Attraktoren analytisch herausfinden?
02. September 2008 02:30
Hi Jungs,
ich habe eine Iteration der Form

x_n=k[(a*x_(n-2)) mod 1] .

Gesucht ist die Parametermenge (a,k), wobei a eine beliebige reelle zahl ist und k element [0,1] und ebenfalls eine reelle Zahl, wo die Iteration sich der 0 stabil annähert und nicht wieder ausbricht. Oder in anderen Worten, wo die 0 ein attraktiver Fixpunkt ist.

Leider findet man in den bekannten Büchern zur Chaostheorie wie z.b. in "Chaos and Fractals" oft nur Simulationen und keine analytischen Berechnungen. Für a=1 oder kleiner, kann man die modulo 1 Fukntion ignorieren, dann sieht die Iteration so aus:

x_n=k*a*x_(n-2)

Dies ist eine Iteration der Form x_n= s x_(n-2) und die 0 ist ein attraktiver Fixpunkt wenn -1<s<1. Wenn nun aber a>1 ist hat man ein Problem, weil man die modulo Funktion nicht mehr ignorieren darf. Kann man dennoch mit bestimmten Verfahren attraktive Fixpunkte analytisch finden?

Ich habe noch etwas vergessen zu sagen... Die x_n sind element [0,1], sonst wäre die sache mit dem Modulo zu ignorieren auch gar net möglich.

Gruß b0n1



1-mal bearbeitet. Zuletzt am 02.09.08 13:07.
Re: Attraktoren analytisch herausfinden?
02. September 2008 17:44
Hi

x_n=k[(a*x_(n-2)) mod 1]
ist hier nur von (a*x_(n-2)) die mod Funktion zu bilden ?

Warum eigentlich x_(n-2) ?
Das waere eine DZGL 2 ter Ordnung. Bin mir nicht sicher ob man hier einfach
Methoden fuer eine DZGL 1 ter Ordnung uebernehmen kann.
Ein Kandidat fuer einen Attraktor waere
x_n-x_(n-1)=0
Ich meine die Bedungung muesste auch in deinem Fall gelten :
x_n-x_(n-2)=0
k*a*x-x=0
x*(k*a-1)=0
Naja das ist eher trivial.
Fuer k*a=1 aendert sich nichts
Fuer k*a<1 strebt das Ergebnis gegen 0

Periodsche Attraktoren kann man ueber die Uebertragungsfunktion auch graphisch ermitteln.
Entspricht die mod 1 Division nicht der frac Funktion ?
Dann stuende da :
x_n=k*frac(a*x_(n-2))
Waere die Funktion nicht Iterativ koennte man Aussagen bezueglich der Periodizitat treffen. Das wuerde darauf hinauslaufen, dass man die "Frequenz" des Arguments betrachtet. Ob dieses rational oder irrational ist.
Aber aufgrund der Iteration aendert sich das Argument unvorhersehbar.
Ich vermute mal, dass die Gleichung fuer K*a>1 pseudo Zufallszahlen erzeugt,
Zwar gilt immer x_n=0..1 aber nicht fuer das Argument der frak Funktion.

Vieleicht kannst du mal nach Pseudozufallszahlen googeln.
http://de.wikipedia.org/wiki/Kongruenzgenerator
Oder auch mal die verketteten Abbildungsfunktionen graphisch betrachten.
Das muessten Saegezahnfunktionen sein.
Schnittpunkte mit der Winkelhalbierenden stellen hier Kandidaten fuer Attraktoren dar. Ob diese stabil sind muss man anhand der Ableitung noch bestimmen.



4-mal bearbeitet. Zuletzt am 02.09.08 17:58.