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Definition Chaos ...

geschrieben von gd-udsi 
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Definition Chaos ...
16. September 2008 17:05
... die ich ( weil ich nun mal zufällig mindestens so gut ausgebildet bin wie
Feigenbaum etc. ) selbst mal vornehme :

Wer weiß, was ein Integral ( hier : I ) ist ?

Antwort :

1) Lös. einer Diffgl., etwa df/dx = 55 .... mit Lös. f ( x ) = 55 * x

oder

2) Flächen ( Volumen ) Inhalt, wenn man die Umrandung kennt, etwa

Zylinder ist Kreisfläche * Höhe

( es könnte auch Kreisfläche mal Höhe im Quadrat sein, aber

die Experimente ( voller Maßkrug ist immer 2 halbvolle Maßkrüge ) zeigen die Linearität.


Bei 1) muß man immer machen : Lösung = Integral der differetiellen Funktion !!


Riemann hat das vor 100 Jahren für alle Sonderfälle mal exakt formuliert,
da kann aber gleich mit ( existierenden oder nicht existierenden ) Grenzwerten einer Reihe anfangen.

CHAOS ... ist immer, wenn man ein Integral nicht lösen kann !!

Integral von 1/x*x + x*x*x ist wahrscheinlich analytisch lösbar,

Integral 1/( x*x*x + 1/x*x ) nicht, denke ich mal.
Re: Definition Chaos ...
16. September 2008 18:27
1) Lös. einer Diffgl., etwa df/dx = 55 .... mit Lös. f ( x ) = 55 * x

[quote]
Zwei Mathematiker in einer Bar: Einer sagt zum anderen, dass der Durchschnittsbürger nur wenig Ahnung von Mathematik hat. Der zweite ist damit nicht einver- standen und meint, dass doch ein gewisses Grundwissen vorhanden ist. Als der erste mal kurz austreten muss, ruft der zweite die blonde Kellnerin, und meint, dass er sie in ein paar Minuten, wenn sein Freund zurück ist, etwas fragen wird, und sie möge doch bitte auf diese Frage mit 'ein Drittel x hoch drei' antworten. Etwas unsicher bejaht die Kellnerin und wiederholt im Weggehen mehrmals: "Ein Drittel x hoch drei."
Der Freund kommt zurück und der andere meint: - "Ich werd Dir mal zeigen, dass die meisten Menschen doch was von Mathematik verstehen. Ich frag jetzt die blonde Kellnerin da, was das Integral von x zum Quadrat ist." Der zweite lacht bloß und ist einverstanden. Also wird die Kellnerin gerufen und gefragt, was das Integral von x zum Quadrat sei. Diese antwortet:
- "Ein Drittel x hoch drei."
Und im Weggehen dreht sie sich noch mal um und meint: -
"Plus c."
[/quote]

PLUS ZEH, immer daran denken ! Auch in deiner Aufgabe oben :-)

[quote]
Integral von 1/x*x + x*x*x ist wahrscheinlich analytisch lösbar,
[/quote]
Wahrscheinlich ?
Minus (eins durch x) plus (x hoch 4) viertel plus C
Exponent um eins erhoehen. Durch den neuen Wert teilen.
Anscheinend hast du bei deiner "Ausbildung" an der Stelle geschlafen.

[quote]
Integral 1/( x*x*x + 1/x*x ) nicht
[/quote]
Integral 1/( x*x*x + 1/x*x ) =
1/5*ln(1+x)-1/20*ln(2*x^2-x-5^(1/2)*x+2)+1/20*ln(2*x^2-x-5^(1/2)*x+2)*5^(1/2)+2/5/(10-2*5^(1/2))^(1/2)*arctan((4*x-1-5^(1/2))/(10-2*5^(1/2))^(1/2))*5^(1/2)-1/20*ln(2*x^2-x+5^(1/2)*x+2)-1/20*ln(2*x^2-x+5^(1/2)*x+2)*5^(1/2)-2/5/(10+2*5^(1/2))^(1/2)*arctan((4*x-1+5^(1/2))/(10+2*5^(1/2))^(1/2))*5^(1/2)
plus C

Entgegen deiner Behauptung also loesbar.
Versuchs mal mit dem Integralsinus sin(x)/x

[quote]
CHAOS ... ist immer, wenn man ein Integral nicht lösen kann !
[/quote]
Wenn gd-usi das Integral nicht loesen kann waere dann ja staendig Chaos.
Leider auch falsch, denn die logistische Gleichung ist im chaos fuer den Parameter 4 loesbar.
Das Choas laesst sich uber den Ljapunovexponenten definieren.
Wenn dieser groesser Null ist.
Ebenso lassen sich notwendige Bedingungen vormulieren ueber den Grad der DZGL oder DGL.



8-mal bearbeitet. Zuletzt am 16.09.08 19:02.
Re: Definition Chaos ...
19. September 2008 18:37
Mir ist gestern noch eingefallen : Diese äußerst knappen Definitionen und Statements wie oben von mir können auch banal und ärgerlich sein.

( Fachausdruck : Trivial ......... ich will es aber irgendwie künstlerisch kreativ machen )

Obwohl ich es gut fand.

Im Forum geht es wohl IMMER um KOMPLEXE Reihen, Funktionen, Integrale.

Und um Fixpunkte.

Ich las gerade ein Buch von Peitgen ....... alles wird da genau untersucht.

Als er sein erstes schrieb, mußte ich ( schulisch ) UNBEDINGT die
Geheimnisse der Vielteichentheorie ergründen.

+++++++++++++++++++

Vile fühlen sich angezogen von der Haupteigenschaft der Chaostheorie :

Eine ganz kleine Änderung bewirkt eine extrem große Auswirkung.
richy3
Re: Definition Chaos ...
22. September 2008 12:49
Mir ist nur aufgefallen, dass du die Funktion 1/x^2 offenbar nicht integrieren kannst.
Re: Definition Chaos ...
23. September 2008 18:41
Ich finde, es ist gar nicht so notwendig, " Chaos " so exakt zu definieren.

Übrigens muß man " Stetigkeit " exakt definieren, wenn man ein bißchen integrieren will.

( Und das können schon mal 99.99 Prozent der Bevölkerung NICHT ! )

------------------------

Man soll hier ( wie in anderen Gruppen ) KEIN SCHINDLUDER treiben, denn :

Wenn einer Experimente macht und Ergebnisse hat, ist es sehr schwer, dies einem andern mitzuteilen !!

( der Nachbar, Schullehrer, Kneipenkumpels .... ??? )
richy3
Re: Definition Chaos ...
25. September 2008 22:05
Du hast nach der Stammfunktion von 1/x^2 gefragt. Und die gibt es.
Dass beide Funktionen eine Polstelle bei x=0 aufweisen ist eine andere Sache.
Ansonsten laesst sich die Epmfindlichkeit der Anfangswerte einer Iteration ueber den Ljapunovexponenten beschreiben. Ist dieser groesser Null ist mit chaotischem Verhalten zu rechen. Ist doch recht praktisch. Weniger praktisch ist nur, dass im hoeherdimensionalen Fall die Berechnung des Ljapuniwexponenten nicht so ganz einfach ist. Und man benoetigt die Systemfunktion.
Ich war uebrigends auch mal der Meinung, dass es doch unmoeglich sein muesste eine chaotische Funktion in Form eines analytischen Ausdruckes anzuschreiben.
Wie die Loesung der Verhulst Gleichung fuer r=4 zeigt geht das aber doch.