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Bifurkation aus Messwerten?

geschrieben von foobar 
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foobar
Bifurkation aus Messwerten?
03. January 2005 11:59
Hallo,

ich beschäftige mich schon etwas länger mit nichtlinearen Systemen, deren differentialgleichungen ich gegeben habe. Was passiert aber nun, wenn das nicht der Fall ist, sondern, wenn ich unvoreingenommen an ein experiment herangege. Nehmen wir das klassische beispiel von tropfenden wasserhahn: erst wähle ich einen ordnungs- und einen kontrollparameter (also sagen wir den wasserzufluß und den tropfenabstand) und dann kann ich ein diagramm malen, daß das eine über dem anderen anträgt und da habe ich ja relativ schafe sprünge im diagramm, weil das system von einer phase in die andere übergeht. Wie komme ich jetzt von so einem Diagramm zum Bifurkationsdiagramm? Im Wikipedia-artikel steht, daß ich den Zustand des Systems gegen die Kontrollparameter auftrage, aber da bekomme ich ja idR keine schönen Gabelungen, weil sich das System zu einem Zeitpunkt immer nur in einem Zustand hat. Der witz ist doch, daß es bei t+epsilon wieder ganz wo anders sein kann, oder? Irgendwie bin ich jetzt verwirrt.

Das gleiche Problem, also das zeichnen von bifurkationsdiagrammen, wollte ich auch noch mal mit einfachen modellen, wie den waldbrandmodellen machen. Geht das denn?

Lange rede, kurzer sinn: Kennt jemand eine gute einführung in bifurkationstheorie für dummies oder mag es mir erklären? :-)

Danke!
foobar
Re: Bifurkation aus Messwerten?
03. January 2005 15:53
Hmm, ich glaube, ich sehe jetzt etwas klarer. Bei den Tropfen trägt man einfach wasserzufluss gegen tropfenabstand, und bekomme dann eben zwei oder mehrere tropfenabstände nach der bifurkation. Das ist ja einfach.

Und das waldbrandsystem ist ja ein cellular automat und damit sehr vieldiemanional, dass ich ihn gar nicht mehr vernünftig darstellen kann, weder in einem phasenraum, noch in einem bifurkationsbildchen. und den luyapunov-exponenten kriege ich auch erst recht nicht vernünftig berechtet, oder ist wenigstens hochgradig unanschaulich, ausserdem enthält das system ja stochastische elemente, so dass die bifurkationspunkte eh verwischen usw

Also: wie kann ich denn so hochdimensionale systeme überhaupt formal(!) auf chaos untersuchen? ich habe jetzt einiges über muster in cellular automata gelesen, aber ist das denn ein hinreichendes kriterium für selbstorganisation, vulgo chaos? und wie gehe ich mit der stochastik in dem system um, weil das system ist ja dadurch nichtdeterministisch (gleiche eingabe <> gleiche ausgabe) ...?

Bittte um aufklärung meiner verwirrtheit :-), danke
Re: Bifurkation aus Messwerten?
04. January 2005 02:29
In diesem Forum muesste es auch einen Beitrag geben . der zeigt, dass sich die erste Periodenverdopplung daraus ergibt, ueber das komplexe Verhalten einer Wurzelfunktion.
Die erste Periodenverdopplung kann man alalytisch noch recht einfach berechnen. Da laeuft das jedenfalls so ab.
foobar
Re: Bifurkation aus Messwerten?
05. January 2005 00:10
Einen schönen zusammenhang zwischen chaos und zellularautomaten stellt die langton'sche Veriable lambda da. die sagt zusammengefasst wie sich das system eines zellularautomaten langfristig verhält. in einem teilchenerhaltenden system ist das einfach die dichte.

(Man muß die Literatur, die hier rumsteht auch mal lesen, sonst lernt man nix :-))
Re: Bifurkation aus Messwerten?
05. January 2005 01:13
Hi
Waren viele neue Threads, hatte deinen nur ueberflogen. Wenn die Gleichungen nicht gegeben sind, ist natuerlich ein anderes Problem.

>Hmm, ich glaube, ich sehe jetzt etwas klarer. Bei den Tropfen trägt man >einfach wasserzufluss gegen tropfenabstand, und bekomme dann eben >zwei oder mehrere tropfenabstände nach der bifurkation. Das ist ja >einfach.

