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Stau und Differentialgleichungen

geschrieben von Daniel 
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Stau und Differentialgleichungen
09. September 2004 14:30
Hallo,

ich bin Schüler und schreibe eine Facharbeit über selbstorganisierende Systeme, mit dem Aufhänger Stau. Ich habe allerhand Information ergugeln können (besonders die Seiten von Hr. Schreckenberg sind empfehlenswert). Dabei bin ich natürlich über zelluläre Automaten gestolpert, und finde immer wieder den Hinweis, daß man (wenigstens einfache Exemplare) analytisch per Differentialgleichungen lösen kann. Und genau das interessiert mich sehr. Ich weiß zwar, was DGLs sind, und kann auch simple DLGs lösen ("Methode der vollständigen Intuition"), aber ich verstehe nicht, wie ich von einem zellulären Automaten, oder generell von einem komplexen physikalischen Ablauf zu einer DLG komme. Kann mir dazu jemand Literatur empfehlen, die für einen interessierten (und hoffentlich auch engagierten) Gymnasialschüler größtenteils verständlich ist (gerne auch zum Thema Stau oder Zelluläre Automaten generell, englisch Sprache wäre zu verkraften, wenn das Werk gut ist)?

Das wäre super!

Viele Grüße,
Daniel
Du redest hier von zwei verschiedenen Dingen. Das sog. deterministische Chaos ergibt sich dadurch, daß ein problem mithilfe von Differentialgleichungen beschreiben läßt, die gleichungen analytisch aber nicht lösbar sind. Somit bleibt nur die Möglichkeit der numerischen Lösung durch Iteration. Auf diese weise wurde das deterministische Chaos erst entdeckt. Es handelt sich dabei aber um ein niedrigdimensionales system.D.h. das System wir urch wenige Differentialgleichungen vollständig beschrieben und ist durch Iteration lösbar. Die meisten komplexitätsmaße, wie die raktale Dimension, die Einbettungsdimension nach Peter Grassberger, der lyapunovexponent etc. gelten nur für niedrigdimensionale Systeme, die durch wenige Differentialgleihungen beschrieben werden können. Es gibt aber daneben auch andere, sich chaotisch verhaltende systeme, die hochdimensional sind, also aus vielen miteinander wechselwirkenden Elementen bestehen. Hier versagen die klassischen Komplexitätsmaße. Solche systeme können (mit Einschränkungen) durch zelluläre Automaten beschrieben werden. dabei handelt es sich um ein quadratisches Gitter baus Zellen (z.B. Pixeln auf einem Monitor). jede zelle wechselwirkt nach einer festzulegenden Vorschrift mit seinen jeweiligen unmittelbaren nachbarn und kann selbst verschiedene Zustände einnehmen. man simuliert soetwas, indem man den Status einer jeden zelle und den seiner nachbarn nacheinander abfragt, den daraus resultierenden neuen Status zwischenspeichert und die ursprüngliche matrix damit überschreibt und den Prozess von neuem anwendet.

das problem Stau kann man mit einem zellulären Automaten angehen. ist aber schwierig, weil die zellen (=Autos) sich auf vorgegebenen Bahnen bewegen. Ein Tip: der Abstand zum Fahrzeug davor ist abhängig von der mittkeren geschwindigkeit der fahrzeuge, aber nicht linear, sondern nach einer Wurzelfunktion. dann sind verzögerungseffekte zu berücksichtigen. Ein Stau bildet sich dann, wenn eine kritische Fahrzeugdichte erreicht ist. Neben Phänomenenen, wie oszillierendes tempo (stop and go) und chaotischen tempowechseln tritt Stau dann ein, wenn der Abstand der fahrzeuge ein bestimmtes Limit unterschreitet.
Die Simulation und exakte mathematische Aufbereitung ist so schwierig, daß ein Schüler, der sich gerade mal mit den Grundzügen der Chaostheorie beschäftigt hat, mit dieser Aufgabe totalüberfordert ist. Erzaählen sie das ihrem lehrer, oder beschränken sie sich darauf durch Beaobachten und nachdenken ein paar Prinzipien der Staubildung zu beschreiben. Zu mehr kann es nicht langen.