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was bedeutet topologisch transitiv?

geschrieben von Tammy 
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was bedeutet topologisch transitiv?
20. November 2004 22:18

Hallo!

In einem Artikel über Chaostheorie habe ich gelesen, chaotische Systeme seien topologisch transitiv. Leider konnte ich nicht herausfinden, was dies bedeuten soll. Ich hoffe, mir kann jemand helfen.

Danke
Tammy
Hallo, Tammy!

Ich gebe Dir erst mal die korrekte Definition, und dann erkläre ich sie kurz.

X sei ein metrischer Raum und f eine stetige Funktion, die X auf sich selbst abbildet. A sei ein Teilmenge von X, sodass das Bild von A unter f wieder in A enthalten ist. Man sagt dann, A ist f-invariant.
Wenn es jetzt f"ur jedes beliebige Paar nichtleerer offener Mengen U, V aus A eine natürliche Zahl n gibt, sodass die n-te Iterierte von U mit V einen nichtleeren Schnitt hat, dann ist f topologisch transitiv auf A.

So, fangen wir vorne an: ein metrischer Raum ist eine Menge von Objekten (in der Mathematik betrachtet man ja im Allgemeinen Zahlen ;-) ), auf denen eine Abstandsfunktion definiert ist. Einfachstes Beispiel: Die ganzen Zahlen mit dem Abstand |a-b|, also dem Betrag der Differenz.
Eine Funktion ist (ganz platt gesagt) stetig, wenn man ihren Graphen in einem Strich durchzeichnen kann. Das ist jetzt eine starke Vereinfachung, aber entweder weisst Du es besser, dann ist alles gut, oder diese Faustregel gibt Dir wenigstens eine grobe Vorstellung von Stetigkeit.
Die Sache mit der Invarianz musst Du Dir einfach mal kurz überlegen.
Was man in der Chaostheorie macht, ist Iterierte von Funktionen betrachten. Das ist, wenn man einen Wert in die Funktion reinsteckt und das Ergebnis wieder und wieder...
Das macht man jetzt einfach mit einer Menge U. Wenn f"ur jede andere Menge V aus A eine Zahl n existiert, so dass die n-te Iterierte von U V "trifft", dann ist f topologisch transitiv auf A. Kurz gesagt, jede offene Menge U wandert über ganz A.

Ich hoffe, das war jetzt nicht zu simpel...

Gruß
Bettina