Wie beim Feigenbaumdiagramm oder ?
Um Verschmieren zu Vermeidern, wird da die Einschwingphase nicht dargestellt.

Bei dem Wasserhahn. Koennte man da nicht trotzdem den Ljapunov Exponenten bestimmen ? Dafuer muss zwar die Ableitung der iterativen Abbildungs-Funktion df(n)/dn bekannt sein. Aber die koennte man doch auch numerisch naehern. Durch f(n+1)-f(n).
Konkret Tropfenabstand(n+1)- Tropfenabstand(n).

Mit dem LK haette man ein Mass fuer Ordnung / Chos im Prozess. Oder verstehe ich da jetzt etwas falsch ? Ist die Naeherung zu ungenau ?
Etwas modifiziert habe ich mit dem LK mal ein Filter fuer einen diskreten nichtlinearen Prozess gesteuert, um Unstetigkeiten und Instabilitaeten glattzubuegeln. df(n)/dn numerisch ermittelt.
Also quasi ein Chaosdetektor. Hat relativ gut geklappt.

Den zellulaeren Automaten Link muss ich erst noch besuchen. Blos vorweg.
Wenn das Problem zu hochdimensional ist. Koennte man dann eine Dimension nicht als Parameter festhalten ? Also Schnitt durch diesen Phasenraum. Ok schau mir das lieber erst mal an.

uups muss man das alles durchlesen :-)

Ohne konkreten Bezug:
Zitat:
Der witz ist aber doch, daß man "muster" überhaupt nur antropomorph also aus menschensicht definieren kann, wenn man ein System hat, für das elementare physikalische Erhaltungssätze ....
Ende:

Wow endlich hab ich das Wort. "antropomorph" Ich hab das hier auch schonmal versucht darzustellen. In anderem Zusammenhang. Es mit dem Beispiel
1000100010001000
1100101010111010
versucht. Dass diese Bitmuster physikalisch gesehen gleichwertig sind.
Das Muster der Periodizitaet oder Autokorrelation abstrakte Begriffe sind...

Jetzt sag ich aber mal
Gute Nacht



Beitrag bearbeitet (05.01.05 02:59)
foobar
Re: Bifurkation aus Messwerten?
05. January 2005 11:51
Hallo,

danke für deine antwort.

"Um Verschmieren zu Vermeidern, wird da die Einschwingphase nicht dargestellt."

Wenn ich mir unter einschwingphase das richtige vorstelle, dann kann ich das irgendwie nicht verwenden, weil ich viel stochastik im system habe und dann diese stochastik den bifurkationspunkt nach links oder rechts verschieben kann. da das aber verdammt viel stochastik habe, natürlich auch dementsprechend weit nach links oder rechts. stochastische resonanz könnte das buzzword der wahl sein :-)

"Koennte man da nicht trotzdem den Ljapunov Exponenten bestimmen ? Dafuer muss zwar die Ableitung der iterativen Abbildungs-Funktion df(n)/dn bekannt sein. Aber die koennte man doch auch numerisch naehern. Durch f(n+1)-f(n).
Konkret Tropfenabstand(n+1)- Tropfenabstand(n)."

Ja, wahrscheinlich ist mein inntuitives verständnis noch nicht gross genug und ich verstehe die bedeutung des lyapunov-exponenten nicht so ganz. Ich dachte um den Lyapunov-Exponent zu bestimmen, muß ich erst in den phasenraum gehen um dann langzeitdivergenzen zweier benachbarter Punkte auszurechnen (im chaosfall also eine untersuchung nahe des seltsamen attraktors?) oder ist df/dn schon der Lyapunovexponent?


"Wenn das Problem zu hochdimensional ist. Koennte man dann eine Dimension nicht als Parameter festhalten ? Also Schnitt durch diesen Phasenraum."

Wie meinst Du "Dimension als Parameter festhalten"? Ich habe ja für einen eindimensionalen teilchenerhaltenden zellulären automaten einen Parameterraum mit 2*N Dimensionen, wobei N die anzahl der lebenden Organismen ist (jeder lebende organismus hat einen Ort und verändert diesen ort in der zeit, also eine geschwindigkeit -> 2 Dimensionen a Organismus).

