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Dimension des Feigenbaumdiagramms

geschrieben von Gast 
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Dimension des Feigenbaumdiagramms
27. October 2004 15:08
Hallo ihr,


kennt sich einer mit dem Feigenbaumdiagramm etwas genauer aus?
Ich will wissen ob und wie man die Dimension eines Feigenbaumdiagramms berechnene kann!

Schreibt mir ruhig was über topologische Dimensionen, fraktale Dimensionen, Hausdorff-Besicovitch-Dimensionen oder anderen gebrochenene Dimensionene.
Aber bitte so einfach wie nur möglich, da mir wahrscheinlich die nötige höhere Mathematik fehlt.
Hallo Du,

ich bin mir nicht sicher, ob es Sinn macht nach der Dimension des Feigenbaumdiagramms zu fragen...
Das Feigenbaumdiagramm gibt doch für parameterabhängige Funktionen die stabilen Fixpunkte bzw stabilen periodischen Orbits an, eben in Abhängigkeit vom Parameter. Das heißt (zum Beispiel) nutzt man einen bestimmten Satz, um das Feigenbaumdiagramm einer Funktion zu berechnen.
Sei f:[0,1] nach [0,1] S-unimodal mit kritischem Punkt c. Dann gilt: f hat höchstens einen stabilen periodischen Orbit, und wenn es einen hat attrahiert dieser den kritischen Punkt c.
Anders ausgedückt: f ist eine Selbstabbildung des Intervalls [0,1] und ist dreimal stetig differenzierbar, es gibt genau einen Punkt c aus [0,1] für den f'(c)=0 und die Schwarzsche Ableitung Sf=(f'''/f')-(3/2)*(f''/f')^2 ist auf [0,1] ohne c immer kleiner als 1. (Das ist das S-unimodal.) Dann kann es höchstens einen Orbit {x_0,x_1,...,x_(n-1)} mit f(x_0)=x_1, f(x_1)=x_2,...,f(x_(n-1))=x_0 (das ist das periodische) geben für den für jeden seiner Punkte x_i gilt:
|f'(x_i)|<1 . (Das ist stabil.)
Dieser Orbit, wenn es ihn gibt, zieht jetzt den Orbit von c, also {f^n(c)|n>=0}, an sich heran.
Das Vorgehen um ein Feigenbaumdiagramm zu berechnen ist nun das Folgende:
Man braucht eine parameterabhängige Funktion, z.B f_a(x)=ax(1-x) (das ist die logistische Funktion). Sie hat den kritischen Punkt c=0.5.
Jetzt berchnet man für jedes a aus [0,4] f_a(c), f_a(f_a(c))=f^2_a(c),..., f^n_a(c). Die ersten l (z.B l=200) Werte wirft man nach Berechnung des nächsten Wertes einfach weg (Dunkeliterationen), die nächsten m (z.B. m=300) werden bei x=a als y-Werte in das Diagramm eingetragen (Helliterationen).
Und wenn man das nun für "jedes" a durchexerziert hat, bekommt man ein Feigenbaumdiagramm.
Das Feigenbaumdiagramm ist also selbst kein Attaktor wie z.B. das Apfelmännchen, sondern gibt nur für verschiedene Parameterwerte a die attraktive Menge von f_a an.

Ich hoffe, damit konnte ich Dir weiterhelfen.

Gruß
Bettina