigenbaumkonstante selbst. Lies mal die Einfuehrung von deinem Link.
Man weiss nicht einmal ob sie rational, irrational oder transzendent ist.

ciao
richy



Beitrag bearbeitet (22.01.05 15:41)
Tach,

zu deiner Frage: Ja, die Verzweigungspunkte kovergieren gegen den Feigenbaumpunkt. Die letzte (eigentlich gibt es ja keine letzte, weil es unendlich viele sind) Bifurkationsstelle liegt also theoretisch auf dem Feigenbaumpunkt; danach beginnt dann das Chaos.

Deine Idee für den Beweis, die daran anknüpft finde ich ganz logisch! Nur leider wird das bestimmt nicht ganz leicht: Man müsste dazu eine allgemeine Gleichung entwickeln, von der man auf jeden n-ten Bifurkationspunkt schließen kann.
Im Prinzip könnte das so ähnlich gehen, wie du das hier beschrieben hast:
http://www.chaostheorie.de/read.php?f=1&i=565&t=565
Von dieser Gleichung muss dann der Grenzwert für n gegen unendlich der Feigenpunkt sein (also 3,5699...).

Ich glaube auch, dass es dazu keinen Beweis gibt, weil ich ziemlich wenige Infos dazu gefunden hab.
Vielleicht findest du ja mal den Beweis dazu. Das wäre ein Nobelpreis wert (;
Das Wort autopoietisch setzt sich aus den zwei Komponenten "auto à selbst" und "poiesis à produzieren" zusammen. Und genau darum geht es in diesem Artikel: über die Beschreibung von sich selbst immer wieder neu reproduzierenden Systemen. Diese Selbstreproduktion wird als zwingende Notwendigkeit für alle lebenden Systeme betrachtet und findet offensichtlich auf allen Stufen der von uns wahrnehmbaren Welt statt; von den Elementarteilchen, über die uns bekannten Lebensformen bis hin zu astronomischen Größenordnungen.
Re: Unendlich viele Bifurkationsstellen
19. May 2005 02:45
Hat jemand den Begriff autopoietisch benutzt ?
Die Birfurkationsstellen reproduzieren sich vielleicht irgendwie selbst.
Die Feigenbaumkonstante ist auf jeden Fall eine ganz uebel harte Nuss..



Beitrag bearbeitet (19.05.05 14:39)
Re: Unendlich viele Bifurkationsstellen
14. October 2008 16:25
Gast - was willst du denn in Deiner 13. klasse anstellen ?

Man kann sich den Beweis der Fermatschen Vermutung aus google kopieren und dann der Mathematiklehrerin zeigen - der Altersunterschied ist heute kein Problem mehr.
Re: Unendlich viele Bifurkationsstellen
15. October 2008 13:47
Danke lieber Tatoo - Entferner - Profi für Deine vielen Antworten.

Wenn du dir die Feigenbaumkonstante auf deinen Körper tatoowieren hast lassen, verstehe ich, daß du sie wieder entfernen willst, denn sie hat unendlich viele Stellen, und viele Leute wollen doch vielleicht wissen, ob Du gelbe, schwarze oder weiße Hautfarbe hast ..... ähhhh ...

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2005 wollte ein Gymnasiast wissen, wie denn das so ist mit der
Gleichung x = a * x - b * x * x !

Ich finde das ist eine interessante Frage - insbesondere weiß ich daß, um da was ( neues ) zu sagen echt ein Physik - Mathe Studium von Vorteil ist.


1) Die hier iterative Gleichung sollte äqivalent zu einer Funktion f
mit x ( aus R ) -> f ( x ) sein.

Und dann kann man schreiben : f ( x ) = a * f ( x ) - b * f ( x ) * f ( x )


Das kann man ableiten und dann ein Newtonverfahren ( siehe google ! ) anwenden
wo dann ÜBERHAUPT KEINE Probleme auftreten dürften ! - denn
der Cauchy'sche Fixpunktsatz legt die
KONVERGENZ ( d.h. die Frage : unendlich oder endlich ? ) EINDEUTIG fest !



2) Man sollte sich überlegen, wie man mit dem Begriff STETIGKEIT umgehen will !
Eine STETIGE funktion HAT KEINE SPRUNGSTELLEN, und f ist stetig !


3) Bonmot : Altbundeskanzler Konrad Adenauer sagte in seinem letztem Interview
( vom Journalisten günter Gaus ( ! ) geführt ) daß DAS IHM ALLERWICHTIGSTE in
der Politik STETIGKEIT ( d.h. keine Revolutionen ) sei.

Lehnte er die Französische Revolution ab ?
Re: Unendlich viele Bifurkationsstellen
16. October 2008 12:56
Mit 14 ( ich war genau in dem selben Alter, als der Pole Kopernikus sein Universumsmodell erdachte ) stand ich vor
folgender Entscheidung :

Soll ich Busen - Tätoowierer werden, oder Mathematiker ?

Ich entschied mich für Ersteres.



2-mal bearbeitet. Zuletzt am 16.10.08 12:57.
Re: Unendlich viele Bifurkationsstellen
24. October 2008 10:26
Selbstreproduktion ist wohl das wichtigste Merkmal von Fraktalen o.ä.

Ich bin aber irgendwie geneigt, die Selbstständigkeit dieses Begriffes anzuzweifeln.

Es geht hier ja wohl hauptsächlich um komplexe
Iterationen, z ( n+1 ) = f ( z ( n )).

Ein FIXPUNKT ( d.h. die Iteration ist beschränkt und oszilliert nicht )
tritt auf, wenn f' Betrag < 1 ist ( salopp gesagt ).
Re: Unendlich viele Bifurkationsstellen
08. December 2008 09:07
" care health medical supply " ........

............ genau das brauchen wir, Phenyl.

Sonst würde in allen Krankenhäusern das Chaos ausbrechen.


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Das Bildchen der logistischen Gleichung spaltet sich erstmal in zwei Bereiche auf - ist das wie beim Gamma -> (e-) + (e+) Zerfall in der
Teilchenphysik ( wurde in Web gefragt ) ?


1) Nein,

weil e+ und e- bis auf ihre Ladung identisch sein sollten.


2) Ja,

weil im Raum viel mehr e- als e+ vorhanden sind, die die e+ mit der Zeit wieder wegfressen.
Re: Unendlich viele Bifurkationsstellen
11. December 2008 10:55
Phenyl und Risperdone - verehrst Du mir Deine Krone, Kaiser ?
Re: Unendlich viele Bifurkationsstellen
24. December 2008 16:43
Dieser Phenyl ist eine Nervensäge - DAS IST UNANSTÄNDIG !

Mathematisch gesehen ist eine Bifurkationsstelle eine endliche Unstetigkeitsstelle.


Wir reden hier zwar von Iterationen, die man aber, wie ich ( glaube ich ) hier schon zeigte, in eine analytische Funktion umwandeln kann.

( etwa : Aus x=x*x+c folgt ( mit dt=1 ) : dx = ( hier ) Betrag (( x*x+c ) - x ),

und weiter dx/dt = x' = x*x-x+c ......... das sollte man mit Schulphysik integrieren können und somit in der Lage sein x(t) hinschreiben zu können ! )

Der Themenersteller sagt also : x habe mindestens eine Sprungstelle !


-----------> FALSCH !



1-mal bearbeitet. Zuletzt am 24.12.08 16:44.
Re: Unendlich viele Bifurkationsstellen
30. December 2008 09:54
Mein Gott Phenyl - welche Schlampe hat DICH geboren ?