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Chaostheorie in einem Satz!

geschrieben von Gast 
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Chaostheorie in einem Satz!
29. November 2004 16:42
Hallo auch,

ich hab' mich schon ein bissel mit der chaostheorie beschäftigt und kenne einige Anwendungsbereiche.
Als mich neulich jemand fragte was die chaostheorie so in einem Satz bedeutet, musste ich allerdings leider passen )-:
Ich leite die Frage daher weiter: Gibt es eine allumfassenden Definition, die die gesamte Idee der Chaostheorie verdeutlicht?
Bei der Mathematik wäre das Ganze einfach: Die Mathematik ist die Lehre der Muster!!! Genau so eine einfache und teilweise abstraktere Definition gibt es doch auch vielleicht im Zusammenhang mit der Chaostheorie???

Danke an alle, die sich für mich Gedanken machen...
Re: Chaostheorie in einem Satz!
29. November 2004 17:35
Dieser Satz ist falsch !
Re: Chaostheorie in einem Satz!
29. November 2004 19:02
Du meinst also, es gibt keine Definition, die die Ideen der Chaostheorie auf den Punkt bringt?
Re: Chaostheorie in einem Satz!
29. November 2004 19:33
DIESER SATZ ist falsch !

... war schon der von dir gesuchte Satz, der die Chaostheorie recht treffend beschreibt. Vorausgesetzt du erkennst, dass DIESER SATZ ueber sich selbst spricht.

Ein bekanntes, einfacheres Beispiel waere auch.

Satz 1)
:-) DAS ist kein smiley

Beweis:
"DAS" ist einer der bestimmten Artikel der deutschen Sprache.
Alle bestimmten Artikel der deutschen Sprache sind keine smileys.
Daher ist "DAS" kein smiley und
Satz 1) ist wahr.

Noch einfacher, aber weniger huebsch waere:
Die Chaostheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, dass sich mit nichtlinearen diskreten Differential (also Differenzen)-gleichungen beschaeftigt.



Beitrag bearbeitet (30.11.04 14:57)
Re: Chaostheorie in einem Satz!
30. November 2004 16:57
Achso, jetzt hab ichs durchblickt!

So ähnlich wie das Paradoxon vom Kreter, der behauptet, dass alle Kreter Lügner sind!!!

Deine zweite Definition gefällt mir allerdings noch besser (sie ist nicht so schwer zu durchblicken (-;).
Re: Chaostheorie in einem Satz!
30. November 2004 20:19
Genau !
Wie bei "alle Kreter luegen"
Da der Satz ueber sich selbst redet ist er vom Wahrheitsgehalt rueckgekoppelt. Ein Element der Chaostheorie.
"Dieser Satz ist falsch" bringt das sehr viel besser zum Ausdruck als "Alle Kreter luegen".

Das Spielchen koennte man mit meiner Aussage
> Satz 1) ist wahr.
weiterfuehren und "Satz 1)" stellvertretend fuer alle existierenden
"Saetze 1)" sehen. Nicht alle Aussagen ueber denen "Satz 1" steht sind wahr. Daher ist der Wahrheitsgehalt von:
:-) DAS ist kein smiley
auch nicht entscheidbar. d.h. die deutschen Artikel "der die das" koennten auch smileys sein. hehe
:-) Hund
:-) Katze
:-) Chaos

Eine ernsthaftere Definition ist wie gesagt:
Die Chaostheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, dass sich mit nichtlinearen Differenzengleichungen beschaeftigt.



Beitrag bearbeitet (01.12.04 07:59)
Re: Chaostheorie in einem Satz!
02. December 2004 15:39
Danke, jetzt hab ich Klarheit...
Re: Chaostheorie in einem Satz!
04. December 2004 13:03
Hi Richy!
Hmmmm.....
Die Chaostheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik,daß sich mit nichtlinearen Differenzengleichungen beschäftigt!
Tja-das macht die Relativitätstheorie auch!Ist sie deshalb chaotisch?
:-))
Ich meine jetzt die Theorie an sich nicht deren Verständlichkeit!!!:-))

Grüße aus Wien
Satyr

Re: Chaostheorie in einem Satz!
04. December 2004 22:17
Hi Satyr
Denke mal meine Definition geht in Ordnung.
Vielleicht koennte man noch dazusagen, dass sich die Chaostherie mit
dem komplexen Loesungsverhalten solcher Gleichungen beschaeftigt.

Die ART beschreibt eine kontinuierliche, keine diskretisierte Welt. Deren Grundgleichungen sind daher auch keine Differenzengleichungen. sondern
Differentialgleichungen. (Partielles System)
Daher kann sie waohl auch keine chaotischen Loesungen liefern.
ciao
richy



.
Satyr
Re: Chaostheorie in einem Satz!
05. December 2004 19:29
Hi Richy!
Sollte wohl genauer lesen....
Mea Culpa
Grüße aus Wien
Satyr
Re: Chaostheorie in einem Satz!
08. December 2004 13:43
Hallo erstmal.

@richy
Die Feldgleichungen der ART sind nichtlinear und können wohl chaotische Strukturen ausbilden, siehe hier: http://www.mpipks-dresden.mpg.de/~motter/

@JohnA
Die kürzeste Definition ist imo:
"Chaostheorie ist die Theorie nichtlinearer dynamischer Systeme."