Einen Schnitt von einer Funktion in so einem Raum mit 20 dimensionen, mit einer 2-dim Ebene kann doch nix werden, oder?

"Wow endlich hab ich das Wort. "antropomorph""

vielleicht ist das wort auch falsch. Ich weiß noch, das sowas immer mit antropo losgeht und dann irgendwie weiter. antropomorph heißt "menschenähnlich" und hat meine relilehrerin immer gesagt, wenn etwas vermenschlicht wurde. Mit ein bißchen rabulistik passt das bestimmt ;-)

"Ich hab das hier auch schonmal versucht darzustellen. In anderem Zusammenhang. Es mit dem Beispiel
1000100010001000
1100101010111010
versucht. Dass diese Bitmuster physikalisch gesehen gleichwertig sind."

Zur Musterfindung gibt es schon ein paar physikalische Ansätze.

Die Entropie zum Beispiel. Wenn hier 1 und 0 ungleiche Wahrscheinlichkeiten haben, dann sind die Entropien der Zeichenketten anders, wie ich oben vorgerechnet habe. Sind sie es nicht, dann hast Du recht.

Eine andere Methode zur Informationsfeststellung kommt aus der theoretische Informatik und legt es auf die Komprimierbarkeit von etwas an, bzw. (anderer Ansatz) wie lang das kürzeste Programm ist, daß diese Zeichenkette ausgibt. Und für Periodizitäten bieten natürlich enormen Komprimierungsspielraum. So kann man Information schon "messen".

Viele Grüße!
Re: Bifurkation aus Messwerten?
07. January 2005 00:46
Hi foobar
> oder ist df/dn schon der Lyapunovexponent?
fast
LE=limit N->00 1/N Summe(0..N ( ln(Betrag(df(y)/dy)) y=y(n)
http://home.t-online.de/home/lonacollin/fab-inet/cKapitel/c07.htm#Ljapunov-Exponent
Klingt also nur kompliziert.
Bin gerade dabei auf meiner HP bisherige Ergebnisse zusammenzustellen.
Morgen ist der Ljapunov dran. Will dann auch endlich mal testen, inwiefern die Genauigkeit der numerische Differentation einen Einfluss hat.
ciao



Beitrag bearbeitet (07.01.05 21:51)
Re: Bifurkation aus Messwerten?
07. January 2005 21:55
....
hab grad bemerkt, dass hier ja oertlich nicht zeitlich zu differenzieren ist.
Also doch nicht so ganz einfach ? Eventuell laesst sich hier aber mit der Kettenregel tricksen. dp/dy=dp/dn * dn/dy. Ich bin grad am rechen. Stochastisch betrachtet koennte vielleicht auch die Ergodentheorie etwas retten. Koennte ja noch richtig interesant werden.
*an kopp kratz
nee passt ja doch. In jedem Iterationsschritt ist die zeitliche Abbbidungsfunktion auch der ersten Abbildungsfunktion ueber alle Anfangswerte betrachtet. Versuche das nochmal klarer zu fassen und natuerlich am Rechner praktisch zu ueberpruefen.
ciao
foobar
Re: Bifurkation aus Messwerten?
07. January 2005 22:28
Danke für dein engagement, du hast mir schon viele nützliche schlagworte geliefert..

"hab grad bemerkt, dass hier ja oertlich nicht zeitlich zu differenzieren ist."

Genaugenommen will ich jetzt gar keinen Lyapunov-exponenten mehr ausrechnen, weil ich festgestellt habe, daß mich selbstorganisierendes kritisches Verhalten viel mehr interessiert :) Nee, ganz so ist's nicht, aber derzeit hample ich ein wenig mit verallgemeinerten mean-field-methoden und matrixansätzen an zellulären automaten rum. die "klassische" chaostheorie guck ich mir später besser noch mal an.


"Stochastisch betrachtet koennte vielleicht auch die Ergodentheorie etwas retten."

Klingt nach tollem Angeberwort :)
Hast Du vielleicht einen interessanten Link zu dem Thema? (Buchtipp erst mal sparen, ich weiß noch nicht, ob mich das wirklich interessiert) Übrigens auch zur SOK, wenn Du gerade einen da hast ...


