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komplexe Ableitungen

geschrieben von Ringelspinner 
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komplexe Ableitungen
12. January 2005 16:43
Hallo!

Meine Frage is nich unbedingt sonderlich chaotisch, aber vielleicht habt ihr ja ne Idee.

Wenn ich untersuchen will, ob ein Fixpunkt einer komplexen Funktion anziehend ist, wie muss ich das genau machen?
Erstmal die komplexe Funktion ableiten. Aber nach was? Wennich f(z)=f(a+bi) ableite, kann ich das dann einfach nach z ableiten, oder nach a oder b?
Und dann, im Reellen mussja |f'(x)|<1 sein, damit x ein anziehender Fixpunkt ist. Und in |C? Auch einfach |f'(x)|<1?
Danke schonmal!
Grüße
Jojo

PS: Inwieweit gehören eigendlich iterierte Funktionen [Also f(f(f(f(f(f(...(x))))))] in die Chaostheorie? Manche werden ja chaotisch, manche aber eben garnicht.

Re: komplexe Ableitungen
25. January 2005 17:14
Hallo Richy!

Danke schonmal für deine Antwort!
"Die Betraege der partiellen Ableitungen sind aber gleich. Bei einer holomorphen Funktion waere es somit egal ob du partiell nach x oder y oder total nach z ableitest."
Immer? Hab da grad ein kleines Problem: Wenn ich f(z)=z mit z ele |C ableiten, wär ja die Gesamtableitung f'(z)=1; wenn man (für z= k*e^(iµ) ) nach k ableitet, isja f'(z) = e^(iµ), also wieder is der Betrag = 1, aber wenn man nach µ ableitet? f'(z) = (k*e^(iµ))' = k* (e^(iµ))' = k*i*e^(iµ), Betrag also = k.
Steh ich auf dem Schlauch, oder ist der Betrag für die Gesamtableitung zwar gleich der Ableitung nach |z|, x oder y, aber ungleich der Ableitung nach dem Winkel von z? Und die partielle Ableitung nach µ ist unerheblich für die Untersuchung auf Fixpunkte?

Sachmal, WIESO is das einglich so, dass es im Feigenbaumdiagramm unendlich viele Bifurkationsstellen bei a=4 hat? Ich find überall nur, dass es so is, aber wieso? Die erste bei a=3 versteh ich ja, da wird die Steigung im Fixpunkt dann zu groß, aber woher kommen die weiteren "Aufspaltungen" weiter hinten? Gibt es da irgendein Kriterium, ob eine Iterationsfolge oszilliert oder völlig chaotisch ist?

Grüße
Jojo