Wie schon gesagt, es ist eine nichtlineare Theorie, die kann man nicht einfach und wirksam erklären. Ohne eingehendes Studium von Topologien, Metriken, Algebra usw. kommt man hier nicht weit. Das soll dich jetzt natürlich nicht frustrieren aber Fakt ist, Chaostheorie erfordert eine sehr gute mathematische Bildung und viel Zeit!
Re: Chaostheorie in einem Satz!
08. December 2004 23:35
hi Corum
Yepp, die Grundgleichungen der ART sind nichtlinear. Sie sind aber kontinuierlich, also nicht diskret.

> Die Feldgleichungen der ART sind nichtlinear und können wohl chaotische
> Strukturen ausbilden.

Du gehst also davon aus, dass Nichtlinearitaet eine hinreichende Bedingung fuer chaotisches Verhalten ist ? Genau die Frage hab ich mir vor langer Zeit auch mal gestellt. Konkreter, ob denn kontinuierliche Systeme ueberhaupt ein chaotisches Verhalten aufweisen koennen.
(Vielleicht kann man diese Fragestellung mal an BETTINA weitergeben.)

Gibt es nichtlineare Differentialgleichungen mit chaotischen Loesungen ?
Beispiel:
Loesungen deren Fouriertransformierte eine Besselfunktion ist.
Ist solch eine Loesung als chaotisch anzusehen ?
Ich VERMUTE mal nein. Eine weiter notwendige Bedingung ist, dass das System diskretisiert sein muss.
Nehmen wir mal an dem waere so. Ein kontinuierliches System ist nicht in der Lage chaotische Verhalten zu erzeugen. Das haette weitreichende Konsequenzen oder ?

Deine Definition:
> Chaostheorie ist die Theorie nichtlinearer dynamischer Systeme.
waere dann falsch

> Chaostheorie ist die Theorie nichtlinearer diskreter dynamischer Systeme.
waere zutreffend.

Das ist aber auch nichts anderes als eine Variante von:
> nichtlinearen Differenzengleichungen

@JohnA
A)
Ein Element der Chaostheorie ist also die Nichtlinearitaet. Das Gegenteil von linear. Ein Vorgang / Funktion ist linear, wenn ich fuer den k-fachen Input den k-fachen Output erhalte: f(k*x)=k*f(x)
Weiterhin muss gelten :
f(x+y)=f(x)+f(y).

f(x)=x*x ist zum Beispiel eine nichtlineare Funktion
f(x)=x ist eine lineare Funktion

B) (da ich denke, dass A nicht ausreicht)
Mathematisch ergeben sich Differenzengleichungen. Ein spezieller in der Chaostheorie verwendeter Typ solch einer Gleichung ist die rekursive Gleichung. y(k+1)=f(y(k))
Duerfte bekannt sein: Man gibt nen Input vor. Erhaelt nen Output, den man wiederum als Input verwendet.

Bischen einfacher imo waere also:
Chaostheorie beschaftigt sich mit nichtlinearen rekursiven Gleichungen .

ciao
richy



Beitrag bearbeitet (09.12.04 12:27)
Re: Chaostheorie in einem Satz!
09. December 2004 02:38
zu
http://www.mpipks-dresden.mpg.de/~motter/

The noninvariance of Lyapunov exponents in general relativity has led to the conclusion that chaos depends on the choice of the space-time coordinates. Strikingly, we uncover the transformation laws of Lyapunov exponents under general space-time transformations and we find that chaos, as characterized by positive Lyapunov exponents, is coordinate invariant. As a result, the previous conclusion regarding the noninvariance of chaos in cosmology, a major claim about chaos in general relativity, necessarily involves the violation of hypotheses required for a proper definition of the Lyapunov exponents.

So ganz verstehe ich das nicht .



Beitrag bearbeitet (09.12.04 12:25)
Re: Chaostheorie in einem Satz!
09. December 2004 11:21
Irgendwie schränkst du deine Sicht auf die Chaostheorie extrem ein!
Warum müssen die Gleichungen unbedingt diskret sein?
Die Gleichungen von mechanischen Oszillatoren sind kontinuierlich und können sehr wohl chaotisches Verhalten zeigen, hier könnte man auch den Lorenzattraktor nennen. Die Eigenwerte und Fixpunkte der jeweiligen Abbildungen können diskret sein, aber das System an sich muss nicht diskret sein!

Mal ein paar Beispiele für dynamischer Systeme:
1. gewöhnliche Differentialgleichungen(ODE)
2. diskrete Abbildungen(maps)
3. partielle Differentialgleichungen
4. zelluläre Automaten
usw....

Deine Definition:
"Chaostheorie beschaftigt sich mit nichtlinearen rekursiven Gleichungen.", ist falsch!
Satyr
Re: Chaostheorie in einem Satz!
09. December 2004 12:18
Hallo Leute!
Na Bumm-da steig ich aus!!!!
Zuviel Mathe!!
Zelluläre Automaten???
Naja-zuviel Wissen macht kopfweh!!!
DIE Rettung für Dummies wie mich!!! :-))
Grüße aus Wien
Satyr

Re: Chaostheorie in einem Satz!
24. December 2004 15:46
Ich glaube ich bin zu blöd für diese Welt !!!!!!!!

Mich würde nur mal eins interessieren, habt ihr dieses Wissen ( oder auch nur Teile oder die Grundlagen ) aus der Schule, wenn ja dann ist ja klar das ich nix versteh, ich habe physik abgewählt weil ich nen äußerst inkompetenten Lehrer hatte der immer nur geschwitzt hatte ( auch wenn es -10 Grad waren) und nie was erklären konnte.

Wenn ich sowas lese und nix verstehe wünsche ich mir es doch weitergemacht zu haben denn ansich ist das ganz intressant.