Vielen Dank nochmal!
Re: Bifurkation aus Messwerten?
08. January 2005 02:50
Hi foobar
Bin grad schlecht drauf. Meine Freundin hatte heute Geburtstag und alle ihre Freunde eingeladen. Mich hat sie wohl vergessen :-(
Ich hab dann ein paar Stunden ueber notwendige und hinreichende Bedingungen zum Thema
Freundschaft / Beziehung nachgedacht ...
... und kam dann zu dem Entschluss, dass es meist besser ist, sich mit Mathematik zu beschaeftigen, als mit Frauenlogik :-)
Meine "Freundin" ist momentan z.B. sehr traurig, dass sie mich nicht zu ihrem Geburtstag eingeladen hat. Wer soll das verstehen ?

> Genaugenommen will ich jetzt gar keinen Lyapunov-exponenten mehr
> ausrechnen

Ich aber :-)

> dass hier ja oertlich, nicht zeitlich zu differenzieren ist ...

In der Definition des Ljapunov Exponenten wird allgemein die Ableitung der Abbildungsfunktion angegeben. Im Allgemeinen wird dazu die zeitliche Abbildung betrachtet. In den Diskussionen mit Konrad haben wir ein Handling der logistischen Gleichung entwickelt, dass sich vornehmlich auf eine Betrachtung ueber alle Anfangswerte stuetzt. BTW das ist nichts neues, denn die Methode verketteter Abbildungen wird auch anderen
Webseiten gerne verwendet um Berechnungen zur logistischen Gleichung durchzufuehren.
Fuer einen Iterationsschritt sind raeumliche und zeitliche Abbildungsfunktion identisch. Die meisten kennen ja die rauemliche Anschauung gar nicht.
Musste auch aus der Kettenregel hervorgehen: dt/dx ist lediglich ein Masstabsfaktor.
Ich dachte heute zwischenzeitlich ich haette da einen Fehler gemacht.

> Stochastisch betrachtet koennte vielleicht auch die Ergodentheorie
> etwas retten.
> Klingt nach tollem Angeberwort :)

Nein nein !
Wenn du meine Beitraege mal nachliest. Ich verwende nie Angeberwoerter. Im Gegenteil. Mein Anliegen ist es ohne Fachchinesisch,
eben nur mit reinem Menschenverstand Dinge zu erklaeren.
So dass es jeder verstehen kann. Das ist viel schwieriger als sich einfach mit irgendwelchen unbekannten Worten um sich zu werfen.
Ich war zwischenzeitlich der Meinung, dass meine numerische zeitliche Ableitung im Falle des Ljanuov Koeffozienten ein falscher Loesungsansatz ist. Das Stichwort "Ergodischer Prozess" hab ich eher fuer mich hingeschrieben. Fuer den Fall, dass df/dy und df/dn nicht analytisch
in einen Bezug gebracht werden koennen.
Google einfach mal "ergodischer Prozess"
Ist aber hinfaellig.
Es ist also schon ok die Ableitung im Ljapunov Exponent durch eine zeitliche Differenz zu ersetzen.
Ich habe dazu ein paar Rechnerexperimente durchgefuehrt. Bisher nur mit einseitiger numerischer Differentation 1 ter Ordnung. Sprich y(k+1)-y(k)
Das Ergenis war Schrott.
Die Berechnung des LE mittels einer Differenz 1 ter Ordnung liefert voelligen Schrott.
Es liegt wohl daran, dass eine einfache Differenz zu ungenau ist. Man muesste aleso einen genaueren Algo entwickeln.

ciao
richy



Beitrag bearbeitet (08.01.05 17:23)
foobar
Re: Bifurkation aus Messwerten?
08. January 2005 14:38
Hallo,

"... und kam dann zu dem Entschluss, dass es meist besser ist, sich mit Mathematik zu beschaeftigen, als mit Frauenlogik :-)
Meine "Freundin" ist momentan z.B. sehr traurig, dass sie mich nicht zu ihrem Geburtstag eingeladen hat. Wer soll das verstehen ?"

In der Tat, das klingt irgendwie seltsam.

"
> Stochastisch betrachtet koennte vielleicht auch die Ergodentheorie
> etwas retten.
> Klingt nach tollem Angeberwort :)

Nein nein !
Wenn du meine Beitraege mal nachliest. Ich verwende nie Angeberwoerter. Im Gegenteil. Mein Anliegen ist es ohne Fachchinesisch,
eben nur mit reinem Menschenverstand Dinge zu erklaeren."

Es bezog sich ja auch nicht auf dich. Es geht nur darum, dass ich eine facharbeit zum thema der selbstorganisierenden, chaotischen möglichkeiten im stau anhand von cellular automata schreibe, und mir das ganze eh schon ein bisschen so vorkommt, wie bei dilberts buzzword-bingo. ich könnte die ganze theorie der cellularautomats durchnudeln, noch kurz erklären, wie man eine verbindung zw. stau und hydrodynamik konstruiert (ich würde da gerne mehr zu schreiben, aber auf schulniveau partielle nichtlineare navier-stokes-gleichungen zu lösen ist irgendwie ein wenig sinnlos, nicht?), wie man einen cellularautomat analytisch angeht (verallgemeinerte mean-field-methoden und matrixproduktansätzte, sowas kann man einigermaßen einfach erklären, aber ich wweiß nicht, ob ich das will) und noch so allerhand allgemeines über chaosphysik, Komplexität, selbstorganisiertes kritisches verhalten usw. usw. Mein Problem ist ja nicht, dass ich keine Informationen habe und nichts machen könnte, sondern dass ich so viele informationen habe, dass ich ohne einführen das nicht in eine facharbeit (~ 20 seiten auf Schulniveau) bekomme. wenn ich jetzt auch noch ergodentheorie auspacke und auf mein modell loslasse, dann kann ich gleich ein Buch verlegen lassen, und wenn ich meine ganzen spezialbegriffe _nicht_ erkläre, dann ist es eben einfach angeberei und hat keinen tieferen informativen sinn. (ich schreibe den ganzen kram erst jetzt, weil ich, wenn ich einfach konkret nachfrage, das nicht mehr als eigenleistung gerechnet bekommen lassen kann ....)

Viele grüsse, viel glück mit deiner freundin...
foobar
Re: Bifurkation aus Messwerten?
09. January 2005 17:35
Hallo,

"Willst du die das antun? Als Begruendung fuer den zellulaeren Automaten waere es aber doch ganz ok. "

Jo, steht da auch schon länger so drin. :-)


"Hoffe mal du vertettelst dich nicht zu sehr bei deiner Facharbeit. Auf jeden Fall viel Erfolg :-)"

Danke, kann ich brauchen, ich habe nämlich nur noch etwa drei Wochen bis zum einreichetermin. Ich werde einfach mal mit meinem Lehrer ein bißchen über das Thema reden, es fehlt eh nur noch mehr oder weniger der Feinschliff.

Vielen Dank für die Hilfe, es ist schön hier bei euch :-)
Re: Bifurkation aus Messwerten?
09. January 2005 21:52
hi foobar
Hast du die Facharbeit am Rechner geschrieben ? Waere prima wenn du etwas davon online stellen koenntest. Oder ein paar links die du zu dem Thema Verkehrsstau empfehlen kannst.

Ich habe mich vertan ...
Ist nicht nur ein Song von Helge Schneider :-)
Bei der er 50 Kilo Salami beim Metzger einkauft :-)
Dass die numerische Bestimmung des LE nicht so richtig funktioniert liegt nicht nur an der niedrigen Ordnung der Differentiation.Es ist die Ableitung der Abbildungsfunktion zu verwenden.Ich habe ja aber einfach nur die Zeitfunktion numerisch differenziert. df(y,n)/dy=df/dn*dn/dy
dn ist zwar konstant aber nicht dy. Die Sache ist verzwickt weil das ein iterativer Vorgang ist. f(n+1)-f(n) ist zum einen delta f aber auch delta x.
Mit (f(n-2)-8 f(n-1)+8*f(n+1)-f(n+2))/12 fuer df(n)/dn und f(n-1)-f(n-2) als dx oder auch nur (f(n)-f(n-1))/(f(n-1)-f(n-2)) sieht die Sache schon besser aus. Aber noch nicht perfekt. Beim Attraktor gehen df und dy gegen 0.
Lustig
In der Einschwingphase, also bei 20 Iterationen z.B. klappt das ganze sogar prima.Klar da liefert das System noch delta ypsilons.
Dann geht dy gegen Null.
Hast du oder jemand anders eine Idee ?
ciao
richy



Beitrag bearbeitet (09.01.05 22:01)